20 世紀(jì) 30 年代，Hendrik Wade Bode 將電路的穩(wěn)定性作為唯一目標(biāo)，創(chuàng)造了一種直觀的增益/相位方法。這就是現(xiàn)在所說的波特圖，一種直觀的對電路或放大器增益、相位和反饋系統(tǒng)進(jìn)行頻率圖形展示的方法。

鑒于其有用性和重要性，讓我們花些時間來了解一下波特穩(wěn)定性分析技術(shù)，看看以分貝 （dB） 和相位響應(yīng)（度）為單位的開環(huán)放大器和電路反饋系數(shù)的量級。這篇博客將探討上述概念并給出建議，并在你的主要目標(biāo)是頻率穩(wěn)定性時，應(yīng)如何避免設(shè)計出一個“顫抖”電路。

為了練習(xí)這種技術(shù)，你可以從在線 Digi-Key 創(chuàng)新手冊的資源中下載一個可打印的波特圖版本。

單極點(diǎn)波特圖

單極點(diǎn)電路的配置允許直流 VIN 信號直接進(jìn)入 VOUT，而在較高的輸入頻率下，VOUT 等于零分貝 （dB）。波特圖的構(gòu)造很簡單。Y 軸的單位是頻率的對數(shù)，X 軸是線性單位增益分貝或相位度數(shù)。在設(shè)計波特圖時，已經(jīng)有相當(dāng)多的公式可以應(yīng)用，但我們要直接體驗(yàn)這個快速解決方法。

波特圖之所以簡單性，是因?yàn)楫媹D時只需要一個直尺工具并知道一些規(guī)則即可（圖 1）。

圖 1：展示幅度和相移的單極點(diǎn)波特圖使用了直線來顯示電路的頻率和相位響應(yīng)。（圖片來源：Bonnie Baker）

圖 1 中的兩幅圖表示了單極點(diǎn)電阻/電容對的頻率相對增益和相位的關(guān)系。上下兩幅圖的 X 軸頻率范圍為 1 赫茲 （Hz） 到 10 兆赫 （MHz）。上圖 Y 軸范圍從 0 分貝 （dB） 到 100 dB，其中 1 Hz 的信號值等于 100 dB。這個值與 100，000 x VIN 的增益因子一致。藍(lán)色曲線是在 fP 或 100 Hz 時的單極點(diǎn)增益響應(yīng)，其中 R 等于 159 千歐 （kΩ），C 等于 10 納法拉 （nF）。

當(dāng)頻率增加超過極點(diǎn)頻率 （fP） 時，藍(lán)色曲線以 -20dB /十倍頻程或 -6dB/八倍頻程速率下降。這個衰減率是要記住的第一個波特圖的經(jīng)驗(yàn)法則：電路中的每個極點(diǎn)從極點(diǎn)頻率開始都會以 -20dB/十倍頻程的速率下降。因此，如果兩個極點(diǎn)在相同的頻率范圍內(nèi)對 VOUT 進(jìn)行衰減，則衰減率為-40dB/十倍頻程。

圖 1 中的下圖表示了這個單極點(diǎn)電路的相位。在 1Hz 時，R/C 網(wǎng)絡(luò)的相位為 0 度 （°）。在 fP 前的一個十倍頻程，或者在這個例子中的 10 Hz 情形下，單極點(diǎn)相位開始以 -45°/十倍頻程的速度向其 -90° 目標(biāo)下降。

有幾個規(guī)則適用于極點(diǎn)的相位響應(yīng)。極點(diǎn)電路的第二個波特圖經(jīng)驗(yàn)法則是，在 fP 處相位等于 -45°。第三和第四條波特圖法則描述了衰減和完成的相位點(diǎn)。單極點(diǎn)相位在極點(diǎn)頻率 （fP） 的前一個十倍頻程開始下降，并在 fP 的后一個十倍頻程最終定在 -90°。

單零點(diǎn)波特圖

單零點(diǎn)波德圖反映了單極點(diǎn)波德圖的相反規(guī)則。位置切換，R 和 C 值相同，以阻止直流 VIN 電壓，同時允許較高頻率通過電容器（圖 2）。

圖 2：展示幅度和相移的單零點(diǎn)波特圖。（圖片來源：Bonnie Baker）

當(dāng)頻率增加超過 fZ 時，藍(lán)色曲線以 +20dB/十倍頻程的速率上升。圖 2 中的下圖展示了這個單零點(diǎn)電路的相位。在 fZ 前的一個十倍頻程，單零點(diǎn)相位開始以 +45°/十倍頻程的速度向其 +90° 的目標(biāo)上升。在 fZ 處，零點(diǎn)電路相位等于 +45°。

總結(jié)一下圖 1 中的值，極點(diǎn)位置是 fP，fP 之后的增益幅度有一個 -20dB/十倍頻程的斜率。相位通過 fP 時有 -45°/十倍頻程的斜率，相位在 0.1x fP 時開始衰減，在 10x fP 時穩(wěn)定到 -90°?？偨Y(jié)一下圖 2 中的值，零點(diǎn)位置是 fZ，fZ 之后的增益幅度有一個 +20dB/十倍頻程的斜率。相位通過 fZ 時有 +45°/十倍頻程的斜率，相位在 0.1x fZ 時開始衰減，在 10x fZ 時穩(wěn)定到 +90°。

放大器開環(huán)波特圖

標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算放大器產(chǎn)品的頻率操作從亞赫茲到零 dB 截止頻率的傳遞函數(shù)中會有多個極點(diǎn)和零點(diǎn)。放大器波特圖沒有任何神奇之處，只需遵循規(guī)則即可（圖 3）。

圖3：展示幅度和相移的運(yùn)算放大器可能波特圖。（圖片來源：Bonnie Baker）

圖 3 展示了一個運(yùn)算放大器實(shí)例，其傳遞函數(shù)中有兩個極點(diǎn)（f1 和 f2）。有了這兩個極點(diǎn)，增益每次下降 -20dB/十倍頻程，相位總共下降 -180 度。

到目前為止，我們對如何構(gòu)建波特圖有了一個良好的開始，但具體落實(shí)到實(shí)際項(xiàng)目上來時，其中還有一個反饋系統(tǒng)在其中。

閉環(huán)放大器系統(tǒng)的穩(wěn)定性

如果你花點(diǎn)時間看一下運(yùn)放電路，就會發(fā)現(xiàn)反饋網(wǎng)絡(luò)的存在。經(jīng)典的運(yùn)算放大器反饋網(wǎng)絡(luò)有一個增益正向元件 （AOL（jω）） 和反饋元件 （β（jω））。

圖 4：經(jīng)典運(yùn)放反饋網(wǎng)絡(luò)有一個前饋元件 （AOL（jω）） 和反饋元件 （β（jω））。（圖片來源：Bonnie Baker）

在圖 4 中，運(yùn)算放大器 （AOL） 的開環(huán)增益相對較大，而反饋系數(shù)相對較小。這種配置將輸出送回反相端，創(chuàng)造了一個負(fù)反饋條件，這種反饋使輸出受到控制。我們將使用 β 的倒數(shù)或 1/β 來確定運(yùn)放電路的穩(wěn)定性。

計算 1/β 的最簡單方法是在運(yùn)放的非反相輸入端放置一個稱為 VSTABILITY 的電壓源。這個計算策略將提供一個很好的路徑來確定電路的穩(wěn)定性（圖 5）。

圖 5：非反相運(yùn)放電路 a.） 和反相運(yùn)放電路 b.） 在其非反相輸入端都有一個虛構(gòu)的 VSTABILITY 電壓源，以便準(zhǔn)確計算電路的 1/β 系數(shù)，或噪聲增益。（圖片來源：Bonnie Baker）

如果你檢查圖 5 中的電路，就會發(fā)現(xiàn)從非反相端到輸出端的反饋電路是一樣的。VSTABILITY 電壓源的位置能夠準(zhǔn)確計算出電路的 1/β 系數(shù)，或噪聲增益。

1/β 穩(wěn)定性分析使用了 VSTABILTIY。如果你假設(shè)運(yùn)放的開環(huán)增益是無限的，那么兩個電路的傳遞函數(shù)就等于：

等式 1

等式 2

等式 3

當(dāng)?shù)仁?3 的頻率成分 jω 等于零時：

等式 4

當(dāng)?shù)仁?3 中 jω 接近無窮大時：

等式 5

1/β 的零點(diǎn) （fZ） 和極點(diǎn) （fP） 的頻率為：

等式 6

等式 7

符合上述規(guī)則的 1/β 的穩(wěn)定性分析曲線的波特圖如圖 6 所示。

圖6：圖 5 a.） 和 b.） 的 1/β 頻率響應(yīng)是相同的。零點(diǎn)出現(xiàn)在較低的頻率，而極點(diǎn)則出現(xiàn)在較高的頻率。（圖片來源：Bonnie Baker）

圖 6 描述了運(yùn)算放大器電路的 1/β 的頻率和相位響應(yīng)或噪聲增益。該圖以圖形形式總結(jié)了等式 4 至 7。等式 4 和 5 定義了直流增益和 Y 增益。等式 6 和 7 確定了電路的零點(diǎn)和極點(diǎn)。圖 3 和圖 6 中的信息通過定義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以及極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置，為確立運(yùn)放電路的穩(wěn)定性提供了第一步。最后一步是將圖 3 和圖 6 疊加成一個圖形。

系統(tǒng)穩(wěn)定性的確定

開環(huán)和閉環(huán)增益的交叉點(diǎn)或截止率定義了電路的相移。一般來說，截止率小于或等于 30 dB 表明電路是穩(wěn)定的。截止率大于 30dB，就會走向不穩(wěn)定的電路狀態(tài)（圖 7）。

圖 7：疊加的運(yùn)算放大器的 AOL 增益和相位響應(yīng)與 1/β 增益和相位響應(yīng)。（圖片來源：Bonnie Baker）

在圖 7 中，AOL 和 1/β 增益曲線之間的截止率等于 40 dB。40dB 的截止率表明相移大于 135°，這顯示了一個不穩(wěn)定的電路。在這種配置下，180° 的截止率會產(chǎn)生一個振蕩的電路。

對上述問題有許多解決辦法?？梢酝ㄟ^移動極點(diǎn)和零點(diǎn)頻率來改變電阻或電容值。另一個辦法是選擇不同的運(yùn)算放大器（圖 8）。

圖 8：在不改變零點(diǎn)和極點(diǎn)頻率的情況下，使用帶寬高于圖 7 中運(yùn)算放大器的運(yùn)算放大器。（圖片來源：Bonnie Baker）

在圖 8 中，在不改變 1/β 網(wǎng)絡(luò)的情況下，運(yùn)算放大器的帶寬大約高出兩個十倍頻程。綠色的虛線反映了實(shí)際的計算結(jié)果，并提供了一個更真實(shí)的波特圖。放大器帶寬的增加使截止率從 40 dB 變?yōu)?20 dB。由此產(chǎn)生的相移現(xiàn)在是 ~105°，表示電路是穩(wěn)定的。

圖 8 中的綠色虛線超越了用尺子和鉛筆繪制的波德圖，包括了真實(shí)世界的響應(yīng)。

測量電路的增益和相位

測量一個放大器電路的增益和相位需要一個提供輸入信號的函數(shù)發(fā)生器，以及一個網(wǎng)絡(luò)分析儀（圖 9）。代表性的是 Tabor Electronics LS3081B 3 GHz 射頻模擬掃頻函數(shù)發(fā)生器。

圖 9：圖 5 b.） 的反相放大器電路的增益和相位測量配置。（圖片來源：Bonnie Baker）

在圖 9 中，函數(shù)發(fā)生器的輸入信號的應(yīng)用發(fā)生在端口 1 到 VSTABILITY 節(jié)點(diǎn)。信號通過放大器電路傳播到電路的輸出端 （VOUT），網(wǎng)絡(luò)分析儀在端口 2 捕捉到信號并與函數(shù)發(fā)生器的端口 1 信號進(jìn)行比較。

結(jié)語

當(dāng)進(jìn)行穩(wěn)定型運(yùn)算放大器電路設(shè)計時，波特圖是一個非常有用的工具，一定加到你的裝備庫中。當(dāng)開始研究多極點(diǎn)和多零點(diǎn)電路時，你就會發(fā)現(xiàn)波特圖的巨大潛力。通過放大器開環(huán)增益和反饋網(wǎng)絡(luò)之間的截止率，就可以迅速確定電路的穩(wěn)定性。

雖然這篇博客可以幫助你掌握波特圖的使用，展示了在圖形紙上簡單地使用直尺來估計一階極點(diǎn)和零點(diǎn)電路的增益與相位的關(guān)系，但最好的學(xué)習(xí)方法還是實(shí)踐。此外，您可以從在線 Digi-Key 創(chuàng)新手冊的資源中下載波特圖的可打印版本開始。

來源：Digi-Key

審核編輯 ：李倩