今天遇到一個(gè)網(wǎng)友問(wèn)一個(gè)問(wèn)題，他有一個(gè)傳感器測(cè)量一個(gè)物理量，需要判斷其變化趨勢(shì)，我給了一些建議，這里將這個(gè)建議展開做些深入分析，并分享給大家。

本文想借此表達(dá)一下個(gè)人的一個(gè)觀點(diǎn)，做開發(fā)如果遇到無(wú)法解決的難題，可以試著從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，看能否找到答案。

是個(gè)啥坑？一個(gè)項(xiàng)目中用到一個(gè)傳感器測(cè)量一物理量，這里假定測(cè)量溫度吧。需要判斷其變化趨勢(shì)，利用這個(gè)變化趨勢(shì)去做一些應(yīng)用。

那么要怎么判斷一個(gè)物理量的變化趨勢(shì)呢？我們能自然能想到去求取該隨機(jī)序列的變化率。這里涉及到一些數(shù)序定義。隨機(jī)序列有很多可能的來(lái)源，最為常見(jiàn)是模數(shù)采樣。

這樣將S（t）信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散信號(hào)序列S（n），那么對(duì)于當(dāng)前時(shí)刻其斜率怎么求取呢？（這里忽略中間的過(guò)度態(tài)，僅將其看為線段相連，當(dāng)然現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中如果有更高要求，可以做曲線擬合）

但是如果只判斷，斜率極容易誤判，比如下面這樣的情況：

其斜率一會(huì)兒正，一會(huì)兒負(fù)，但是其總體趨勢(shì)又是在增加的，所以只考察斜率顯然不可取，獲取需要在代碼在加各種復(fù)雜的條件或者限值去判斷。即使加這么多條件系統(tǒng)仍然可能表現(xiàn)的非常不健壯。

對(duì)于模擬信號(hào)2而言，趨勢(shì)又在不斷變化。那么怎么做才能穩(wěn)定呢？先賣個(gè)關(guān)子？

函數(shù)的凹凸性凹函數(shù)凹函數(shù)是一個(gè)定義在某個(gè)向量空間的凸集C（區(qū)間）上的實(shí)值函數(shù)f。設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1《x2和任意的實(shí)數(shù)t屬于（0，1），總有，

則稱函數(shù)f為l上凹函數(shù)，有的書上也稱為下凸函數(shù)。

如果把上述條件中的“≥”改成“》”，則叫做嚴(yán)格上凹函數(shù)，或叫做嚴(yán)格下凸函數(shù)。

上面是一維函數(shù)情況，這里來(lái)個(gè)2維函數(shù)的圖，剛方便理解

凸函數(shù)設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1《x2和任意的實(shí)數(shù)t屬于（0，1），上面不等式變成大于等于，則在該區(qū)間為凸函數(shù)。

可見(jiàn)，凹凸是相對(duì)的，如f（x）在某區(qū)間為凹，則-f（x）則在該區(qū)間為凸。

性質(zhì)若一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間二階可導(dǎo)且大于0，則函數(shù)在該區(qū)間為凹函數(shù)

若一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間二階可導(dǎo)且小于0，則函數(shù)在該區(qū)間為凸函數(shù)

證明，這里就不推導(dǎo)了，可以利用拉格朗日中值定理可以推導(dǎo)出上面這個(gè)性質(zhì)。

來(lái)看一下會(huì)動(dòng)的圖，加深一下理解：

函數(shù)從到切線為藍(lán)色，曲線向上凹，綠色表示曲線是向下凹的，紅色表示曲線的拐點(diǎn)。

sin（2x）的一階導(dǎo)數(shù)為：

sin（2x）的二階導(dǎo)數(shù)為：

回到坑里通過(guò)上面裝逼，是否可以利用離散序列的求導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷傳感器的變化趨勢(shì)。啥？導(dǎo)數(shù)？又要開始表演了？

前面說(shuō)了一階導(dǎo)數(shù)是這樣的：

那么二階導(dǎo)數(shù)是哪樣捏？

化簡(jiǎn)一下：

其中S［n］表示當(dāng)前測(cè)量點(diǎn)，S［n-1］表示前一個(gè)測(cè)量點(diǎn)，S［n-2］表示前第2個(gè)測(cè)量點(diǎn)。應(yīng)為+S［n-2］

上代碼#include 《stdio.h》

#include 《math.h》

#include 《string.h》

typedef struct _T_2ND_DRV

float xn1;

float xn2;

}t_2ND_DRV;

typedef struct _T_1ST_DRV

float xn1;

}t_1ST_DRV;

void init_second_derivative（t_2ND_DRV *pSndDrv）

pSndDrv-》xn1 = 0;

pSndDrv-》xn2 = 0;

float second_derivative（t_2ND_DRV *pSndDrv， float xn，float T）

float result=0.0f;

if（T《=0）

return 0x7FBFFFFF; /*非法數(shù)據(jù)*/

result = （xn-2*pSndDrv-》xn1+pSndDrv-》xn2）/T/T;

pSndDrv-》xn2 = pSndDrv-》xn1;

pSndDrv-》xn1 = xn;

return result;

void init_fisrt_derivative（t_1ST_DRV *p1stDrv）

p1stDrv-》xn1 = 0;

float fisrt_derivative（t_1ST_DRV *p1stDrv， float xn，float T）

float result=0.0f;

if（T《=0）

return 0x7FBFFFFF; /*非法數(shù)據(jù)*/

result = （xn-p1stDrv-》xn1）/T;

p1stDrv-》xn1 = xn;

return result;

#define PI 3.1415f

#define SAMPLE_RATE 500.0f

#define SAMPLE_T （1/SAMPLE_RATE）

#define SAMPLE_SIZE （100）

int main（）

float sim1［SAMPLE_SIZE］;

float sim2［SAMPLE_SIZE］;

float out1［SAMPLE_SIZE］;

float out2［SAMPLE_SIZE］;

t_2ND_DRV sndDrv;

t_1ST_DRV frtDrv;

init_fisrt_derivative（&frtDrv）;

init_second_derivative（&sndDrv）;

FILE *pFile=fopen（“。/simulationSin.csv”，“wt+”）;

if（pFile==NULL）

printf（“simulationSin.csv opened failed”）;

return -1

for（int i=0;i《SAMPLE_SIZE;i++）

sim1［i］=10*sin（2*PI*10*i/500）;

for（int i=0;i《SAMPLE_SIZE;i++）

out1［i］=fisrt_derivative（&frtDrv，sim1［i］，SAMPLE_T）;

out2［i］=second_derivative（&sndDrv，sim1［i］，SAMPLE_T）;

fprintf（pFile，“%f，%f，%f

sim1［i］，out1［i］，out2［i］）

fclose（pFile）;

return 0;

忽略前兩個(gè)點(diǎn)，利用excel生成曲線：

從圖中可看出：

一階導(dǎo)數(shù)為正時(shí)，函數(shù)遞增趨勢(shì)；

一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)時(shí)，函數(shù)遞減趨勢(shì)；

二階導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，出現(xiàn)拐點(diǎn)，趨勢(shì)改變；此時(shí)如果左右兩側(cè)的一階導(dǎo)符號(hào)相反，則出現(xiàn)極值。

二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)時(shí)，其一階導(dǎo)數(shù)也即原函數(shù)斜率規(guī)律單調(diào)減，二階導(dǎo)數(shù)為正時(shí)，其一階導(dǎo)數(shù)也即原函數(shù)斜率規(guī)律單調(diào)增。

再進(jìn)一步：

一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來(lái)看，就可以看出測(cè)量值變化趨勢(shì)的趨勢(shì)，比如在前1/4周期，此區(qū)間變換趨勢(shì)為增，也即一階導(dǎo)數(shù)為正，而其二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，也可以看出遞增的趨勢(shì)是逐漸減小到0的。

代碼優(yōu)化如果只是做定性判斷，上述函數(shù)，完全沒(méi)必要與采樣周期做除法，只需要考察其增量即可，代碼可優(yōu)化如下：

typedef struct _T_2ND_DRV

float xn1;

float xn2;

}t_2ND_DRV;

typedef struct _T_1ST_DRV

float xn1;

}t_1ST_DRV;

void init_second_derivative（t_2ND_DRV *pSndDrv）

pSndDrv-》xn1 = 0;

pSndDrv-》xn2 = 0;

float second_derivative（t_2ND_DRV *pSndDrv， float xn）

float result=0.0f;

result = xn-2*pSndDrv-》xn1+pSndDrv-》xn2;

pSndDrv-》xn2 = pSndDrv-》xn1;

pSndDrv-》xn1 = xn;

return result;

void init_fisrt_derivative（t_1ST_DRV *p1stDrv）

p1stDrv-》xn1 = 0;

float fisrt_derivative（t_1ST_DRV *p1stDrv， float xn）

float result=0.0f;

result = xn-p1stDrv-》xn1;

p1stDrv-》xn1 = xn;

return result;

意外收獲這里意外引入一個(gè)可能很多人沒(méi)注意的知識(shí)點(diǎn)NaN，在計(jì)算中，NaN代表非數(shù)字，是數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)類型的成員，可以將其解釋為不確定的或無(wú)法表示的值，尤其是在浮點(diǎn)運(yùn)算中。1985年，IEEE 754浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)引入了NaN的系統(tǒng)使用，并表示了其他無(wú)限量（如無(wú)窮大）。

前述函數(shù)返回0x7FBFFFFF，也就是表示無(wú)窮大。

不同的操作系統(tǒng)和編程語(yǔ)言可能具有NaN的不同字符串表示形式：

nan

NaN

NaN%

NAN

NaNQ

NaNS

qNaN

sNaN

1.#SNAN

1.#QNAN

-1.#IND

實(shí)際上，由于編碼的NaN具有符號(hào)，因此通常也可以在NaN的字符串表示中找到它們，例如：

-NaN

NaN12345

-sNaN12300

-NaN（s1234）

工程應(yīng)用這里給出我的建議方案：

將傳感器信號(hào)經(jīng)由電路處理，模數(shù)采樣，在進(jìn)入前級(jí)數(shù)字濾波器，濾除不必要的噪聲，在進(jìn)行一階/二階求導(dǎo)。對(duì)于一階和二階求導(dǎo)再做一級(jí)移動(dòng)平均濾波，最后在按照上面描述進(jìn)行判別變化趨勢(shì)，則個(gè)人認(rèn)為基本就比較健壯了。實(shí)際移動(dòng)均值濾波長(zhǎng)度不宜選擇過(guò)長(zhǎng)，否則響應(yīng)就比較滯后了。不能對(duì)傳感器的變化趨勢(shì)做出實(shí)時(shí)的判別。加了后級(jí)均值濾波器，則會(huì)消除由于波形忽上忽下的隨機(jī)噪聲干擾影響，使得系統(tǒng)判別更為健壯，實(shí)際濾波器長(zhǎng)度需根據(jù)不同的場(chǎng)合進(jìn)行調(diào)試優(yōu)化?；蛘咭部梢赃x擇別的IIR/FIR濾波器形式實(shí)現(xiàn)。

總結(jié)一下做為嵌入式er編程，有時(shí)候有必要去看看數(shù)學(xué)書，了解一下數(shù)學(xué)原理的背后故事，可能會(huì)給你帶來(lái)意想不到的作用哦。
責(zé)任編輯:pj