1 引言

倒立擺是研究控制理論的典型實驗平臺。由于倒立擺系統(tǒng)本身所具有的高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強耦合特性，許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將它視為典型的研究對象，不斷從中發(fā)掘出新的控制策略和控制方法。控制器的設(shè)計是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容，因為倒立擺是一個絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為使其保持穩(wěn)定，并且可以承受一定的干擾，采用極點配置法設(shè)計用于直線型一級倒立擺系統(tǒng)的控制器。

2 數(shù)學模型的建立

因為倒立擺系統(tǒng)本身是一個自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此實驗建模存在一定的困難。然而，經(jīng)過謹慎的假設(shè)，忽略掉一些次要因素，就能使倒立擺系統(tǒng)成為一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，使之在慣性坐標系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學理論就能建立系統(tǒng)的動力學方程。下面采用牛頓一歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。

2．1 微分方程的推導

在忽略空氣阻力和各種摩擦后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖l所示。

假設(shè)M為小車質(zhì)量；m為擺桿質(zhì)量；b為小車摩擦系數(shù)；

l為擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度；I為擺桿慣量：F為加在小車上的力；x為小車位置；φ為擺桿與垂直向上方向的夾角；

θ擺桿與垂直向下方向的夾角圖2示出系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向分量腳。值得注意的是：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已確定，因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向為矢量正方向。

分析小車水平方向所受的合力，可得方程為：

MX=F—bi—N

由擺桿水平方向的受力進行分析，可得：

2．2 狀態(tài)空間方程

由方程組（8）對x，φ解代數(shù)方程，整理后得：

3、 狀態(tài)空間極點配置

4 、仿真驗證

建立直線一級倒立擺的仿真模型如圖3所示?！癎LlIPState—Space”為直線一級倒立擺的狀態(tài)空間模型。雙擊圖3中的“Poles Control”模塊，打開圖4中的設(shè)置窗口。

把計算得到的K值輸入到上面的窗口?？傻脠D4所示的仿真運行結(jié)果。

由圖5可見，在存在干擾的情況下，系統(tǒng)在3 s內(nèi)基本上可以恢復到新的平衡位置。

5、 實時控制

將仿真得到的K參數(shù)輸入到實際系統(tǒng)的控制模塊中，可得圖6所示實時控制曲線。在給定倒立擺干擾后，系統(tǒng)響應(yīng)圖7所示。

6、 結(jié)語

采用極點配置法設(shè)計的用于直線型一級倒立擺系統(tǒng)的控制器，可使系統(tǒng)在很小的振動范圍內(nèi)保持平衡，小車振動幅值約為4×10-3m，擺桿振動幅值約0．05 rad，系統(tǒng)穩(wěn)定時間約3 s。

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