幾千年前，人們就一直在努力解釋彩虹的起源，艾薩克·牛頓在他1704年的著作中提供了第一個(gè)真正令人信服的解釋。

普通白光由整個(gè)可見光譜組成，通過使用玻璃棱鏡折射光，牛頓能夠?qū)⒐夥殖善浣M成成分的顏色。我們現(xiàn)在知道光的顏色是由光的波長(zhǎng)或頻率決定的：波長(zhǎng)越長(zhǎng)，頻率越低，光越紅；波長(zhǎng)越短，頻率越高，光越藍(lán)。不同波長(zhǎng)或頻率的光被玻璃棱鏡折射的角度略有不同，這就是導(dǎo)致不同顏色擴(kuò)散并形成連續(xù)光譜的原因。牛頓意識(shí)到許多不同的材料也可以折射光（包括水），這就是他理解雨滴形成彩虹的關(guān)鍵。

人們?cè)缇椭?，為了讓某人觀察到彩虹需要三個(gè)條件。首先太陽(yáng)需要在你身后，其次你面前的天空必須有雨滴，第三陽(yáng)光必須能夠在沒有任何障礙物（例如云）的情況下直接到達(dá)雨滴。

光線在液滴的路徑

考慮一束紅光入射到如下圖所示的球形液滴上，我們暫時(shí)假設(shè)入射角α為45 度，我們希望計(jì)算這束光線穿過水滴時(shí)的路徑。為了做到這一點(diǎn)，我們將使用斯涅爾定律，該定律將入射角α、折射角β和折射率n聯(lián)系起來。折射率被定義為光在真空中的速度與光在所研究材料中的速度之比。

空氣中的光速非常接近于真空中的光速，因此我們可以假設(shè)空氣的折射率大約等于1。另一方面，水中的紅光的折射率為1.33。我們可以將此信息代入斯涅爾定律，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)折射角為32.12度。因此我們現(xiàn)在可以確定紅色光線在液滴內(nèi)移動(dòng)時(shí)的路徑。此后，一部分光線離開液滴，但至關(guān)重要的是，另一部分光線反射繼續(xù)在液滴內(nèi)傳播。最后部分光線再次折射，以與進(jìn)入液滴相同的45度角離開液滴。

如果我們使用的是一束藍(lán)光而不是紅光，這會(huì)有什么不同？在這種情況下，折射率會(huì)輕微改變，現(xiàn)在不是1.33而是1.34。雖然這似乎沒有太大變化，但當(dāng)我們將其代入斯涅爾定律時(shí)，它會(huì)產(chǎn)生31.85度的折射角，這導(dǎo)致藍(lán)光在液滴內(nèi)部的路徑與紅光不同，甚至與每一種顏色都不同。每種不同顏色光的折射角差異導(dǎo)致光在每個(gè)液滴中分散，最終產(chǎn)生彩虹的彩色帶。

彩虹角的計(jì)算

接下來，我們仔細(xì)研究一下幾何形狀，先以紅光為例。在一束光入射到液滴再出射之后，出射光線幾乎是與入射光線反向的，我們可以計(jì)算出出射光偏離入射光的角度。這個(gè)角度很大程度上取決于入射角度α，因此我們把這個(gè)偏離角度標(biāo)記為D(α)。如下圖所示，我們可以把所有角度都標(biāo)示出來。

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360度，我們有以下公式，并進(jìn)行簡(jiǎn)化：

我們可以再利用斯涅爾定律，讓空氣的折射率為1，水對(duì)紅光的折射率為4/3，于是可以得到：

把最終結(jié)果代入上式，我們可以得到：

對(duì)于這個(gè)結(jié)果，最好的方法是用圖把它展示出來。我們以D(α)為縱坐標(biāo)，以α為橫坐標(biāo)繪制曲線，如下圖所示。

我們可以從圖中看到有一個(gè)最低點(diǎn)，先來求這個(gè)最低點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的值，再來分析它的意義。在最低點(diǎn)處，它的導(dǎo)數(shù)值為零：

最終，我們可以算得入射角α=59.4度，而偏轉(zhuǎn)角D(α)=138度。那么這個(gè)最低點(diǎn)有什么意義呢？如果我們讓入射角從20度到40度，則對(duì)應(yīng)于偏轉(zhuǎn)角D(20)-D(40)=161-145=16度的偏移；如果讓入射角從50度到70度，則對(duì)應(yīng)于偏轉(zhuǎn)角D(70)-D(50)=141-140=1度的偏移。換句話說，當(dāng)入射角α處于最低值附近時(shí)，所有偏轉(zhuǎn)的光線都傾向于聚集在一起，以偏轉(zhuǎn)角D(α)等于138度為中心。

這種具有138度偏轉(zhuǎn)角的光線積累意味著此角度的紅光更亮更明顯，與之對(duì)應(yīng)的觀測(cè)角42度被稱為紅光的彩虹角，也就是我們看到紅光的最佳角度。此外，通過這種方法，我們也可以算得藍(lán)光的彩虹角大約為40度。在這兩個(gè)角度之間，我們就可以看到完整的彩虹。

有時(shí)候我們還可以看到雙彩虹，在主彩虹旁邊還有一亮度較不明顯的次級(jí)彩虹。我們上面計(jì)算的是光在液滴中反射一次，如果光在液滴內(nèi)反射兩次，那么形成的就是次級(jí)彩虹，由于篇幅有限，這里就不再進(jìn)行計(jì)算。

審核編輯 ：李倩