分析線性系統(tǒng)的古典方法是微分方程法。描述系統(tǒng)的微分方程中，包含有激勵(lì)函數(shù)和響應(yīng)函數(shù)以及它們對(duì)時(shí)間的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合。線性系統(tǒng)的分析歸結(jié)為求解線性微分方程。因?yàn)檫@樣一個(gè)分析求解的過(guò)程，都是在時(shí)域中進(jìn)行的，所涉及的都是時(shí)間變量t，所以這種解微分方程的方法稱為時(shí)域分析法。

進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，首先是列出系統(tǒng)的微分方程，這個(gè)工作并不困難。對(duì)于線性電路，只要根據(jù)基爾霍夫定理，就可以列出一個(gè)或一組電路的線性微分方程。

例如，對(duì)于RLC串聯(lián)電路，如所熟知，可以列出如下方程：

例如，對(duì)于圖中所示的雙耦合電路，可以列出一對(duì)微分方程：

用消元法來(lái)求解這兩個(gè)聯(lián)立的二階微分方程時(shí)，就會(huì)導(dǎo)得一個(gè)四階的微分方程。例如其中消去i1，即可得

由此推廣到一般，對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)函數(shù)與響應(yīng)函數(shù)、或者輸入函數(shù)與輸出函數(shù)之間的關(guān)系，總可以用下列形式的微分方程式——輸入-輸出方程來(lái)描述：

這個(gè)式子是一個(gè)常系數(shù)的n解線性常微分方程，在做線性系統(tǒng)的分析時(shí)，就必須要求解這個(gè)微分方程。

在高等數(shù)學(xué)中，這個(gè)微分方程式的解包括兩個(gè)組成部分：一是此方程相應(yīng)的齊次方程(令該式右邊為零所得的方程)的通解，另一是滿足此非齊次方程的一個(gè)特解。

齊次方程的通解為n個(gè)指數(shù)項(xiàng)之和，其中包含有n個(gè)未定常數(shù)，需要用n個(gè)初始條件確定。作為系統(tǒng)的響應(yīng)來(lái)說(shuō)，通解的這部分就是自由響應(yīng)。

非齊次方程的特解，要根據(jù)方程右邊函數(shù)即系統(tǒng)的激勵(lì)函數(shù)的具體形式來(lái)求解，作為系統(tǒng)的響應(yīng)來(lái)說(shuō)，特解的這部分就是受迫響應(yīng)。

對(duì)于一個(gè)可以用低階微分方程描述的系統(tǒng)，如果激勵(lì)信號(hào)又是直流、正弦或者指數(shù)之類的簡(jiǎn)單形式的函數(shù)，那么用上述古典的求解微分方程的方法去分析線性系統(tǒng)是很方便的。但是，如果激勵(lì)信號(hào)是某種較為復(fù)雜的函數(shù)時(shí)，求方程的特解就不那么容易了。特別是當(dāng)系統(tǒng)又須用高階微分方程描述時(shí)，利用古典法求解微分方程的工作將變得格外困難。

正是避免這種困難，人們找到了利用變換域的方法去求解微分方程并分析系統(tǒng)。在上世紀(jì)四、五十年代以前，對(duì)于較為復(fù)雜的系統(tǒng)的分析，幾乎無(wú)一例外地采用拉普拉斯變換法。

然而，應(yīng)用拉普拉斯變換法以避免古典法遇到的困難，必須付出進(jìn)行正反兩次變換的代價(jià)。這個(gè)變換工作，有時(shí)并不輕松。特別是在工程技術(shù)中，常常會(huì)遇到激勵(lì)函數(shù)是某一個(gè)數(shù)據(jù)的序列或是某一條曲線而無(wú)法表示為簡(jiǎn)明的解析式的情況，這樣的函數(shù)當(dāng)然也就難以對(duì)他進(jìn)行變換了。這時(shí)拉普拉斯變換法也顯得無(wú)能為力。

根據(jù)電路理論，系統(tǒng)的響應(yīng)并不一定要?jiǎng)澐譃樽杂身憫?yīng)和受迫響應(yīng)兩個(gè)部分，而可以根據(jù)疊加加定理，把它分為僅由初始條件引起的零輸入響應(yīng)和僅由外加激勵(lì)源引起的零狀態(tài)響應(yīng)兩部分。

在求零輸入響應(yīng)時(shí)，只要求解上述齊次方程并利用初始條件確定解中的待定系數(shù)，這個(gè)工作無(wú)大困難。

在求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，就是求解包含激勵(lì)函數(shù)在內(nèi)的初始條件為零的非齊次方程。

對(duì)于復(fù)雜信號(hào)激勵(lì)的線性系統(tǒng)，在時(shí)域中求解系統(tǒng)的非齊次微分方程的解的另一條路子是應(yīng)用疊加積分。正好像把激勵(lì)信號(hào)在頻域中分解成單元激勵(lì)函數(shù)那樣，激勵(lì)信號(hào)也可以在時(shí)域中分解為脈沖信號(hào)或階躍信號(hào)。

把這些單元激勵(lì)分別加于系統(tǒng)并求出其響應(yīng)，然后把這些響應(yīng)疊加，即可得到復(fù)雜信號(hào)加于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)?；谶@種思想所導(dǎo)得的疊加積分，就是卷積積分與杜阿美爾積分，而這兩者之間，具有十分密切的關(guān)系。

編輯：jq