由于場(chǎng)外期權(quán)合約的買賣在交易雙方間私下進(jìn)行而非通過(guò)公開(kāi)市場(chǎng)，因而可能很難確定合約的價(jià)格有利于買方還是賣方。為對(duì)這些合約進(jìn)行定價(jià)，金融分析師往往依據(jù)看漲期權(quán)或看跌期權(quán)價(jià)格估算出風(fēng)險(xiǎn)中性密度（RND）值。常規(guī)做法是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)來(lái)確定定價(jià)模型的參數(shù)值，進(jìn)而估算 RND 值。

根據(jù)參數(shù)定價(jià)模型估算 RND 有幾個(gè)缺點(diǎn)：

如處理時(shí)間較長(zhǎng)而且可能存在誤差。簡(jiǎn)單模型可快速完成調(diào)試，但很可能會(huì)與金融數(shù)據(jù)的一些歷史經(jīng)驗(yàn)特征不一致，生成的結(jié)果誤差較大；復(fù)雜模型能夠提供更精確的結(jié)果，但所需調(diào)試時(shí)間較長(zhǎng) — 如果沒(méi)有閉式解（解析解），通常需要長(zhǎng)達(dá)數(shù)小時(shí)。即使復(fù)雜的模型能夠提供看似合理的結(jié)果，也可能由于沒(méi)有應(yīng)用有效的數(shù)值分析技術(shù)而存在偏差。此外，由于定價(jià)模型主要依據(jù)歷史數(shù)據(jù)，由建模人員自行決定需要采納的歷史數(shù)據(jù)量——這種主觀決定會(huì)影響結(jié)果。

Aarhus 大學(xué)的研究團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)了一款非結(jié)構(gòu)化無(wú)模型 RND 估算方法，不依賴參數(shù)化模型，而是完全由數(shù)據(jù)自身決定。這種方法利用當(dāng)前數(shù)據(jù)（而非歷史數(shù)據(jù)）通過(guò)正交多項(xiàng)式展開(kāi)式估算 RND 和期權(quán)敏感度指標(biāo)（Greeks），這樣能夠比應(yīng)用模型的方法更快得到結(jié)果 — 通常僅需幾秒鐘來(lái)估算 RND。

為演示我們的方法，便于學(xué)生、分析師和研究人員進(jìn)行應(yīng)用，我們將它封裝為 MATLAB 應(yīng)用程序（圖 1）。我們?cè)趦善恼轮袑?duì)該方法進(jìn)行了詳述 ，A Non-Structural Investigation of VIX Risk Neutral Density（估算 RND）和 It Only Takes a Few Moments to Hedge（估算敏感度指標(biāo)），并用 Risk-Neutral Density Fitting Tool 應(yīng)用程序具體實(shí)現(xiàn)了該方法。

圖1：Risk-Neutral Density Fitting Tool 應(yīng)用程序。

我們?yōu)槭裁催x擇 MATLAB

我們決定創(chuàng)建 MATLAB 應(yīng)用程序估算 RND，因?yàn)槲覀兿Ｍ芯砍晒玫綇V泛應(yīng)用，而不是僅限于在量化經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域或是熟悉 MATLAB 編程的金融研究人員使用。

我們發(fā)現(xiàn)，MATLAB 大大加快了開(kāi)發(fā)進(jìn)度。我們?cè)趦傻饺齻€(gè)月內(nèi)完成了大部分開(kāi)發(fā)工作 — 據(jù)估算，使用傳統(tǒng)編譯語(yǔ)言大約需要兩年時(shí)間。 MATLAB 是一種解釋型語(yǔ)言并基于 JIT 編譯器運(yùn)行，這令我們避免了繁瑣的“編輯-編譯-測(cè)試”周期；相反，我們采用交互形式開(kāi)發(fā)方法，調(diào)用 MATLAB 中的函數(shù)并反復(fù)檢查結(jié)果。不依靠第三方庫(kù)，也無(wú)需自行編寫線性回歸、主成分分析及其他功能算法，而是利用Curve Fitting Toolbox、Financial Toolbox、Optimization Toolbox 和 Statistics and Machine Learning Toolbox 等工具包中經(jīng)過(guò)驗(yàn)證的函數(shù)。使用解釋型語(yǔ)言時(shí)，運(yùn)算性能是我們關(guān)注的問(wèn)題。但是，通過(guò)采用 MATLAB 中的向量化運(yùn)算和優(yōu)化的函數(shù)，其性能與編譯語(yǔ)言基本接近。

除了加快實(shí)施我們的 RND 方法之外，MATLAB 還可以輕松構(gòu)建界面并將其與底層代碼封裝成為一款應(yīng)用程序。我們使用 MATLAB 應(yīng)用程序開(kāi)發(fā)工具設(shè)計(jì)窗口、按鈕及界面中的其他控件。然后，將完整應(yīng)用程序封裝為單一安裝程序文件，并發(fā)布到項(xiàng)目的 GitHub 頁(yè)面供用戶下載。

通過(guò)應(yīng)用程序估算 RND 并查找敏感度指標(biāo) (Greeks)

下載并安裝應(yīng)用程序后，通常先從 Option Metrics 或 Chicago Board Options Exchange （Cboe）等數(shù)據(jù)源加載期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)（MATLAB應(yīng)用程序支持直接調(diào)用這兩個(gè)數(shù)據(jù)源）。然后用戶檢查輸入數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的價(jià)格曲線并根據(jù)需要調(diào)整行權(quán)價(jià)格的上下限（看跌或看漲期權(quán)最低和最高行權(quán)價(jià)格）。之后用戶選擇核、展開(kāi)式階數(shù)以及用于估算展開(kāi)系數(shù)的方法（例如，主成分分析）。核指定概率分布,為 RND 提供一個(gè)初始值；而展開(kāi)式階數(shù)則定義正交多項(xiàng)式數(shù)量，“校正”核來(lái)估算 RND。

此應(yīng)用程序包含多個(gè)內(nèi)置核，包括 beta gamma、廣義逆高斯、廣義 Weibull 和對(duì)數(shù)正態(tài)，而且用戶可以通過(guò)自己編寫 MATLAB 函數(shù)來(lái)對(duì)內(nèi)置核進(jìn)行擴(kuò)展。展開(kāi)式階數(shù)越高，展開(kāi)式就越精確，但估算所需的時(shí)間也會(huì)更長(zhǎng)（圖 2）。

圖 2：隱含波動(dòng)曲線及使用廣義 Weibull 核、主成分分析和 17階 展開(kāi)式估算出的 RND 值。

圖示中使用的數(shù)據(jù)集包含 2011 年 12 月 21 日在 Cboe Volatility Index (VIX) 上的 1 月期看漲期權(quán)和看跌期權(quán)。

最后，計(jì)算敏感性指標(biāo) delta、gamma 和 vega，用戶只需單擊應(yīng)用程序的“查找敏感度指標(biāo)”按鈕。界面中會(huì)顯示這三個(gè)指標(biāo)圖（圖 3）。

圖3：敏感度指標(biāo)圖：看漲期權(quán) delta、 gamma 和 vega。

所有圖均可另存為 MATLAB 圖像或者 PNG、PDF 或 EPS 文件，所有結(jié)果均可導(dǎo)出并保存以便進(jìn)一步分析。

將來(lái)升級(jí)的功能

從我們收到的反饋來(lái)看，用戶對(duì)于該應(yīng)用程序予以了肯定?；谶@些反饋，我們將進(jìn)一步改進(jìn)應(yīng)用程序并規(guī)劃對(duì)其的升級(jí)。例如，我們考慮在分析中添加時(shí)間點(diǎn)和到期日，我們將研究使用多變量密度，并應(yīng)用期權(quán)價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)整個(gè)密度曲線，而非僅在某一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的曲線。