“如何用最困難的方法去掙100萬(wàn)美元？”

“去證明黎曼猜想！”

這是在數(shù)學(xué)界流傳的一個(gè)笑話(huà)，黎曼猜想的難度可見(jiàn)一斑。

2000年5月，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所向全世界公布了七大數(shù)學(xué)難題，每個(gè)難題懸賞100萬(wàn)美金，黎曼猜想就是其中第四個(gè)。

1900年，大數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個(gè)歷史性數(shù)學(xué)難題，黎曼猜想是第八個(gè)問(wèn)題的一部分。

作為唯一一個(gè)連上兩榜的難題，黎曼猜想牽動(dòng)著每一位數(shù)學(xué)家的神經(jīng)。所以，當(dāng)2018年9月阿蒂亞爵士宣稱(chēng)證明了黎曼猜想的時(shí)候，整個(gè)科學(xué)界炸鍋了。那么，黎曼猜想到底說(shuō)了啥？普通的吃瓜群眾要怎樣才聽(tīng)懂如此高深的數(shù)學(xué)問(wèn)題？長(zhǎng)尾科技今天就來(lái)給大家說(shuō)道說(shuō)道。

其實(shí)，在長(zhǎng)尾科技的上一篇文章《終于知道為什么宇宙是11維的了，11竟然是這么來(lái)的……》里還恰巧就涉及到了一點(diǎn)點(diǎn)和黎曼猜想有關(guān)的東西。

歐拉的公式

不知道大家還記不記得上篇文章里提到的那個(gè)歐拉的不可思議公式：1+2+3+4+5+……=-1/12。正是這個(gè)公式讓超弦理論里光子的能量變成可以計(jì)算的，并最終確定了超弦理論里宇宙的維度。

上篇文章因?yàn)槭侵v超弦理論的，所以這個(gè)公式也只是稍微提了一下，也跟大家說(shuō)了當(dāng)時(shí)歐拉的證明方法是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。并且這種加法也不是我們平常所說(shuō)的加法，而是無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和，數(shù)學(xué)家們?yōu)榇松踔林匦露x了“和”的概念。數(shù)學(xué)一涉及到這種無(wú)窮，很多東西就跟平常不一樣了，就跟物理學(xué)家在量子尺度看到的完全不一樣的世界一樣。

在這種無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和，我們平常加法所使用的交換律（a+b=b+a）和結(jié)合律【（a+b）+c=a+（b+c）】都不再適用。

比如，看這樣一個(gè)數(shù)列求和：1，-1,1，-1,1……（正負(fù)1無(wú)窮交替）。

如果我們這樣配對(duì)：（1-1）+（1-1）+……=0。（它的和應(yīng)該是0）

而如果這樣配對(duì)：1+（-1+1）+（-1+1）+……=1。（它的和又應(yīng)該是1）

不同的結(jié)合方式得到的結(jié)果竟然是不一樣的，這在我們普通的加法里是不可想象的。這種問(wèn)題在數(shù)學(xué)里叫發(fā)散級(jí)數(shù)求和，我并不打算在這里深入講這個(gè)，大家只需要知道這種求和跟我們平常所理解的求和不一樣，但是這種求和在物理上（比如超弦）具有很重要的意義就行了。

Zeta函數(shù)ζ(n)

歐拉的那個(gè)不可思議公式（1+2+3+4+5+……=-1/12）其實(shí)有一個(gè)更加一般的形式，這個(gè)更加一般形式就叫Zeta函數(shù)ζ(n)：

我們可以看到，上面那個(gè)自然級(jí)數(shù)的求和就是這個(gè)當(dāng)Zeta函數(shù)里n=-1的時(shí)候的特例，即：

ζ(-1)=1+2+3+4+……=-1/12。

歐拉在1735年（28歲）就算出來(lái)了ζ(2)=1+1/4+1/9+1/16+1/25+……=π^2/6，并且通過(guò)這個(gè)一舉成名。

歐拉后面還要繼續(xù)跟這個(gè)Zeta函數(shù)打交道，并且發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)里隱藏的驚天秘密，最終給黎曼和黎曼猜想打開(kāi)了一扇大門(mén)。

那么，歐拉到底發(fā)現(xiàn)了Zeta函數(shù)里面隱藏的什么秘密呢？

答案就是：Zeta函數(shù)和質(zhì)數(shù)之間有某種不可告人的關(guān)系。

為什么質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）如此重要？

質(zhì)數(shù)，也叫素?cái)?shù)，我們?cè)谛W(xué)的時(shí)候就知道它的概念：只能被自己和1整除的自然數(shù)就叫質(zhì)數(shù)（比如2, 3, 5, 7, 11, 13），質(zhì)數(shù)以外的自然數(shù)（就是說(shuō)除了自己和1，還能被其他的）叫合數(shù)。

小時(shí)候我們知道質(zhì)數(shù)和合數(shù)的定義，也知道要怎么判斷，但是我們未必知道質(zhì)數(shù)的意義（不就是只能被自己和1整除嘛，有什么特別意義的）。

我們先來(lái)想一想，合數(shù)為什么叫合數(shù)？我們可以理解為合數(shù)是可以由其他的質(zhì)數(shù)合成的數(shù)。小學(xué)我們就學(xué)過(guò)質(zhì)因數(shù)分解：每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，這個(gè)質(zhì)數(shù)就叫這個(gè)合數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)。

也就是說(shuō)，我所有的合數(shù)都可以看成是由質(zhì)數(shù)組合而成的，那么，只要我把這些處在最低層的質(zhì)數(shù)的規(guī)律摸清楚了，那么上層的合數(shù)的規(guī)律就不在話(huà)下了。

這就好比我們學(xué)物理，只要我們把分子原子的規(guī)律搞清楚了，那么由分子原子組成的物質(zhì)的性質(zhì)也就搞清楚了。而質(zhì)數(shù)在自然數(shù)里的地位，就相當(dāng)于分子原子電子（現(xiàn)在應(yīng)該是夸克）這些基本粒子在物理學(xué)的地位，所以你說(shuō)它重不重要？

質(zhì)數(shù)的規(guī)律

既然質(zhì)數(shù)這么重要，那數(shù)學(xué)家們都去研究質(zhì)數(shù)的規(guī)律啊，都別閑著?。?/p>

數(shù)學(xué)家們自覺(jué)得很，根本不用你催就去吭哧吭哧的研究去了，但是研究來(lái)研究去，發(fā)現(xiàn)這質(zhì)數(shù)實(shí)在太難搞了，壓根就沒(méi)啥規(guī)律可言嘛。試圖通過(guò)簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式來(lái)找到質(zhì)數(shù)規(guī)律的直接被判死刑了，不信我列舉100以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)你自己去找找規(guī)律看看，看看能找出什么規(guī)律：

100以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

數(shù)學(xué)們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，而且根本找不到簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式通項(xiàng)公式，要研究質(zhì)數(shù)壓根不知道從而下手。

這種尷尬的局面一直要到歐拉發(fā)現(xiàn)了Zeta函數(shù)和質(zhì)數(shù)之間的神秘聯(lián)系之后才被打破。

歐拉乘積公式

1737年，歐拉在一篇名為《無(wú)窮級(jí)數(shù)的各種觀(guān)察》的論文中首次發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)和Zeta函數(shù)之間的一種關(guān)系：Zeta 函數(shù)的求和等于1減去質(zhì)數(shù)的-s 次方的倒數(shù)的求積。

這個(gè)公式叫做歐拉乘積公式（p為質(zhì)數(shù)）：

這個(gè)公式看不太懂也沒(méi)關(guān)系，反正我們只要知道歐拉第一次發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)的乘積和Zeta函數(shù)的求和之間存在一種關(guān)系就行了。這種關(guān)系是現(xiàn)代質(zhì)數(shù)理論的基礎(chǔ)，并且給后人指明了一個(gè)方向：想要了解質(zhì)數(shù)的規(guī)律么？那么就去研究Zeta函數(shù)把，質(zhì)數(shù)的規(guī)律極有可能就藏在Zeta函數(shù)里面。

質(zhì)數(shù)的計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)

在上面我們提到，想找到一個(gè)簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式公式來(lái)描述質(zhì)數(shù)是不可能的，那我來(lái)研究一下質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律總可以吧，我想知道100以?xún)?nèi)大概有多少個(gè)質(zhì)數(shù)，100萬(wàn)以?xún)?nèi)大概有多少個(gè)質(zhì)數(shù)，這個(gè)也非常的重要。

高斯引入質(zhì)數(shù)的計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)就是用來(lái)干這事的，π(x)表示小于x的質(zhì)數(shù)數(shù)量，比如π(100)就表示小于100的質(zhì)數(shù)有多少個(gè)。

π(x)其實(shí)是一個(gè)客觀(guān)確定的函數(shù)，比如我們都知道10以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)一共有4個(gè)（π(10)=4），20以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)一共有8個(gè)（π(20)=8），100以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)總共有25個(gè)（π(100)=25）等等。那么接下來(lái)我們就要找一個(gè)已知的函數(shù)來(lái)模擬它，讓這個(gè)函數(shù)取10的時(shí)候，它的值為4，取20的時(shí)候值為8，取100的的時(shí)候值為25。

因?yàn)槲覀儧](méi)有找到描述質(zhì)數(shù)的準(zhǔn)確規(guī)律，所以我們也無(wú)法找到一個(gè)精確的描述質(zhì)數(shù)分布的函數(shù)，于是我們就只能盡可能去找一個(gè)誤差比較小的函數(shù)來(lái)代替它，讓我們對(duì)質(zhì)數(shù)的分布有個(gè)大致的把握。

質(zhì)數(shù)的計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)是高斯提出來(lái)的，他自己先給出了一個(gè)近似模擬π(x)的函數(shù)：x/ln(x)。并且提出：當(dāng)x逐漸增大到無(wú)窮大時(shí)候，π(x)和x/ln(x)應(yīng)該近似相等。這個(gè)就叫素?cái)?shù)定理。

后來(lái)，人們又提出了一個(gè)模擬π(x)的函數(shù)Li(x)，這個(gè)函數(shù)比x/ln(x)更加精確。

這幾個(gè)函數(shù)的圖如下，我們可以看到Li(x)偏大，x/ln(x)偏小。相比之下Li(x)確實(shí)更加精確一些。

但是，即便如此，數(shù)學(xué)家們還是不滿(mǎn)意。Li(x)即便精確一些，但是當(dāng)x取到億級(jí)的時(shí)候，它將產(chǎn)生兩千多個(gè)誤差，這對(duì)眼里容不得沙子的數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，依然是不可接受的。

難道就不能再找到更好的結(jié)果了么？

黎曼登場(chǎng)

前面做了那么多鋪墊，我們的主角黎曼終于要登場(chǎng)了。

我們先看一看這幾個(gè)人的出生年代：歐拉（1707-1783）、高斯（1777-1855）、黎曼（1826-1866）。高斯比歐拉小了70歲，黎曼比高斯小了49歲，而黎曼正好是高斯最得意的學(xué)生。從上面我們發(fā)現(xiàn)最悲傷的事情是：歐拉和高斯分別活了76歲和78歲，而黎曼只活了40歲。

如果黎曼能活得跟歐拉高斯一樣久，黎曼猜想或許早就被黎曼自己解決了，而且說(shuō)不定黎曼能把相對(duì)論搞出來(lái)（愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)工具就是黎曼幾何）。黎曼的創(chuàng)造力和對(duì)數(shù)學(xué)的洞察力太驚人了，他隨便一個(gè)證明從略的東西就要花費(fèi)后世數(shù)學(xué)家?guī)资甑臅r(shí)間去證明，而黎曼的運(yùn)氣又太差了，他極其珍貴的手稿在他死后被管家一把火燒了，可見(jiàn)身體是革命的本錢(qián)啊！

1859年，黎曼發(fā)表了關(guān)于質(zhì)數(shù)分布的論文《論小于某給定值的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)》，這是他在這個(gè)領(lǐng)域發(fā)表的唯一的一篇論文，卻被認(rèn)為的該領(lǐng)域最重要的論文，不得不說(shuō)有才就是任性。

黎曼 Zeta函數(shù)

關(guān)于Zeta函數(shù)我們?cè)谏厦嬉呀?jīng)介紹了，歐拉第一個(gè)發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)和Zeta函數(shù)之前存在著某種不可告人的秘密，但是這種關(guān)系畢竟很有限。

黎曼做的一個(gè)重要的工作就是：把Zeta函數(shù)推廣到了復(fù)數(shù)，然后在復(fù)數(shù)這個(gè)更高的角度發(fā)現(xiàn)了Zeta函數(shù)跟質(zhì)數(shù)之間更加深刻的關(guān)系。

我們先來(lái)回憶一下復(fù)數(shù)的概念：-3，2，0，1，5這種數(shù)是整數(shù)，整數(shù)加上有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)構(gòu)成了有理數(shù)，有理數(shù)加上π、根號(hào)2這種無(wú)限不循環(huán)的無(wú)理數(shù)一起構(gòu)成了實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)和虛數(shù)一起構(gòu)成了復(fù)數(shù)。

虛數(shù)主要是通過(guò)一個(gè)虛數(shù)單位構(gòu)成的，這個(gè)虛數(shù)單位記做i，這個(gè)i的一個(gè)神奇的特性就是：i的平方等于負(fù)一，即i^2=-1。

我們知道，在實(shí)數(shù)范圍里，任何一個(gè)數(shù)的平方都是大于等于0的數(shù)，但是現(xiàn)在出現(xiàn)了一個(gè)i，它的平方居然等于-1，那么這個(gè)i肯定就不是實(shí)數(shù)里面的了。那么，有這個(gè)i組成的數(shù)就叫虛數(shù)，實(shí)數(shù)和虛數(shù)一起就叫復(fù)數(shù)。

根據(jù)上面的定義，一個(gè)復(fù)數(shù)就可以寫(xiě)成s = σ + it（其中σ 和 t 均為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位），當(dāng)t=0的時(shí)候，這個(gè)復(fù)數(shù)就變成了一個(gè)實(shí)數(shù)。

黎曼Zeta函數(shù)就是把原來(lái)的Zeta函數(shù)拓展到了這個(gè)復(fù)數(shù)里面，也就是說(shuō)下面的s代表一個(gè)復(fù)數(shù)。

函數(shù)的零點(diǎn)

我們?cè)诔踔械臅r(shí)候就接觸過(guò)方程和函數(shù)。

方程是一個(gè)含有未知數(shù)的等式，使用方程可以讓我們省去逆向思維的痛苦，這在數(shù)學(xué)里是一個(gè)非常重要的思想。通常我們會(huì)把方程里所有的項(xiàng)都移到左邊，然右邊只剩下一個(gè)0，而通過(guò)解方程就可以求解出這個(gè)未知數(shù)。

比如，2x-4=0這是一個(gè)方程，因?yàn)橹挥衳一個(gè)變量，而且最高次項(xiàng)只有一次（沒(méi)有平方立方啥的），所以這叫一元一次方程，也是最簡(jiǎn)單的方程。我們通過(guò)觀(guān)察，很輕松的就可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2的時(shí)候這個(gè)等式是成立，所以這個(gè)方程的解就是x=2。

然后，我們把方程的左邊單獨(dú)摘出來(lái)，把它賦給另外一個(gè)變量y，這樣就變成了y=2x-4，那么這樣就產(chǎn)生了一個(gè)函數(shù)。

我們觀(guān)察這個(gè)函數(shù)，當(dāng)x=1的時(shí)候，y=-1;x=2的時(shí)候，y=0；x=3的時(shí)候，y=2等等等等。給定一個(gè)任何的x，我們的y都有一個(gè)唯一的值跟它對(duì)應(yīng)。

那么，當(dāng)x等于多少的時(shí)候，y等于0呢？這個(gè)問(wèn)題就是函數(shù)的零點(diǎn)的問(wèn)題，大家觀(guān)察一下就可以發(fā)現(xiàn)，如果y=0那么這個(gè)函數(shù)就變成了y=2x-4=0，這不就是之前的方程么？因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)問(wèn)題其實(shí)是跟這個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程的解的問(wèn)題聯(lián)系在一起的，所以，這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題就顯得特別的重要。

那么好，在我們這個(gè)y=2x-4這個(gè)函數(shù)里，它有零點(diǎn)，并且只有x=2這一個(gè)零點(diǎn)，但是在很多函數(shù)里，它的零點(diǎn)就不止一個(gè)。比如說(shuō)y=x^2-4（x的平方減4），這個(gè)函數(shù)就有x=2和x=-2兩個(gè)零點(diǎn)，它有兩個(gè)零點(diǎn)就意味著它對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)解，以此類(lèi)推。

黎曼Zeta函數(shù)的零點(diǎn)

我們現(xiàn)在了解了一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)的概念，也懂得了它的意義，那么黎曼Zeta函數(shù)它是不是也是一個(gè)函數(shù)呢？既然是一個(gè)函數(shù)，那么它是不是也有零點(diǎn)？那么它的零點(diǎn)應(yīng)該是什么樣的呢？

上面我們也說(shuō)了，這個(gè)Zeta函數(shù)之所以要稱(chēng)為黎曼Zeta函數(shù)，就是因?yàn)槔杪堰@個(gè)函數(shù)拓展到了復(fù)數(shù)領(lǐng)域，那么相應(yīng)的，這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)也應(yīng)該是復(fù)數(shù)。

我們就假設(shè)黎曼Zeta函數(shù)的零點(diǎn)s=a+bi（這是一個(gè)復(fù)數(shù)，a為實(shí)數(shù)部分，簡(jiǎn)稱(chēng)實(shí)部，b為虛數(shù)部分，簡(jiǎn)稱(chēng)虛部）

黎曼對(duì)根據(jù)零點(diǎn)實(shí)部的大小給這些零點(diǎn)分了一個(gè)類(lèi)：a<0的零點(diǎn)，0<=a<=1的零點(diǎn)和a>1的零點(diǎn)。

實(shí)部a<0的零點(diǎn)：這部分零點(diǎn)非常的簡(jiǎn)單，就是在負(fù)偶數(shù)的地方有零點(diǎn)，比如-2，-4，-6，-8……因?yàn)檫@部分的零點(diǎn)是在是太平凡了，所以它們叫平凡零點(diǎn)。

實(shí)部a>1的零點(diǎn)：通過(guò)計(jì)算，黎曼發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)部a>0的時(shí)候，函數(shù)壓根就沒(méi)有零點(diǎn)，也就是說(shuō)，在這里不存在零點(diǎn)。

實(shí)部0<=a<=1的零點(diǎn)：小于0和大于1部分的零點(diǎn)都容易解決，這部分處在臨界地區(qū)的零點(diǎn)是最復(fù)雜的，也是被研究的最多的，這部分的零點(diǎn)因?yàn)榉浅５膹?fù)雜，非常的不平凡，所以被稱(chēng)為不平凡零點(diǎn)。跟黎曼猜想息息相關(guān)的，正是這些不平凡零點(diǎn)。

黎曼猜想

黎曼在研究這些非平凡零點(diǎn)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)他求解的非平凡零點(diǎn)的實(shí)部a都等于1/2，但是他無(wú)法給出證明，無(wú)法從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出黎曼Zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都等于1/2。

于是，黎曼就給出了鼎鼎大名的黎曼猜想：黎曼Zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都等于1/2。

如果黎曼猜想是正確的，那么以后黎曼Zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)就可以都寫(xiě)成s=1/2+bi的形式。

據(jù)說(shuō)我們已經(jīng)用計(jì)算機(jī)已經(jīng)驗(yàn)證了10萬(wàn)億個(gè)非平凡零點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)它的實(shí)部都等于1/2，但是10萬(wàn)億不等于所有，在無(wú)窮面前依然是滄海一粟。

當(dāng)然，因?yàn)槔杪孪敕浅５暮糜茫?，很多?shù)學(xué)家也等不到黎曼猜想被證明（他們相信黎曼猜想應(yīng)該是對(duì)的，只是現(xiàn)在還無(wú)法證明而已），他們就直接假設(shè)黎曼猜想是對(duì)的，然后繼續(xù)進(jìn)行他們的工作。據(jù)說(shuō)，目前已經(jīng)有一千多個(gè)命題是基于黎曼假設(shè)正確提出來(lái)的，也就是說(shuō)，如果黎曼猜想最終被確切證明是正確的，那么這一千多個(gè)命題就會(huì)榮升為定理，如果黎曼猜想不幸是錯(cuò)誤的，那么一千多個(gè)命題就會(huì)集體陪葬。

一條猜想關(guān)系著如此多命題的命運(yùn)，這在數(shù)學(xué)史上都是前無(wú)古人的。

不平凡零點(diǎn)和質(zhì)數(shù)

我們?cè)谏厦嬉呀?jīng)說(shuō)過(guò)，零點(diǎn)的意義是很重要的。在黎曼猜想之后，黎曼就開(kāi)始研究它們和質(zhì)數(shù)之間的關(guān)系，因?yàn)槲覀冄芯縕eta函數(shù)，研究不平凡零點(diǎn)，最終都是為了研究質(zhì)數(shù)的規(guī)律。

高斯之前定義了一個(gè)質(zhì)數(shù)的計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)，黎曼把這個(gè)質(zhì)數(shù)的計(jì)數(shù)函數(shù)自己包裝了一層，提出了一個(gè)黎曼質(zhì)數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)J(x)，其中：

然后，黎曼給出了質(zhì)數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)的準(zhǔn)確形式，并發(fā)現(xiàn)它跟非平凡零點(diǎn)有非常大的關(guān)系。這樣，非平凡零點(diǎn)的意義一下子就凸顯出來(lái)了。同樣的，我貼出來(lái)的這些公式，不理解也無(wú)所謂，反正就是只要知道黎曼質(zhì)數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)跟非平凡零點(diǎn)之間有種關(guān)系就行了，觀(guān)其大意，抓住要點(diǎn)，不求甚解。

再回憶一下，質(zhì)數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)是什么意思？它表達(dá)的是小于這個(gè)數(shù)的范圍內(nèi)有多少個(gè)質(zhì)數(shù)，這其實(shí)就是在研究質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律，這對(duì)于質(zhì)數(shù)的研究是非常重要的，我們的質(zhì)數(shù)到底是隨機(jī)分布的，還是有什么特殊的規(guī)律呢？

不平凡零點(diǎn)的意義

不平凡零點(diǎn)雖然是黎曼用Zeta函數(shù)來(lái)研究質(zhì)數(shù)的時(shí)候蹦出來(lái)的東西，但是這東西一旦出來(lái)了就不再受控了。

比如，物理學(xué)家居然發(fā)現(xiàn)這個(gè)不平凡零點(diǎn)的分布跟多粒子系統(tǒng)相互作用下能級(jí)的分布有這某種驚人的相似性。

這些零點(diǎn)的分布到底有什么規(guī)律？這些零點(diǎn)到底有什么意義？它是不是無(wú)意中泄露了某種新的天機(jī)？我們可能只是通過(guò)質(zhì)數(shù)的研究無(wú)意中把它炸了出來(lái)，但是它的真實(shí)能量可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止如此。

也正因?yàn)檫@些不平凡的零點(diǎn)慢慢變得如此不平凡，黎曼猜想就變得愈發(fā)的重要，畢竟，對(duì)于這些不平凡零點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它們是實(shí)部是不是永遠(yuǎn)等于1/2，這可是個(gè)大事。

結(jié)語(yǔ)

不知不覺(jué)，文章快6000字了。

黎曼在1859年提出了黎曼猜想，這問(wèn)題在159年之后依然懸而未決，可見(jiàn)問(wèn)題難度之大。因此，要把這個(gè)問(wèn)題跟不太懂高等數(shù)學(xué)的人講清楚是非常困難的，尤其長(zhǎng)尾科技是打算讓初中生甚至小學(xué)生也能看懂黎曼猜想（如此偉大美妙的思想，憑什么不讓初中生小學(xué)生了解？），因?yàn)樾W(xué)初中時(shí)期是學(xué)生思想最純的時(shí)候，那個(gè)時(shí)候的學(xué)生是發(fā)自?xún)?nèi)心的想當(dāng)科學(xué)家。如果我的文章能夠讓初中生小學(xué)生對(duì)黎曼猜想，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣并自發(fā)的研究數(shù)學(xué)，那長(zhǎng)尾科技寫(xiě)文章的目的就達(dá)到了。

長(zhǎng)尾科技寫(xiě)相對(duì)論文章的目的也是如此。長(zhǎng)尾就是要把物理、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)里一些最難以理解，最前沿的科學(xué)思想用初中生甚至小學(xué)生都能看懂的語(yǔ)言寫(xiě)出來(lái)，而且是把他們的原理前前后后都寫(xiě)清楚，而不是簡(jiǎn)單的介紹一下他們。長(zhǎng)尾科技自己沒(méi)有真的弄懂的東西，絕不輕易下筆，寧可不寫(xiě)，也不要誤導(dǎo)別人，也因此，長(zhǎng)尾科技的公眾號(hào)里只有自己原創(chuàng)的文章。

相對(duì)論、量子力學(xué)、黑洞、超弦、無(wú)窮、哥德?tīng)柖ɡ?、貝爾不等式?a target="_blank">人工智能、深度學(xué)習(xí)，這些超酷的字眼我不能只讓科學(xué)家們才理解它們啊。我相信科學(xué)本身就是非常美的，只要我把科學(xué)的美自然的展現(xiàn)出來(lái)，別人不需要外力就能自動(dòng)的愛(ài)上它，這也是科普的意義~