SVM是機(jī)器學(xué)習(xí)有監(jiān)督學(xué)習(xí)的一種方法，常用于解決分類問題，其基本原理是：在特征空間里尋找一個(gè)超平面，以最小的錯(cuò)分率把正負(fù)樣本分開。因?yàn)镾VM既能達(dá)到工業(yè)界的要求，機(jī)器學(xué)習(xí)研究者又能知道其背后的原理，所以SVM有著舉足輕重的地位。

但是我們之前接觸過的SVM都是單核的，即它是基于單個(gè)特征空間的。在實(shí)際應(yīng)用中往往需要根據(jù)我們的經(jīng)驗(yàn)來選擇不同的核函數(shù)（如：高斯核函數(shù)、多項(xiàng)式核函數(shù)等）、指定不同的參數(shù)，這樣不僅不方便而且當(dāng)數(shù)據(jù)集的特征是異構(gòu)時(shí)，效果也沒有那么好。正是基于SVM單核學(xué)習(xí)存在的上述問題，同時(shí)利用多個(gè)核函數(shù)進(jìn)行映射的多核學(xué)習(xí)模型（MKL）應(yīng)用而生。

多核模型比單個(gè)核函數(shù)具有更高的靈活性。在多核映射的背景下，高維空間成為由多個(gè)特征空間組合而成的組合空間。由于組合空間充分發(fā)揮了各個(gè)基本核的不同特征映射能力，能夠?qū)悩?gòu)數(shù)據(jù)的不同特征分量分別通過相應(yīng)的核函數(shù)得到解決。目前主流的多核學(xué)習(xí)方法主要包括合成核方法、多尺度核方法和無限核方法。其具體流程如圖1所示：

圖1 多核學(xué)習(xí)流程圖

接下來我們以二分類問題為例，為大家簡(jiǎn)單介紹多核學(xué)習(xí)方法。令訓(xùn)練數(shù)據(jù)集為X={(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)...(xn,yn)}，其中Xi是輸入特征，且Xi∈Rd，i= 1,2, ..., N，Yi∈{+1, ?1}是類標(biāo)簽。SVM 算法目標(biāo)在于最大化間隔，其模型的原始問題可以表示為：

其中，w是待求的權(quán)重向量，ζi與C分別是松弛變量和懲罰系數(shù)。根據(jù)拉格朗日對(duì)偶性以及 KKT 條件，引入核函數(shù)K( Xi , Xj): Rn×Rn → R，原始問題也可以轉(zhuǎn)換成如下最優(yōu)化的形式：

其中，ai與aj為拉格朗日乘子，核函數(shù)K( Xi, Xj)=φ(xi) xφ(xj)。核方法的思想就是，在學(xué)習(xí)與預(yù)測(cè)中不顯示地定義映射函數(shù)φ(xi) ，只定義核函數(shù)K( Xi, Xj)，直接在原低維空間中計(jì)算高維空間中的向量?jī)?nèi)積，既實(shí)現(xiàn)低維樣本空間到高維特征空間的映射，又不增加計(jì)算復(fù)雜量。

多核學(xué)習(xí)方法是單核 SVM 的拓展，其目標(biāo)是確定 M 個(gè)個(gè)核函數(shù)的最優(yōu)組合，使得間距最大，可以用如下優(yōu)化問題表示：

其中?= {θ∈ ?+|θTeM=1},表示 M 個(gè)核函數(shù)的凸組合的系數(shù)，eM是一個(gè)向量，M個(gè)元素全是 1，K(θ)=∑Mj=1θjkj(?,?)代表最終的核函數(shù)，其中kj(?,?)是第j個(gè)核函數(shù)。與單核 SVM 一樣，可以將上式如下轉(zhuǎn)化：

其中Kj∈ RNxN,Ω={a|a∈[0,C]N},“?”被定義為向量的點(diǎn)積，即(1,0)?(2,3) = (1 ×2 ,0×3)=(2,0)。通過對(duì)比 MKL 與單核 SVM 所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問題形式，求解多核學(xué)習(xí)問題的計(jì)算復(fù)雜度與難度會(huì)遠(yuǎn)大于單核 SVM，所以研究出一種高效且穩(wěn)定的算法來解決傳統(tǒng)多核學(xué)習(xí)中的優(yōu)化難題，仍然很具有挑戰(zhàn)性。

綜上所示，盡管多核學(xué)習(xí)在解決一些異構(gòu)數(shù)據(jù)集問題上表現(xiàn)出了非常優(yōu)秀的性能，但不得不說效率是多核學(xué)習(xí)發(fā)展的最大瓶頸。首先，空間方面，多核學(xué)習(xí)算法由于需要計(jì)算各個(gè)核矩陣對(duì)應(yīng)的核組合系數(shù)，需要多個(gè)核矩陣共同參加運(yùn)算。也就是說，多個(gè)核矩陣需要同時(shí)存儲(chǔ)在內(nèi)存中，如果樣本的個(gè)數(shù)過多，那么核矩陣的維數(shù)也會(huì)非常大，如果核的個(gè)數(shù)也很多，這無疑會(huì)占用很大的內(nèi)存空間。其次，時(shí)間方面，傳統(tǒng)的求解核組合參數(shù)的方法即是轉(zhuǎn)化為SDP優(yōu)化問題求解，而求解SDP問題需要使用內(nèi)點(diǎn)法，非常耗費(fèi)時(shí)間，盡管后續(xù)的一些改進(jìn)算法能在耗費(fèi)的時(shí)間上有所減少，但依然不能有效的降低時(shí)間復(fù)雜度。高耗的時(shí)間和空間復(fù)雜度是導(dǎo)致多核學(xué)習(xí)算法不能廣泛應(yīng)用的一個(gè)重要原因。