本文主要講述的是霍夫變換的一些內(nèi)容，并加入一些在生活中的應(yīng)用，希望能對(duì)讀者對(duì)于霍夫變換的內(nèi)容有所了解。

首先我先說(shuō)的是，霍夫變換是一個(gè)特征提取技術(shù)。其可用于隔離圖像中特定形狀的特征的技術(shù)，應(yīng)用在圖像分析、計(jì)算機(jī)視覺(jué)和數(shù)字圖像處理領(lǐng)域。目的是通過(guò)投票程序在特定類(lèi)型的形狀內(nèi)找到對(duì)象的不完美實(shí)例。

這個(gè)投票程序是在一個(gè)參數(shù)空間中進(jìn)行的，在這個(gè)參數(shù)空間中，候選對(duì)象被當(dāng)作所謂的累加器空間中的局部最大值來(lái)獲得，所述累加器空間由用于計(jì)算霍夫變換的算法明確地構(gòu)建。此處我們主要介紹的是比較基本的霍夫變換在直線中的應(yīng)用，例如在圖像中檢測(cè)直線（線段），Hough變換的主要優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于噪聲有良好的魯棒性。

基礎(chǔ)原理介紹

正如我們上面所介紹的那樣，霍夫變換最簡(jiǎn)單的是檢測(cè)直線。我們知道，直線的方程表示可以由斜率k和截距b表示（這種表示方法，稱為斜截式，也就是高中的時(shí)候?qū)W習(xí)到的一種常用形式），如下所示：

y=kx+b

如果我們用參數(shù)空間表示則為（b，k），即，我們可以用斜率和截距就能表示一條直線。但這種形式會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題，那就是當(dāng)我們的直線斜率k為無(wú)限大的時(shí)候（即垂線），這會(huì)使得該直線無(wú)法使用斜截式來(lái)進(jìn)行表示，此處我們需要使用到另一種直線的表現(xiàn)形式：黑塞法線式（或者簡(jiǎn)稱為法線式）：

r=xcosθ+ysinθ

其中r是原點(diǎn)到直線上最近點(diǎn)的距離（其他人可能把這記錄為ρ，下面也可以把r看成參數(shù)ρ，兩者含義相同），θ是x軸與連接原點(diǎn)和最近點(diǎn)直線之間的夾角。

從而我們可以將圖像的每一條直線與一對(duì)參數(shù)（r，θ）相關(guān)聯(lián)。由參數(shù)（r，θ）構(gòu)成的平面有時(shí)被稱為霍夫空間，用于表示二維直線所構(gòu)成的集合。

我們經(jīng)過(guò)Hough變換后，我們圓來(lái)笛卡爾坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)可以映射到Hough空間中去。

經(jīng)過(guò)原笛卡爾坐標(biāo)系中的定點(diǎn)（3，4），通過(guò)該點(diǎn)的所有可能直線的（r，θ）的關(guān)系。顯示了在極坐標(biāo)對(duì)極徑極角平面繪出所有通過(guò)該定點(diǎn)的直線， 將得到一條正弦曲線。正弦曲線的形狀取決于，點(diǎn)到所定義原點(diǎn)的距離r。通常，r越大，正弦曲線的振幅越大，反之則會(huì)越小。

所以我們可以得到一個(gè)結(jié)論，給定平面中的單個(gè)點(diǎn)，那么通過(guò)該點(diǎn)的所有直線的集合對(duì)應(yīng)于（r，θ）平面中的正弦曲線，這對(duì)于該點(diǎn)是獨(dú)特的。一組兩個(gè)或更多點(diǎn)形成一條直線將產(chǎn)生在該線的（r，θ）處交叉的正弦曲線。因此，檢測(cè)共線點(diǎn)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為找曲線相交點(diǎn)的問(wèn)題。

例：

考慮下面三個(gè)點(diǎn)，這里顯示為黑點(diǎn)。

（注：此處也展示了霍夫變換的幾個(gè)基本步驟：首先，對(duì)每個(gè)點(diǎn)均繪制不同角度的線條，這些線全部經(jīng)過(guò)各自的對(duì)應(yīng)點(diǎn)并顯示為實(shí)線。其次，對(duì)于每條實(shí)線，找到經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的對(duì)應(yīng)垂線并顯示為虛線。然后找到虛線的長(zhǎng)度和角度。這些值顯示在圖表下方的表格中。這對(duì)被轉(zhuǎn)換的三個(gè)點(diǎn)中的每一個(gè)都重復(fù)該過(guò)程。然后將結(jié)果繪制成圖，有時(shí)稱為霍夫空間圖）

曲線相交的點(diǎn)給出的距離和角度表示各個(gè)測(cè)試點(diǎn)相交的線。

分析上下文，邊緣段的點(diǎn)（一個(gè)或多個(gè)）的坐標(biāo)（xi，yi）在圖像中是已知的，并且因此作為參數(shù)線等式中的常量，而r與θ是未知變量是我們要尋找的。如果我們繪制由（r，θ）每個(gè)定義的可能值（xi，yi）。

笛卡爾圖像空間中的點(diǎn)映射到霍夫參數(shù)空間中的曲線（正弦曲線）。這個(gè)點(diǎn)到曲線的變換是直線的霍夫變換。當(dāng)在霍夫參數(shù)空間中查看時(shí)，在笛卡爾圖像空間中共線的點(diǎn)變得很明顯，因?yàn)樗鼈儺a(chǎn)生在相同（r，θ）點(diǎn)相交的曲線。

霍夫變換提取直線

我們通過(guò)將霍夫參數(shù)空間量化為有限間隔或累加器單元來(lái)實(shí)現(xiàn)變換。隨著算法的運(yùn)行，每個(gè)算法都把（xi，yi）轉(zhuǎn)換為一個(gè)離散化的 （r，θ）曲線，并且沿著這條曲線的累加器單元被遞增。累加器陣列中產(chǎn)生的峰值表示圖像中存在相應(yīng)的直線的相應(yīng)證明。

此時(shí)需要注意的是，現(xiàn)在我們考慮的是直線的霍夫變換。累加器陣列的維度是二維的（也就是r和θ）。

那么對(duì)于圖像來(lái)說(shuō)，（x，y）處的每個(gè)像素及其鄰域，霍夫變換算法被用于確定該像素是否有足夠的直線證據(jù)。如果是，它將計(jì)算該線的參數(shù) （r，θ），然后查找參數(shù)落入的累加器箱，并增加該箱的值（投票值）。通過(guò)查找具有最高值的箱，通常通過(guò)查找累加器空間中的局部最大值，可以提取最可能的線，并且讀出它們的（近似的）幾何定義。

找到這些峰值的最簡(jiǎn)單方法是通過(guò)應(yīng)用某種形式的閾值，但其他技術(shù)可能在不同情況下產(chǎn)生更好的結(jié)果。由于返回的行不包含任何長(zhǎng)度信息，因此通常有必要在下一步中查找圖像的哪些部分與哪些行匹配。此外，由于邊緣檢測(cè)步驟中存在缺陷誤差，通常會(huì)在累加器空間中出現(xiàn)錯(cuò)誤，這可能使得找到合適的峰值以及適當(dāng)?shù)木€條變得非常重要。

線性霍夫變換的最終結(jié)果是類(lèi)似于累加器的二維陣列（矩陣），該矩陣的一個(gè)維度是量化角度θ，另一個(gè)維度是量化距離r。矩陣的每個(gè)元素的值等于位于由量化參數(shù) （r，θ）表示的線上的點(diǎn)或像素的總和。

所以具有最高值的元素表示輸入圖像中代表最多的直線。我們也可以把累計(jì)器單元的結(jié)果認(rèn)為是投票值。換句話說(shuō)，將每個(gè)交點(diǎn)看成一次投票，也就是說(shuō)A（r，θ）=A（r，θ）+1，所有點(diǎn)都如此進(jìn)行計(jì)算后，可以設(shè)置一個(gè)閾值，投票大于這個(gè)閾值的可以認(rèn)為是找到的直線。

霍夫變換提取圓

而當(dāng)我們需要去進(jìn)行圓檢測(cè)的時(shí)候，我們累加器是三維累加器，在圓檢測(cè)的情況下，我們可以知道的是其對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為：

（x?a）2+（y?b）2=r2

其中a和b是圓心的坐標(biāo)并且是r半徑。在這種情況下，算法的計(jì)算復(fù)雜度開(kāi)始增加，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在在參數(shù)空間和三維累加器中有三個(gè)坐標(biāo)。（通常，累加器陣列的計(jì)算和大小隨著參數(shù)數(shù)量的增加而多項(xiàng)式增加，因此，基本霍夫技術(shù)僅適用于簡(jiǎn)單曲線。）

它的算法步驟如下：

1.首先創(chuàng)建累加器空間，由每個(gè)像素單元格構(gòu)成。最初每個(gè)單元格都設(shè)置為0。

2.然后對(duì)于每個(gè)圖像中的邊緣點(diǎn)（i，j），按照?qǐng)A方程（i?a）2+（j?b）2=r2將那些可能是一個(gè)圓中心的單元格值進(jìn)行累加。這些單元格在等式中由字母a表示。

3.然后在前面的步驟中由每個(gè)可能找到的值a，區(qū)找到滿足等式的所有可能值b。

4.搜索累加器空間中的局部最大值。這些單元格表示算法檢測(cè)到的圓圈。

如果我們不知道事先定位的圓的半徑，可以使用三維累加器空間來(lái)搜索具有任意半徑的圓。當(dāng)然，這在計(jì)算上更加昂貴。

該方法還可以檢測(cè)部分位于累加器空間外部的圓，只要該圓的區(qū)域內(nèi)仍有足夠的圓。

總結(jié)

霍夫變換在很多地方都有著應(yīng)用，如果是在OpenCV（Python）下想要使用霍夫變換，只需要使用函數(shù)cv2.HoughLinesP函數(shù)，需要注意的是該函數(shù)并不是標(biāo)準(zhǔn)的霍夫變換，其為：概率霍夫變換，它只分析點(diǎn)的子集并估計(jì)這些點(diǎn)都屬于一條直線的概率，這是標(biāo)準(zhǔn)霍夫變換的優(yōu)化版本。該函數(shù)計(jì)算代價(jià)少，執(zhí)行更快，但準(zhǔn)確度有一定程度的下降。

cv2.HoughLinesP函數(shù)的語(yǔ)法如下：

cv2.HoughLinesP（image，rho，theta，threshold，minLineLength，maxLineGap）

其參數(shù)分別解釋如下：

·image：要處理的二值圖像；·rho：線段的幾何表示，表示取距離的間隔，一般取1；·theta：線段的幾何表示，表示取角度的間隔，一般取np.pi/180；·threshold：閾值，低于該閾值的會(huì)被忽略；·minLineLength：最小直線長(zhǎng)度，小于該長(zhǎng)度會(huì)被忽略；·maxLineGap：最大線段間隙，大于此間隙才被認(rèn)為是兩條直線。

霍夫變換在自動(dòng)駕駛中也有所應(yīng)用，可以如下面一個(gè)簡(jiǎn)單例子所示，其實(shí)現(xiàn)的是對(duì)我們畫(huà)面中的道路直線進(jìn)行的檢測(cè)：

import osimport reimport cv2import numpy as np

# 初始化一個(gè)掩膜def mask_create（）： img = cv2.imread（‘0.png’） zero = np.zeros_like（img［：， ：， 0］） poly = np.array（［［50， 270］， ［220， 160］， ［345， 160］， ［480， 270］］） zero_fixed = cv2.fillConvexPoly（zero， poly， （255， 255， 255）） return zero_fixed

# 掩膜計(jì)算，傳入的圖像需要是BGR圖def mask_calc（frame， mask）： img = cv2.bitwise_and（frame［：， ：， 0］， frame［：， ：， 0］， mask=mask） return img

# 圖像閾值操作，傳入的圖片需要是灰度圖def threshold（low， high， img）： ret， thresh = cv2.threshold（img， low， high， cv2.THRESH_BINARY） return thresh

# 對(duì)圖像進(jìn)行霍夫變換，輸入的圖像需要是二值圖，距離r為1，旋轉(zhuǎn)角為1度，投票閾值為30，最遠(yuǎn)距離為200像素# 并在原圖上進(jìn)行繪制圖像def hough（thresh， img）： lines = cv2.HoughLinesP（thresh， 1， np.pi/180， 30， maxLineGap=200） try： for line in lines： x1， y1， x2， y2 = line［0］ img = cv2.line（img， （x1， y1）， （x2， y2）， （255， 255， 255）， 3） except： return img else： return img# 主函數(shù)def mainn（）： # 讀取數(shù)據(jù) col_frames = os.listdir（‘。。/frames/’） # 排序 col_frames.sort（key=lambda f： int（re.sub（‘D’， ‘’， f））） # 讀取畫(huà)面每一幀 for i in col_frames： img = cv2.imread（i） # 構(gòu)建一個(gè)掩膜 mask = mask_create（） # 對(duì)原圖像進(jìn)行掩膜計(jì)算 masked_frame = mask_calc（img， mask） thresh = threshold（135， 255， masked_frame） img = hough（thresh， img） cv2.imshow（‘img’， img） if cv2.waitKey（40） == ord（‘q’）： break cv2.destroyAllWindows（）

mainn（）

編輯：jq