文章來(lái)源：中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所

原文作者：陳冬妮

1、從時(shí)間到空間

晶體在我們的日常生活中隨處可見(jiàn)，烹飪菜肴的食用鹽，晶瑩剔透的冰糖，水凝固后形成的冰，這些都是晶體。在微觀層面上，它們是由原子按一定規(guī)則有序排列的結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，晶體的存在是原子空間連續(xù)平移對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺的一種表現(xiàn)，這里的自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺指的是系統(tǒng)的基態(tài)比物理系統(tǒng)本身的對(duì)稱(chēng)性低，系統(tǒng)的基態(tài)在哈密頓量的對(duì)稱(chēng)性下不能保持不變。也就是說(shuō)，原子的空間連續(xù)平移對(duì)稱(chēng)性破缺，自組織的形成具有較低的空間離散平移對(duì)稱(chēng)性的周期晶體結(jié)構(gòu)。

由于物理定律在時(shí)間上也是連續(xù)平移對(duì)稱(chēng)的，所以類(lèi)比于三維空間中晶體的概念，麻省理工學(xué)院理論物理學(xué)家弗蘭克?威爾切克（Frank Wilczek）于2012年首次提出了時(shí)間晶體的概念：不同于空間晶體是在三維空間中形成重復(fù)的結(jié)構(gòu)，時(shí)間晶體指的是系統(tǒng)的最低能狀態(tài)是系統(tǒng)處于重復(fù)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，也就是說(shuō)在時(shí)間上形成穩(wěn)定的周期振蕩結(jié)構(gòu)。自2012年時(shí)間晶體概念被提出起，是否可能在時(shí)間上打破對(duì)稱(chēng)性，從而創(chuàng)造出“時(shí)間晶體” 成了理論和實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家們積極探索的問(wèn)題。

2、離散時(shí)間晶體

2012年維爾切克提出了量子時(shí)間晶體模型[1]，隨后，2013年加州大學(xué)的張翔團(tuán)隊(duì)提出以離子阱為平臺(tái)實(shí)現(xiàn)量子時(shí)間晶體理論[2]。但是很快特里克?布魯諾 （Patrick Bruno）和渡邊悠樹(shù)（Haruki Watanabe）就針對(duì)他們的工作發(fā)表了幾篇文章[3,4]，證明了在有限溫的平衡態(tài)情況下，只具有短程相互作用的多體物理系統(tǒng)，在熱力學(xué)極限下不存在量子時(shí)間晶體。因此在接下來(lái)的研究中，人們逐漸將關(guān)注點(diǎn)轉(zhuǎn)移到了在周期性調(diào)制的非平衡系統(tǒng)中。

2015 年克里斯托弗?薩查（Krzysztof Sacha） 發(fā)現(xiàn)在周期性驅(qū)動(dòng)（Floquet）的冷原子系統(tǒng)中，系統(tǒng)的響應(yīng)周期可以是外加驅(qū)動(dòng)的周期的兩倍。他認(rèn)為這正好體現(xiàn)出了離散時(shí)間平移對(duì)稱(chēng)性的破缺[5]。隨后，離散時(shí)間晶體的理論得到快速發(fā)展。一個(gè)哈密頓量的周期驅(qū)動(dòng)（Floquet）系統(tǒng)，當(dāng)滿足以下三個(gè)條件時(shí)可以被稱(chēng)為處于離散時(shí)間晶體階段[6,7]：1. 離散時(shí)間平移對(duì)稱(chēng)性破缺：存在觀測(cè)量的周期不同于系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)周期，也就是說(shuō)，從變成，這里。2. 魯棒性：晶體必須堅(jiān)固耐用，這意味著系統(tǒng)在特定范圍內(nèi)存在外部波動(dòng)時(shí)，當(dāng)前狀態(tài)的離散時(shí)間晶體行為總能維持。3. 長(zhǎng)時(shí)性：在熱力學(xué)極限滿足的情況下，這種周期為的倍周期性振蕩可以在無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)持續(xù)。

2016年，基于這個(gè)新概念進(jìn)行了兩個(gè)非常重要的實(shí)驗(yàn)。首先，馬里蘭大學(xué)的克里斯托弗·門(mén)羅（Christopher Monroe）團(tuán)隊(duì)在射頻電磁場(chǎng)中捕獲了一連串的鐿-171離子，利用周期性激光驅(qū)動(dòng)來(lái)操縱和觀察它們的自旋狀態(tài)。這導(dǎo)致它們以驅(qū)動(dòng)周期的整數(shù)倍振蕩，是實(shí)現(xiàn)離散時(shí)間晶體的確定標(biāo)志。并且這種亞諧波響應(yīng)行為在受到外部微擾的情況下仍然成立[8]。同年，在哈佛大學(xué)，由米哈伊爾·盧金（Mikhail Lukin）教授領(lǐng)導(dǎo)的一個(gè)研究小組使用金剛石色心系統(tǒng)也取得了類(lèi)似的結(jié)果[9]。最近，用量子計(jì)算機(jī)模擬多體離散時(shí)間晶體也得以實(shí)現(xiàn)[10,11,12]。其中，谷歌團(tuán)隊(duì)利用谷歌的懸鈴木量子處理器在鏈狀的20個(gè)超導(dǎo)比特中觀察到穩(wěn)定的時(shí)間晶體[20]。與此同時(shí)，關(guān)于離散時(shí)間晶體的擴(kuò)展理論也在蓬勃發(fā)展中，比如，基于Dicke 模型實(shí)現(xiàn)離散時(shí)間晶體[13]，基于里德堡原子鏈實(shí)現(xiàn)離散時(shí)間晶體[14]，拓?fù)潆x散時(shí)間晶體等[15]。

3、在光力系統(tǒng)中構(gòu)造離散時(shí)間晶體

然后我們考慮在光腔中嵌入兩個(gè)機(jī)械振子的腔光力學(xué)模型中實(shí)現(xiàn)離散時(shí)間晶體的方案。腔光力學(xué)主要探究的是電磁場(chǎng)和機(jī)械模式之間的相互作用，作為現(xiàn)代物理學(xué)中一個(gè)快速發(fā)展的領(lǐng)域，在過(guò)去的十幾年中，它已成為探索宏觀量子力學(xué)行為和量子信息處理最有前途的平臺(tái)之一。在光腔中嵌入兩個(gè)機(jī)械振子的光力學(xué)模型可以被映射到Dicke模型，在熱力學(xué)極限下可以通過(guò)調(diào)節(jié)耦合參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)超輻射量子相變。我們可以通過(guò)以為周期來(lái)調(diào)節(jié)失諧和驅(qū)動(dòng)振幅來(lái)改變相變的臨界點(diǎn)，使得系統(tǒng)在超輻射量子相變的兩個(gè)穩(wěn)態(tài)之間切換進(jìn)而實(shí)現(xiàn)周期為的Dicke型離散時(shí)間晶體。

基于以上原理，我們先介紹在光腔中嵌入兩個(gè)機(jī)械振子的光力學(xué)模型，兩個(gè)機(jī)械振子分別被放置于光學(xué)模的波峰和波谷處，因此只需要考慮相反的二階光力學(xué)相互作用。在考慮光力學(xué)哈密頓量的線性化近似（將光場(chǎng)的振幅分成一個(gè)相干（經(jīng)典）部分加上一個(gè)波動(dòng): ）和旋波近似下，系統(tǒng)的有效哈密頓量可以寫(xiě)為，這里()是光學(xué)模式（兩個(gè)機(jī)械振子模式）的湮滅算符，是通過(guò)橫梁耦合的兩個(gè)機(jī)械振子之間直接相互作用強(qiáng)度。表示單模光腔的經(jīng)典振幅，表示光腔的失諧。對(duì)于這個(gè)有效哈密頓量，總聲子數(shù)是守恒量。利用Schwinger變換 有效哈密頓量可以被完全映射到Dicke模型并且具有在變換下保持不變的對(duì)稱(chēng)性。類(lèi)比Dicke模型，這個(gè)對(duì)稱(chēng)性的自發(fā)破缺導(dǎo)致了量子相變。也就是說(shuō)，在熱力學(xué)極限聲子數(shù)下當(dāng)光力學(xué)耦合強(qiáng)度大于臨界耦合強(qiáng)度時(shí)，對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺，系統(tǒng)的基態(tài)發(fā)生從正常態(tài)到超輻射態(tài)的二階量子相變，序參量從零變成具有一定的宏觀占據(jù)，系統(tǒng)的自由能從拋物線型變成雙阱勢(shì)。為了方便后面的表述，我們把系統(tǒng)的兩個(gè)超輻射穩(wěn)態(tài)可以記成。

我們選取其中一個(gè)穩(wěn)態(tài)作為初態(tài)（可以通過(guò)某一初態(tài)經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間演化而得到）。我們固定耦合強(qiáng)度，同時(shí)調(diào)整失諧和驅(qū)動(dòng)幅度來(lái)調(diào)節(jié)臨界耦合強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)正常相和超輻射相的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而使得系統(tǒng)在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)之間不斷切換。一個(gè)精確的倍周期Floquet動(dòng)力學(xué)方案可以通過(guò)如下四個(gè)步驟得到（如圖2）。其中階段1和3，系統(tǒng)處于正常相，由于初值的限制，序參量將在附近振蕩，我們可以選取合適的時(shí)間使其翻轉(zhuǎn)。階段2和4，系統(tǒng)處于超輻射相，系統(tǒng)逐漸演化到相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)上去。如示意圖(2. b)中藍(lán)色線所示，當(dāng)我們不斷重復(fù)這樣的行為時(shí)就可以在實(shí)現(xiàn)倍周期的離散時(shí)間晶體行為。在熱力學(xué)極限下，示意圖中黑色線表示的頻閃動(dòng)力學(xué)也會(huì)無(wú)止盡的振蕩下去。并且通過(guò)數(shù)值模擬，我們發(fā)現(xiàn)在熱力學(xué)極限下這種方案下的離散時(shí)間晶體行為是滿足長(zhǎng)時(shí)性以及對(duì)參數(shù)起伏有一定的魯棒性。

實(shí)現(xiàn)離散時(shí)間晶體方案示意圖。

綜上，我們簡(jiǎn)單介紹了時(shí)間晶體的提出，離散時(shí)間晶體的概念、時(shí)間晶體的發(fā)展以及在光腔中插入兩個(gè)機(jī)械振子的光力系統(tǒng)模型中理論上如何產(chǎn)生離散時(shí)間晶體行為的方案，希望可以讓讀者對(duì)離散時(shí)間晶體有初步的了解。

參考文獻(xiàn)

[1] Wilczek, Frank. "Quantum time crystals." Physical review letters 109.16 (2012): 160401.

[2] Li, Tongcang, et al. "Space-time crystals of trapped ions." Physical review letters 109.16(2012): 163001.

[3] P. Bruno, Phys. Rev. Lett. 111, 070402 (2013).

[4] H. Watanabe and M. Oshikawa, Phys. Rev. Lett. 114, 251603 (2015).

[5] K. Sacha, Phys. Rev. A, 91: 033617 (2015).

[6] A. Russomanno, F. Iemini, M. Dalmonte, and R. Fazio, Phys. Rev. B 95, 214307 (2017).

[7] B. Huang, Y. H. Wu, and W. V. Liu, Phys. Rev. Lett. 120, 110603 (2018).

[8] J. Zhang, et al, Nature, 543(7644): 217-220 (2017)

[9] S. Choi, et al, Nature, 543(7644): 221-225 (2017).

[10] X. Mi, et al. Nature , 601(7894): 531-536 (2022).

[11] H. Xu, et al, arXiv, 2021. https://arxiv.org/abs/2108.00942.

[12] X. Zhang, et al. arXiv, 2021. https://arxiv.org/abs/2109.05577.

[13] Z. Gong, et al. Phys. Rev. Lett., 120: 040404 (2018).

[14] C. H. Fan, et al. Phys. Rev. A, 2020, 101: 013417(2020).

[15] K. Giergiel, et al. New Journal of Physics, 21(5): 052003 (2019).

[16] 郭啟淏、尹璋琦-時(shí)間晶體: 構(gòu)想、爭(zhēng)議與實(shí)現(xiàn).

[17] https://en.wikipedia.org/wiki/Time_crystal.

編輯：黃飛