復(fù)頻率現(xiàn)在已是一個(gè)廣泛熟悉而通用的名詞，所以這里仍舊用它。復(fù)頻率可以方便地表示在一個(gè)復(fù)平面上，如下圖所示。

水平軸為實(shí)軸(σ軸)，垂直軸為虛軸(jω),則不同的s值應(yīng)于復(fù)平面上不同位置的點(diǎn)。

因?yàn)閟的虛部ω反應(yīng)指數(shù)函數(shù)的頻率，而實(shí)部σ則反映指數(shù)函數(shù)的幅度變化率。因此在復(fù)平面實(shí)軸上的點(diǎn)如A1、A2、B1、B2等。由于ω=0，所代表的是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律單調(diào)增長(zhǎng)或衰減的指數(shù)信號(hào)。

在σ正方向上σ>0，代表的是隨時(shí)間增長(zhǎng)的指數(shù)信號(hào)。在σ軸負(fù)方向上σ<0，代表的是隨時(shí)間衰減的指數(shù)信號(hào)。且如點(diǎn)的位置距離虛軸愈遠(yuǎn)，則σ的絕對(duì)值愈大，即意味著信號(hào)的增長(zhǎng)或衰減速率愈大。

(1)試比較點(diǎn)A1與A2及B1與B2。A1、A2在正實(shí)軸上，代表的是隨時(shí)間增長(zhǎng)的指數(shù)信號(hào)，而B1、B2在負(fù)實(shí)軸上，代表的是隨時(shí)間衰減的信號(hào)。

A1、B1比A2、B2距虛軸較近，所以A1、B1代表的指數(shù)信號(hào)隨時(shí)間的變化較A2、B2所代表的信號(hào)隨時(shí)間的變化較慢。

(2)在坐標(biāo)原點(diǎn)O所代表的信號(hào)則是不隨時(shí)間變化的直流信號(hào)。

(3)在虛軸上的點(diǎn)則因?yàn)椐?0，所以代表的是等幅的正弦振蕩信號(hào)，且頻率隨點(diǎn)距實(shí)軸的距離增加而增加。

(4)對(duì)于既不是實(shí)軸又不是虛軸上點(diǎn)，因?yàn)閟為復(fù)數(shù)，所代表的是幅度按指數(shù)規(guī)律變化的“正弦振蕩”信號(hào)。在做半平面是幅度按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦信號(hào)，在右半平面是幅度按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)的正弦信號(hào)。

當(dāng)然，如果點(diǎn)距離虛軸愈遠(yuǎn)，則幅度的變化速率愈快，如距實(shí)軸愈遠(yuǎn)，則信號(hào)的頻率愈高。

通過上面的分析可以看出復(fù)平面上的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于指數(shù)函數(shù)的一個(gè)確定的模式。需要指出的是在這里也會(huì)出現(xiàn)負(fù)頻率的信號(hào)，如C1*、D1*等。

其原因和傅里葉變換一樣，是由于用指數(shù)分量來表示信號(hào)的結(jié)果。

正如傅里葉變換中所指數(shù)的一個(gè)正頻率(s=jω)的指數(shù)函數(shù)與一個(gè)負(fù)頻率(s=-jω)的指數(shù)函數(shù)可以合并成一個(gè)等幅正弦信號(hào)：

同樣兩個(gè)復(fù)頻率為共軛對(duì)(s=σ+jω,及s=σ-jω)的指數(shù)函數(shù)也可以合并成一個(gè)幅度按指數(shù)規(guī)律變化的正弦信號(hào)：

因此任一函數(shù)被分解為指數(shù)函數(shù)之和的時(shí)候，其復(fù)頻率一定是共軛成對(duì)出現(xiàn)的，不存在只有一個(gè)單獨(dú)的負(fù)頻率的情況。

通過上面對(duì)復(fù)頻率的說明，可以更清楚的看到，雙邊或單邊拉普拉斯變換都是把函數(shù)分解為無窮多個(gè)具有復(fù)頻率s的指數(shù)函數(shù)之和。

而傅里葉變換只是雙邊拉普拉斯變換中s=jω的一種特殊情況，即分解沿著復(fù)平面的虛軸進(jìn)行的。

文章出處：【微信公眾號(hào)：模擬札記】

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