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圖論算法有圖有代碼

算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) ? 來源:CSDN博客 ? 作者:NoMasp柯于旺 ? 2022-11-22 11:28 ? 次閱讀
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圖的定義

背景知識

看到這篇博客相信一開始映入讀者眼簾的就是下面這幅圖了,這就是傳說中的七橋問題(哥尼斯堡橋問題)。在哥尼斯堡,普雷格爾河環(huán)繞著奈佛夫島(圖中的A島)。這條河將陸地分成了下面4個區(qū)域,該處還有著7座連接這些陸地的橋梁。

e40dbe14-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

問題是如何從某地出發(fā),依次沿著各個橋,必須經(jīng)過每座橋且每座橋只能經(jīng)過1次,最終回到原地。

不知道這個問題且好奇的童鞋現(xiàn)在肯定在忙活著找出來這道題的結(jié)果了。

是偉大的數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard Euler)在1736年首次使用圖的方法解決了該問題。

歐拉將上面的模型轉(zhuǎn)換成了下面這種”圖“的形式。

e41fb470-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

歐拉把頂點(diǎn)的度定義為與該頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù),并且他證明了存在從任意點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過所有邊恰好一次,并最終回到出發(fā)頂點(diǎn)的走法的充分必要條件是:每個頂點(diǎn)的度均為偶數(shù)。人們稱之為歐拉閉跡(Eulerian walk)。

簡要定義

圖(graph)G=(V,E)由頂點(diǎn)(vertex)的集V和邊(Edge)的集E組成。頂點(diǎn)代表了對象,在示意圖中我們使用點(diǎn)或圓來表示它;邊代表了兩個對象的連接關(guān)系,在示意圖中我們使用連接兩頂點(diǎn)的線段來表示。

有時也把邊稱作?。╝rc),如果點(diǎn)對(v,w)是有序的,那么圖就叫做有向的圖(有向圖)。如果點(diǎn)對(v,w)是無序的,那么圖就叫做無向的圖(無向圖)。簡單的講,邊沒有指向性的圖叫做無向圖,邊具有指向性的圖叫做有向圖。

頂點(diǎn)v和w鄰接(adjacent)當(dāng)且僅當(dāng)(v,w)屬于E。

我們可以給邊賦予各式的屬性,比如權(quán)值(cost)。權(quán)值可以表示從一個頂點(diǎn)到另一個頂點(diǎn)的距離,也可以表示一個頂點(diǎn)到另一個頂點(diǎn)說話費(fèi)的代價(比如時間、金錢等)。一個邊上帶權(quán)值的圖稱為網(wǎng)絡(luò)(network)。

如果無向圖中從每一個頂點(diǎn)到其他每個頂點(diǎn)都存在一條路徑,則稱該無向圖是連通的(connected)。具有這樣性質(zhì)的有向圖稱為是強(qiáng)連通的的(strongly connected)。如果有向圖不是強(qiáng)連通的,但它的基礎(chǔ)圖(underlying graph)(也就是其弧上去掉方向說形成的圖)是連通的,那么稱該有向圖是弱連通的(weakly connected)。完全圖(complete graph)是其每一對頂點(diǎn)間都存在一條邊的圖。

e42eb07e-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

所謂入度(indegree)是指的頂點(diǎn)v的邊(u,v)的條數(shù)。

e43b21d8-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

如下表示了一個有著7個頂點(diǎn)和12條邊的有向圖。

e4514efe-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

如果具有n個頂點(diǎn),e條邊的圖G的頂點(diǎn)i的度為di,則G的邊數(shù)為:

e=∑n?10di2

以上這個數(shù)學(xué)公式的markdown“源碼”:
$ e =frac { sum_{0}^{n-1} d_i} {2} $

現(xiàn)在將圖看作抽象數(shù)據(jù)類型,下面給出ADT圖的結(jié)構(gòu):

functions 對于所有的graph∈Graph,v,v1,v2∈Vertices
Graph Create() return一個空圖
Graph InsertVertex (graph, v) 向圖graph中插入沒有關(guān)聯(lián)邊的新頂點(diǎn)v,return改變后的圖
Graph InsertEdge (graph,v1,v2) 在圖graph的頂點(diǎn)v1和v2之間插入一條邊,return改變后的圖
Graph DeleteVertex (graph, v) 刪除圖graph的頂點(diǎn)v及與其關(guān)聯(lián)的所有邊,return改變后的圖
Graph DeleteEdge (graph,v1,v2) 刪除圖graph的邊(v1,v2),頂點(diǎn)v1,v2不刪除,return改變后的圖
Boolean IsEmpty (graph) if(graph==空圖) return TRUE,else return FALSE
List Adjacent (graph, v) return頂點(diǎn)v的所有鄰接結(jié)點(diǎn)

圖的存儲表示方式

圖主要有3種常用的存儲表示方式:鄰接矩陣(adjacency matrices),鄰接表(adjacency lists),鄰接多重表(adjacency multilists)。

鄰接矩陣

鄰接矩陣使用|V|?|V|的二維數(shù)組來表示圖。g[i][j]表示的是頂點(diǎn)i和頂點(diǎn)j的關(guān)系。

1)因?yàn)樵跓o向圖中,我們只需要知道頂點(diǎn)i和頂點(diǎn)j是否是相連的,因此我們只需要將g[i][j]和g[j][j]設(shè)置為1或是0表示相連或不相連即可。如下圖所示。

e45dac76-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

2)而在有向圖中,我們只需要知道是否有從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j的邊,因此如果頂點(diǎn)i有一條指向頂點(diǎn)j的邊,那么g[i][j]就設(shè)為1,否則設(shè)為0。有向圖與無向圖不同,并不需要滿足g[i][j]=g[j][i]。

e46e8046-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

3)在帶權(quán)值的圖中,g[i][j]表示的是頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j的邊的權(quán)值。由于在邊不存在的情況下,如果將g[i][j]設(shè)為0,就無法和權(quán)值為0的情況區(qū)分開來,因此選取適當(dāng)?shù)妮^大的常數(shù)INF(只要能和普通的權(quán)值區(qū)別開來就可以了),然后令g[i][j]=INF就好了。當(dāng)然,在無向圖中還是要保持g[i][j]=g[j][i]。在一條邊上有多種不帶權(quán)值的情況下,定義多個同樣的|V|?|V|數(shù)組,或者是使用結(jié)構(gòu)體或類作為數(shù)組的元素,就可以和原來一樣對圖進(jìn)行處理了。

e47d2f2e-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

使用這種存儲方式,可以很方便地判斷任意兩個頂點(diǎn)之間是否有邊以及確定頂點(diǎn)的度,這也是這種表示法最大的優(yōu)勢。任意一個頂點(diǎn)i的度等于其鄰接矩陣中頂點(diǎn)i所對應(yīng)的行中的數(shù)字之和:

∑n?1j=0adjmat[i][j]

以上這個數(shù)學(xué)公式的markdown“源碼”:

$ sum_{j=0}^{n-1} g[i][j] $

在這種表示法中掃描所有邊至少需要O(n2)時間,因?yàn)楸仨殭z查矩陣中的n2?n個元素才能確定圖中邊的條數(shù)(鄰接矩陣對角線上的n個元素都是0,因此不用檢查。又因?yàn)闊o向圖的鄰接矩陣是對稱的,實(shí)際只需檢查鄰接矩陣的一半元素)。通常把邊很少的圖成為稀疏圖(sparse graphs)。

鄰接表

如果用鄰接矩陣表示稀疏圖就會浪費(fèi)大量內(nèi)存空間,而用鏈接表,則是通過把頂點(diǎn)所能到的頂點(diǎn)的邊保存在鏈表中來表示圖,這樣就只需要O(|V|+|E|)的內(nèi)存空間。

e48ba234-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

而所謂的鄰接表,就是用n個鏈表代替鄰接矩陣中的n行。鏈表中的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)至少要包含一個頂點(diǎn)域和一個鏈域。對于任意給定的鏈表i,鏈表中的結(jié)點(diǎn)就是與頂點(diǎn)i相鄰的所有頂點(diǎn)。鄰接表存儲聲明的C語言聲明如下:

#define MAX_VERTICES 50

typedef struct node *node-pointer;

typedef struct node

{

int vertex;

struct node *link;

};

node_pointer graph[MAX_VERTICES];

int n=0;

鄰接多重表

在無向圖的鄰接表存儲表示中,每一條邊(vi,vj)都表示為兩項(xiàng):一項(xiàng)在頂點(diǎn)vi的鄰接表中,而另一項(xiàng)在頂點(diǎn)vj的鄰接表中。在多重表中,各鏈表中的結(jié)點(diǎn)可以被幾個鏈表共享,此時圖中的每一條邊只對應(yīng)于一個結(jié)點(diǎn),而這個結(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在該邊所關(guān)聯(lián)的兩個頂點(diǎn)的每個鄰接鏈表中。如下圖所示:

鄰接多重表結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的C語言聲明為:

typedef struct edge *edge-pointer

typedef struct edge

{

short int marked;

int vertex1;

int vertex2;

edge_pointer path1;

edge_pointer path2;

};

圖的基本操作和算法

廣度優(yōu)先搜索

請先忽視下圖中所有的下標(biāo),讓我們從頭開始。隨意選擇一個點(diǎn),此處選擇v3,作為切入點(diǎn)。因此到v3的距離為0。從v3出發(fā),距離為1的結(jié)點(diǎn)是v1和v6;繼續(xù)下一步,v6已經(jīng)無路可走,而與v1距離為1的是v2和v4,因此對它們標(biāo)記上2;繼續(xù)下去,v2和v4走一步都可以到v5,v4走一步可以到v7,因此v5和v7被標(biāo)記為3。至此搜索便結(jié)束了。

這就是廣度優(yōu)先搜索(breadth-first search),該方法按層處理頂點(diǎn)。距起始點(diǎn)最近的那些頂點(diǎn)首先被求值,最遠(yuǎn)點(diǎn)則最后被求值,這很像對樹的層序遍歷(level-order traversal)。

e49a3fb0-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

為了實(shí)現(xiàn)廣度優(yōu)先搜索,可以使用動態(tài)鏈接隊(duì)列。在隊(duì)列中的每個頂點(diǎn)都包含兩個域:頂點(diǎn)的序號和鏈接指針。

函數(shù)bfs所使用的隊(duì)列的定義和函數(shù)原型聲明為:

typedef struct queue *queue_pointer;

typedef struct queue

{

int vertex;

queue_pointer link;

};

void addq(queue_pointer *, queue_pointer *,int);

int deleteq(queue_pointer *);

圖的廣度優(yōu)先搜索算法:

void bfs(int v)

{

node_pointer w;

queue_pointer front,rear;

front=rear=NULL;

printf("%5d",v);

visited[v]=TRUE;

addq(&front,&rear,v);

while(front)

{

v=deleteq(&front);

for(w=graph[v];w;w=w->link)

{

if(!visited[w->vertex])

{

printf("%5d",w->vertex);

addq(&front,&rear,w->vertex);

visited[w->vertex]=TRUE;

}

}

}

}

圖中每個頂點(diǎn)都被存入隊(duì)列一次,所以該算法中的while循環(huán)至多重復(fù)n次。如果采用鄰接表存儲表示,那么該算法所需要的時間為:

d0+d1+…+dn?1=O(e)

其中di為頂點(diǎn)vi的度。

而如果采用鄰接矩陣來實(shí)現(xiàn),那么對于每個頂點(diǎn)的訪問,while循環(huán)的時間為O(n),所以算法的總耗時為O(n2)。和接下來的深度優(yōu)先搜索一樣,一次廣度優(yōu)先搜索訪問到的頂點(diǎn)以及與這些頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的邊形成的圖G的一個連通分支。

深度優(yōu)先搜索

深度優(yōu)先搜索內(nèi)容較多,已經(jīng)在下文中單獨(dú)列出。

連通圖

使用以上的兩種搜索算法也可以用來判斷一個無向圖是否是連通的。具體步驟如下:

1.調(diào)用bfs(0)或dfs(0)

2.檢查是否存在未被訪問過的頂點(diǎn)

具體代碼如下:

void connected(void)

{

int i;

for(i=0;i

{

if(!visited[i])

{

dfs(i);

printf(" ");

}

}

}

算法分析:如果采用鄰接表存儲,那么函數(shù)dfs時間開銷為O(e)。這里for循環(huán)的時間開銷為O(n),所以整個算法的時間復(fù)雜性為O(n+e)。

雙連通圖

雙聯(lián)通圖(biconnected graph)是沒有關(guān)節(jié)點(diǎn)的連通圖。對此有一個比較重要的公式如下:

low(u) = min{dfn(u), min{low(w)|w是u的兒子}, min{dfn(w)|(u,w)是一條回退邊} }

回退邊也叫back edge,大家顧名思義就好,下面有更多應(yīng)用。

下面來段求解圖的雙連通分支的算法:

void bicon(int u, int v)

{

node_pointer ptr;

int w,x,y;

dfn[u]=low[u]=num++;

for(ptr=graph[u];ptr;ptr=ptr->link)

{

w=ptr->vertex;

if(v!=w && dfn[w]

add(&top,u,w);

if(dfn[w]<0)

{

bicon(w,u);

low[u]=MIN2(low[u],low[w]);

if(low[w]>=dfn[u])

{

printf("New biconnected component: ");

do

{

delete(&top,&x,&y);

printf(" <%d,%d>",x,y);

}while(!((x==u)&&(y==w)));

printf(" ");

}

}

else if(w!=v)

low[u]=MIN2(low[u],dfn[w]);

}

}

拓?fù)渑判?/strong>

拓?fù)渑判颍╰opological sort)是對有向無環(huán)圖的頂點(diǎn)的一種排序,它使得如果存在一條從vi到vj的路徑,那么在排序中vj出現(xiàn)在vi的后面。正是由于這個特性,如果圖含有回路,那么拓?fù)渑判蚴遣豢赡艿摹?/p>

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拓?fù)渑判蚝唵蔚恼f,就是將上圖變成下圖。

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求拓?fù)渑判蛩惴ǖ囊环N簡單方式:選中一個沒有入邊的頂點(diǎn),顯示出該點(diǎn),并將它和它的邊一起從圖中刪除,然后對圖的其余部分應(yīng)用同樣的方法處理。

假設(shè)每一個頂點(diǎn)的入度被存儲且圖被讀入一個鄰接表中,下面的代碼則可以生成一個拓?fù)渑判颉?/p>

e4d0a10e-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

對上圖應(yīng)用拓?fù)渑判虻慕Y(jié)果如下:

e4e3c450-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

最短路徑算法

單源最短路徑問題:給定一個加權(quán)圖G=(V,E)和一個特定頂點(diǎn)s作為輸入,找出從s到G中每一個其他點(diǎn)的最短加權(quán)路徑。

如下圖所示,從v1到v6的最短加權(quán)路徑的值為6(v1?v4?v7?v6)

從v2到v5的最短加權(quán)路徑的值為5(v2?v4?v5)。

e4fef0cc-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

下面這個圖從v5到v4的最短加權(quán)路徑可就有意思了,它是1么?不是。按照v5?v4?v2?v5?v4的路徑走則是一條更短的路徑了,因?yàn)檫@是帶負(fù)值回路的圖。而由于帶負(fù)值而引入的循環(huán),這個循環(huán)叫做負(fù)值回路(negative-cost cycle),當(dāng)它出現(xiàn)在圖中時,最短路徑問題就是不確定的了。有負(fù)值的邊未必不好,但它們明顯使問題更加難了。

e51f20ae-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

當(dāng)未指明所討論的是加權(quán)路徑還是無權(quán)路徑時,如果圖是加權(quán)的,那么路徑就是加權(quán)的。

下面列出單源最短路徑算法:

void shortestpath(int v,int cost[][MAX_VERTICES],int distance[],int n,short int found[])

{

int i,u,w;

for(i=0;i

{

found[i]=FALSE;

distance[i]=cost[v][i];

}

found[v]=TRUE;

distance[v]=0;

for(i=0;i

{

u=choose(distance,n,found);

found[u]=TRUE;

for(w=0;w

if(!found[w])

if(distance[u]+cost[u][w]

distance[w]=cost[u][w]+distance[u];

}

}

int choose(int distance[],int n,short int found[])

{

int i,min,minpos;

min=INT_MAX;

minpos=-1;

for(i=0;i

if(distance[i]

{

min=distance[i];

minpos=i;

}

return minpos;

}

思考:找出A到所有其他頂點(diǎn)的最短路徑以及B到所有其他頂點(diǎn)的最短無權(quán)路徑。

e5317736-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

如果要求所有頂點(diǎn)對之間的最短路徑,可以用下面這個算法:

void allcosts(int cost[][MAX_VERTICES],int distance[][MAX_VERTICES],int n)

{

int i,j,k;

for(i=0;i

for(j=0;j

distance[i][j]=cost[i][j];

for(k=0;k

for(i=0;i

for(j=0;j

if(distance[i][k]+distance[k][j]

distance[i][j]=distance[i][k]+distance[k][j];

}

傳遞閉包

我們由一個問題引入傳遞閉包的概念。有一個邊不帶權(quán)值的有向圖G,要判斷任意兩個頂點(diǎn)i 和j 之間是否存在一條路徑,此處有兩種情況,一種是路徑長度為正數(shù),一種是路徑長度為非負(fù)。以上兩種情況分別被稱為圖的傳遞閉包(transitive closure),和自反傳遞閉包(reflexive transitive closure)。

傳遞閉包矩陣(transitive closure matrix)是一個矩陣,記作A+,如果從頂點(diǎn)i到j(luò)存在一條長度大于0的路徑,則A+[i][j]=1,否則A+[i][j]=0。

自反傳遞閉包矩陣是一個矩陣,記作A?,如果從頂點(diǎn)i到j(luò)存在一條長度大于0的路徑,則A?[i][j]=1,否則A?[i][j]=0。

Dijkstra算法

前面的廣度優(yōu)先搜索中的圖是無權(quán)圖,而如果一旦變成了加權(quán)圖,那么問題就變得困難起來了。

對于每個頂點(diǎn),我們標(biāo)記為known以及unknown,和上面一樣,還得有一個距離的dv。與無權(quán)最短路徑一樣,Dijkstra算法也是按階段進(jìn)行,在每個階段選擇一個頂點(diǎn)v,它在所有unknown頂點(diǎn)中具有最小的dv,同時算法聲明從s到v的最短路徑是known的。然后緊接著,不斷的進(jìn)行下去即可。

那么這個算法到底是怎么回事了?請看下圖。

e542671c-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

圖中已經(jīng)對權(quán)重做好了標(biāo)記,以v1作為切入點(diǎn),因此初始情況如下左圖。

v1此時已經(jīng)是known的了,而其有2個鄰接點(diǎn)v2和v4,因此可以調(diào)整為如下右圖。正無窮圖標(biāo)標(biāo)識沒有連通。pv表示前一個鄰接點(diǎn)。

e55ded8e-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

毫無疑問這里會接下來走到v4去,因?yàn)関4的權(quán)重為1比v2的權(quán)重為2要小。調(diào)整為如下左圖。

e573e51c-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

可能你已經(jīng)看到了上圖中的右圖而好奇為什么下一步是v2,但是v4根本不能走到v2。因?yàn)関4能夠走到的,比如v3,權(quán)重從v1開始一共是3,這比從v1到v2還要大。于是就跳轉(zhuǎn)回到了v2。

下一步便走到了v5,因?yàn)橹挥兄禐?的權(quán)重,同樣的v3也是,于是它們倆被雙雙標(biāo)記為known。如下左圖所示。

緊接著走到了v7,同時v6下調(diào)到了5+1=6得到了如下右圖。至于為什么要做這個調(diào)整,是因?yàn)榇藭rv1到v7的加權(quán)為1+4=5,而v7到v6的加權(quán)為1,所以就有了這個調(diào)整。

e58aaad6-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

最后便順勢走到了v6完成了整個Dijkstra算法,它們都已被標(biāo)記為known。

e5d8538a-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

在后面還將會有一種斐波那契堆,針對Dijkstra算法做了優(yōu)化,歡迎大家的繼續(xù)關(guān)注。

具有負(fù)邊值得圖

而如果一個圖具有負(fù)的邊值,那么Dijkstra算法就行不通了。這是因?yàn)橐粋€頂點(diǎn)u被聲明為known后,那就可能從某個另外的unknown頂點(diǎn)v有一條回到u的負(fù)的路徑。而“回到”就意味著循環(huán),前面的例子中我們已經(jīng)知道了循環(huán)是多么的……

問題并非沒有解決的辦法,如果我們有一個常數(shù)X,將其加到每一條邊的值上,這樣除去負(fù)的邊,再計(jì)算新圖的最短路徑,最后把結(jié)果應(yīng)用到原圖上。然后這個解決方案也是布滿了荊棘,因?yàn)榫佣嘣S多條邊的路徑變得比那些具有很少邊的路徑權(quán)重更重了。如果我們將s放到隊(duì)列中,然后再每一個階段讓一個頂點(diǎn)v出隊(duì),找出所有與v鄰接的頂點(diǎn)w,使得dw>dv+cv,w,然后更新到dw和pw,并在w不在隊(duì)列中時將它放到隊(duì)列中,可以為每一個頂點(diǎn)設(shè)置一個位(bit)以指示它在隊(duì)列中出現(xiàn)的情況。

無環(huán)圖

如果圖是無環(huán)的,則可以通過改變聲明頂點(diǎn)為known的順序,或者叫做頂點(diǎn)選取法則來改進(jìn)Dijkstra算法。這種方法通過拓?fù)渑判騺磉x擇頂點(diǎn),由于選擇和更新可以在拓?fù)渑判驁?zhí)行的過程中執(zhí)行,因此新的算法只需要一趟就可以完成。

通過下面這個動作結(jié)點(diǎn)圖(activity-node graph)來解釋什么是關(guān)鍵路徑分析(critical path analysis)再合適不過了。一條邊(v,w)表示動作v必須在動作w開始前完成,如前面說描述的那樣,這就意味著圖必須是無環(huán)的。

e5ee496a-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

為了進(jìn)行這些運(yùn)算,我們把動作結(jié)點(diǎn)圖轉(zhuǎn)化成事件結(jié)點(diǎn)圖(event-node graph),每個事件對應(yīng)于一個動作和所有與它相關(guān)的動作完成。

e6077a2a-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

所以現(xiàn)在我們需要找出事件的最早完成時間,只要找出從第一個事件到最后一關(guān)事件的最長路徑的長。因?yàn)橛姓祷芈罚╬ositive-cost cycle)的存在最長路徑問題常常是沒有意義的。而由于事件結(jié)點(diǎn)圖是無環(huán)圖,那就不需要擔(dān)心回路的問題了,這樣一來就不用有所顧忌了。

以下是最早完成時間。

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以下是最晚完成時間。

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借助頂點(diǎn)的拓?fù)渑判蛴?jì)算最早完成時間,而最晚完成時間則通過倒轉(zhuǎn)拓?fù)渑判騺碛?jì)算。

而事件結(jié)點(diǎn)圖中每條邊的松弛時間(slack time)代表對應(yīng)動作可以被延遲而不推遲整體完成的時間量,最早完成時間、最晚完成時間和松弛時間如下所示。

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某些動作的松弛時間為0,這些動作是關(guān)鍵性的動作,它們必須按計(jì)劃結(jié)束。至少存在一條完成零-松弛邊組成的路徑,這樣的路徑是關(guān)鍵路徑(critical path)。

網(wǎng)絡(luò)流問題

如下左圖所示,有一個頂點(diǎn)s,稱為源點(diǎn)(source);還有一個頂點(diǎn)t,稱為匯點(diǎn)(sink)。對于頂點(diǎn)c,它最大流出2,因此它的最大流入為2,如下右圖所示。而t的最大流也就是5。

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要想計(jì)算最大流,同樣可是使用前面的思想——分階段進(jìn)行。令開始時所有邊都沒有流,如下中間圖所示。我們可以用殘余圖(residual graph)來表示對于每條邊還能再添加上多少流。對于每一條邊,可以從容量中減去當(dāng)前的流而計(jì)算出殘留的流。

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第一步:假設(shè)我們選擇s?b?d?t路徑,此時會發(fā)出2個單位的流通過這條路徑的每一邊,如下中間圖所示。對比左圖,我們做如下約定:一旦注滿(使飽和)一條邊,例如a到b和b到d,就將這條邊從殘余圖(也就是中間圖)去掉,如下右圖所示。

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第二步:接下來選擇s?a?c?t路徑,此時也會發(fā)出2個單位的流通過這條路徑的每一邊,如下中間圖所示(只看s?a?c?t即可,s?b?d?t為上一步說走過的路徑)。同樣將殘余圖更新如下右圖所示。

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第三步:從上圖的殘余圖中我們已經(jīng)可以看出來最后一步的唯一一種走法了,也就是從s?a?d?t。做如下圖所示更新。

e6d9cc00-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

很顯然從t無法走到s,因此算法至此便終止了。因此正好5個單位的流是最大值。前面的三步我們走的如此順利,那么問題真的如此簡單么?

如果一開始我們選擇了s?a?d?t,那么算法就會失敗了,因?yàn)槁芬呀?jīng)被堵死了。

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為了使算法得以成功運(yùn)作,那么就要讓流圖中具有以相反方向發(fā)送流的路徑,如下所示。那么對于如下右圖中的殘余圖而言,從d返回到a的便成了3而非4,這是因?yàn)閺膖流到d的流量是3個單位?,F(xiàn)在在殘余圖中就有a和d之間有2個方向,或者還有1個單位的流可以從a導(dǎo)向d,或者是3個單位的流導(dǎo)向相反的反向,當(dāng)然,我們也可以撤銷流。

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緊接著如果通過d到a導(dǎo)入2個單位的流,算法就會從邊(a,d)取走2個單位的流,更新流圖如下。

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思考:找出下面網(wǎng)絡(luò)中的一個拓?fù)渑判蛞约白畲罅鳌?/p>

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活動網(wǎng)絡(luò)

AOV網(wǎng)絡(luò)

除了一些不能再簡單的工程外,所有的工程都可以劃分為若干個成為活動(activities)的子工程。比如說大學(xué)的課程,得修完了大學(xué)英語1才能修大學(xué)英語2,也得修完了高等數(shù)學(xué)才能修線性代數(shù)、概率論、離散數(shù)學(xué)等。將這些作為頂點(diǎn)標(biāo)記為圖時,它便是一個有向圖。

頂點(diǎn)表示活動的網(wǎng)(activity on vertex network)或AOV網(wǎng),是用頂點(diǎn)表示活動或任務(wù),邊表示活動或任務(wù)之間的優(yōu)先關(guān)系的有向圖G。在AOV網(wǎng)絡(luò)G中,當(dāng)且僅當(dāng)從頂點(diǎn)i到j(luò)存在一條有向路徑,則頂點(diǎn)i稱為頂點(diǎn)j的前驅(qū)(predecessor);當(dāng)且僅當(dāng)是G中的一條邊,則稱頂點(diǎn)i為頂點(diǎn)j的直接前驅(qū)(immediate predecessor)。如果頂點(diǎn)i是頂點(diǎn)j的前驅(qū),則稱頂點(diǎn)j為頂點(diǎn)i的后繼(successor);如果頂點(diǎn)i是頂點(diǎn)j的直接前驅(qū),則稱頂點(diǎn)j為頂點(diǎn)i的直接后繼。

拓?fù)渑帕惺怯捎邢驁D中所有頂點(diǎn)形成一個線性序列,對圖中任意兩個頂點(diǎn)i和j,如果頂點(diǎn)i是頂點(diǎn)j的前驅(qū),則頂點(diǎn)i在拓?fù)湫蛄兄信旁陧旤c(diǎn)j的前面。

我們在前面已經(jīng)介紹了拓?fù)渑判颍@里給出它的偽代碼。

for(i=0;i

{

if every vertex has a predecessor

{

fprintf(stderr,"Network has a cycle. ");

exit(1);

}

pick a vertex v that has no predecessors;

output v;

delete v and all edges leading out of v from the netwok;

}

對于拓?fù)渑判騿栴},所需的操作主要有:

1)判斷頂點(diǎn)是否有前驅(qū);
2)刪除頂點(diǎn)和關(guān)聯(lián)于該頂點(diǎn)的所有邊。

在操作1中,我們可以在每個頂點(diǎn)中都保存其直接前驅(qū)個數(shù)的計(jì)數(shù)。對于操作2,可以使用前面介紹過的鄰接表來表示AOV網(wǎng)絡(luò)。于是可以將其實(shí)現(xiàn)為以下C代碼:

// 聲明

typedef struct node *node_pointer;

typedef struct node

{

int vertex;

node_pointer link;

};

typedef struct

{

int count;

node_pointer link;

}hdnodes;

hdnodes graph[MAX_VERTICES];

// 函數(shù)

void topsort(hdnodes graph[],int n)

{

int i,j,k,top;

node_pointer ptr;

top=-1;

for(i=0;i

{

if(!graph[i].count)

{

graph[i].count=top;

top=i;

}

}

for(i=0;i

{

if(top==-1)

{

fprintf(stderr," Network has a cycle. Sort terminated. ");

exit(1);

}

else

{

j=top;

top=graph[top].count;

printf("v%d, ",j);

for(ptr=graph[j].link;ptr;ptr=ptr->link)

{

k=ptr->vertex;

graph[k].count--;

if(!graph[k].count)

{

graph[k].count=top;

top=k;

}

}

}

}

}

在topsort的聲明中,count域用來保存頂點(diǎn)的入度,而link域則是指向鄰接表首結(jié)點(diǎn)的指針。鄰接表中的每個結(jié)點(diǎn)又包含了兩個域:vertex和link。在輸入時,可以方便地設(shè)置count域的值。當(dāng)輸入一條邊時,頂點(diǎn)j的count就會加1。用一個棧來保存count值為0的頂點(diǎn)序列。當(dāng)然也可以使用隊(duì)列,但棧更容易實(shí)現(xiàn)。由于在count域減至0以后,count域就沒有用了,所以通過頭結(jié)點(diǎn)的count域把棧中的各個結(jié)點(diǎn)鏈接起來。

對于topsort的分析:對于具有n個頂點(diǎn)和e條邊的AOV網(wǎng)絡(luò),第一個for循環(huán)的時間開銷為O(n)。而第二個for循環(huán)執(zhí)行n次。if子句在常數(shù)時間內(nèi)完成;else子句中的for循環(huán)時間開銷為O(di),其中di是頂點(diǎn)i的出度。由于這個循環(huán)會在每個頂點(diǎn)輸出時執(zhí)行一次,所以總時間為:

O((∑n?1i=odi)+n)=O(e+n)

因此這個算法的漸進(jìn)時間為O(e+n),與問題的規(guī)模呈線性關(guān)系。

AOE網(wǎng)絡(luò)

AOE網(wǎng)絡(luò)就是邊表示活動的網(wǎng)絡(luò)(activity on edge network),它的有向邊表示在一個工程中所需完成的任務(wù)或活動,而頂點(diǎn)表示事件,用來標(biāo)識某些活動的完成。在AOV網(wǎng)絡(luò)中,事件高數(shù)2完成意味著要先完成高數(shù)1;AOE網(wǎng)絡(luò)中,事件高數(shù)2完成意味著已經(jīng)完成了高數(shù)1。也就是說在AOE中,當(dāng)一個事件發(fā)生時,就表明觸發(fā)該事件的所有活動都已經(jīng)完成。

在AOE網(wǎng)絡(luò)中,有些活動可以并行地進(jìn)行,所以完成整個工程所需的最短時間是從開始頂點(diǎn)到終止頂點(diǎn)的最長路徑的長度。關(guān)鍵路徑(critical path)就是一條具有最長路徑長度的路徑。

一個事件vi可以發(fā)生的最早發(fā)生時間(earliest time),是從開始頂點(diǎn)vo到頂點(diǎn)vi的最長路徑的長度。活動vi的最遲開始時間(latest time),記作late(i),是指在不增加工程工期的前提下,活動ai能夠最遲的開始時間。

關(guān)鍵網(wǎng)絡(luò)(critical activity)是指滿足early(i)=late(i)的活動,一個活動的最遲開始時間late(i)與最早開始時間early(i)之間的差說明了該活動的關(guān)鍵程度。

下面列出兩個比較常用的公式:

1)事件最早發(fā)生時間的計(jì)算

earliest[j]=maxi∈P(j){earliest[i]+的持續(xù)時間}

以上這個數(shù)學(xué)公式的markdown“源碼”:

$ earliest[j] = displaystyle max_{x in {P(j)}} { earliest[i] + 的持續(xù)時間 } $

2)事件最晚發(fā)生時間的計(jì)算

latest[j]=mini∈S(j){latest[i]?的持續(xù)時間}

最小生成樹

一個無向圖G的最小生成樹(minimum spanning tree)就是由該圖的那些連接G的所有頂點(diǎn)的邊構(gòu)成的總值最低的樹。最小生成樹存在當(dāng)且僅當(dāng)G是連通的。

下面第二個圖是第一個圖的最小生成樹(碰巧是唯一的,但并不能代表一般情況)。最小生成樹是一棵樹;因?yàn)樗鼰o環(huán);因?yàn)樽钚∩蓸浒恳粋€頂點(diǎn),所以它叫生成樹;此外,它顯然是包含所有頂點(diǎn)的最小的樹。

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Prim算法

計(jì)算最小生成樹的一種方法是使其連續(xù)地一步一步成長,在每一步中,都要把一個結(jié)點(diǎn)當(dāng)作根并且往上累加邊,于是就將關(guān)聯(lián)的頂點(diǎn)加到了增長中的樹上。

Prim算法和前面求最短路徑的Dijkstra算法思想類似,因此和前面一樣我們對每一個頂點(diǎn)保留值dv和pv以及一個標(biāo)記頂點(diǎn)的known或unknown。

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還是老辦法,在Prim算法中也設(shè)定一個表的初始狀態(tài)如下。

e78cb572-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

將v1設(shè)置為known的,根據(jù)Prim算法上一張圖所示,v1連接了v2、v3、v4,其dv分別為2、4、1,因此更新如下。

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將v4聲明為known,更新如下。

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將v2和v3先后聲明為known,更新如下。

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將v7聲明為known后更新如下左圖,最后將v6和v5也更新為known后更新如下右圖。

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下面是Prim算法的偽代碼實(shí)現(xiàn),其中T為生成樹的邊集,TV是當(dāng)前生成樹T的頂點(diǎn)集合

Kruskal算法

第二種貪心策略是連續(xù)地按照最小的權(quán)選擇邊,并且當(dāng)所選的邊不產(chǎn)生回路時就把它作為取定的邊。同樣是前面的示例,用Kruskal算法執(zhí)行如下。

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形式上,Kruskal算法是在處理一個森林——樹的集合。下圖展示了邊被添加到森林中的順序。

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當(dāng)添加到森林中的邊足夠多時,算法終止,這里算法的作用在于決定邊(u,v)是應(yīng)該添加還是舍棄。

在該算法執(zhí)行的過程中,兩個頂點(diǎn)屬于同一個集合當(dāng)且僅當(dāng)它們在當(dāng)前的生成森林(spanning forest)中連通。如果u和v在同一個集合中,那么連接它們的邊就要放棄,因?yàn)楫?dāng)它們已經(jīng)連接的情況下,再添加邊(u,v)就會形成一個回路。

如果這兩個頂點(diǎn)不在同一個集合中,就應(yīng)該將這條邊加入,并對包含頂點(diǎn)u和v的兩個集合執(zhí)行一次union操作。這樣將保持集合的不變性,因?yàn)橐坏┻叄╱,v)添加到生成森林中,若w連通到u而x連通到v,這x和w必然是連通的,因此屬于相同的集合。雖然將邊排序便于選取,但用線性時間建立一個堆則是更好的想法,此時deleteMin使得邊依次得到測試。

Sollin算法

Sollin算法在每一步都為生成樹遞歸地選取若干條邊,在每一步處理開始時,說選取的邊與圖中的所有n個頂點(diǎn)形成一個生成森林。在執(zhí)行過程中,為森林中的每棵樹都選取一條邊,與選取的邊都是恰有一個頂點(diǎn)在樹上且代價最小。由于森林中的兩棵樹可能選取同一條邊,所以需要去掉同一條邊被多次選取的情況。在開始時,說選取的邊集為空,當(dāng)最后結(jié)果只有一棵樹或者再沒有邊可供選取時,算法就此結(jié)束。

深度優(yōu)先搜索

深度優(yōu)先搜索(depth-first search)是對前序遍歷的推廣,對每一個頂點(diǎn),字段visited被初始化成false,通過哪些尚未被訪問的結(jié)點(diǎn)遞歸調(diào)用該過程,我們保證不會陷入無限循環(huán)。如果圖是無向且連通的,或是有向但非強(qiáng)連通的,這種方法可能會訪問不到某些結(jié)點(diǎn)。此時我們搜索一個未被標(biāo)記的結(jié)點(diǎn),然后應(yīng)用深度優(yōu)先遍歷,并繼續(xù)這個過程直到不存在未標(biāo)記的結(jié)點(diǎn)為止。因?yàn)樵摲椒ūWC每一條邊只被訪問一次,所以只要使用鄰接表,執(zhí)行遍歷的總時間就是O(|E|+|V|)。

深度優(yōu)先搜索的算法實(shí)現(xiàn):

#define FALSE 0

#define TRUE 1

short int visited[MAX_VERTICES]

void dfs(int v)

{

node_pointer w;

visited[v]=TRUE;

printf("%5d",v);

for(w=graph[v];w;w=w->link);

if(!visited[w->vertex])

dfs(w->vertex);

}

和上文中的廣搜一樣,我們也來對dfs進(jìn)行分析。

如果采用鄰接表來存儲,就可以沿著頂點(diǎn)的鏈表來確定其所有鄰接頂點(diǎn)。因此在鄰接表中的每一個頂點(diǎn)都至多掃描一次,所以完成搜索時間復(fù)雜性為O(e)。

如果采用鄰接矩陣來存儲,訪問頂點(diǎn)的所有鄰接頂點(diǎn)的時間為O(n),而整個過程至多訪問n個頂點(diǎn),因此完成搜索時間復(fù)雜性為O(n2)。

無向圖

如下左圖中是一個無向圖,我們以此為例,假設(shè)從A開始,標(biāo)記A為known并遞歸地調(diào)用dfs(B)。dfs(B)標(biāo)記B為known并遞歸調(diào)用dfs(C)。dfs(C)標(biāo)記C為known并遞歸調(diào)用dsf(D)。而后D的鄰接結(jié)點(diǎn)只有C,但C已經(jīng)是knwon的,這里便無法再繼續(xù)遞歸下去,因此返回到dfs(C)。dfs(C)看到已經(jīng)標(biāo)記為known的B鄰接點(diǎn)和D鄰接點(diǎn),因此調(diào)用dfs(E)。dfs(E)標(biāo)記E為known,同樣的它只能返回到dfs(C),再返回到dfs(B),最后返回到dfs(A)。實(shí)際上這里接觸每條邊2次,一次是作為邊(v,w),另一次是作為邊(w,v)。

如下右圖展示了深度優(yōu)先搜索樹(depth-first spanning tree)的步驟。虛線表示向后邊(back edge),表示這條“邊”并不是樹的一部分。

e8325e64-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

樹將模擬我們執(zhí)行的遍歷,使用樹的邊對該樹的前序編號(preorder numbering)表示頂點(diǎn)被標(biāo)記的順序;如果圖不是連通的,那么處理所有的結(jié)點(diǎn)(以及邊)自然需要多次反復(fù)調(diào)用dfs,每次都生成一棵樹,整個集合就是深度優(yōu)先生成森林(depth-first spanning forest)。

雙連通性

前面我們已經(jīng)介紹過了雙連通圖,如果刪除一個無向圖的仁一頂點(diǎn)后,剩下的圖仍然連通,那么這樣的無向連通圖就稱為是雙連通的(biconnected)。

如果圖不是雙聯(lián)通的,那么將其刪除后不再連通的那些頂點(diǎn)叫做割點(diǎn)(articulation point)。

深度優(yōu)先搜索提供了一種找出連通圖中所有割點(diǎn)的線性時間算法。從圖中任一頂點(diǎn)開始,執(zhí)行深度優(yōu)先搜索并在頂點(diǎn)被訪問時給它們編號。對于每一個頂點(diǎn)v,我們稱其前序編號為Num(V)。然后,對于深度優(yōu)先搜索生成樹中的每一個頂點(diǎn)v,計(jì)算編號最低的頂點(diǎn),我們稱之為Low(V),該點(diǎn)可從v開始通過樹的零條或多條邊,且可能還有一條后向邊而以該序達(dá)到。

e8480bce-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

有向圖

如前所述,如果圖不是強(qiáng)連通的,那么從某個結(jié)點(diǎn)開始的深度優(yōu)先搜索可能訪問不了所有的結(jié)點(diǎn),這種情況下我們從某個未做標(biāo)記的結(jié)點(diǎn)處開始,反復(fù)執(zhí)行深度優(yōu)先搜索,直到所有的結(jié)點(diǎn)都被訪問到為止。

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對此我們從頂點(diǎn)B開始深度優(yōu)先搜索,依次訪問B、C、A、D、E、F。而后從某個未被標(biāo)記的頂點(diǎn)重新開始,比如H,然后訪問J和I。最后從G開始,也從此結(jié)束。

e87729ea-6a14-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

深度優(yōu)先生成森林中的虛線是一些(v,w)邊,其中的w在考察時已經(jīng)做了標(biāo)記。在無向圖中,它們總是一些向后邊,但是可以看到,存在三種類型的邊并不通向新的頂點(diǎn)。這里有一些向后邊(back edge),如(A,B);還有一些向前邊(forward edge),如(C,D);最后還有一些交叉邊(cross edge),如(F,C),它們把不直接相關(guān)的兩個樹結(jié)點(diǎn)連接起來。深度優(yōu)先搜索森林一般通過把一些子結(jié)點(diǎn)和一些新的樹叢左到右添加到森林中形成。

深度優(yōu)先搜索還可以用來檢測一個有向圖是否是無環(huán)圖,因?yàn)橐粋€有向圖是無環(huán)圖當(dāng)且僅當(dāng)它沒有向后邊。上面的例子明顯不是無環(huán)圖,因?yàn)樗邢蚝筮?。而拓?fù)渑判蛞部梢杂脕頇z測一個圖是否是無環(huán)圖,進(jìn)行拓?fù)渑判虻牧硪环N方法是通過深度優(yōu)先搜索生成森林的后序遍歷給頂點(diǎn)指定拓?fù)渚幪朜,N?1,……,1。只要圖是無環(huán)的,這種排序就是一致的。

審核編輯 :李倩


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    的工具和圖形界面來縮短開發(fā)時間和降低技術(shù)門檻。以下是對低代碼開發(fā)與傳統(tǒng)開發(fā)的詳細(xì)對比: 適用人群 傳統(tǒng)開發(fā) :主要適用于經(jīng)驗(yàn)、基礎(chǔ)的程序員,他們可以利用各種編碼語言進(jìn)行應(yīng)用程序的創(chuàng)建。傳統(tǒng)開發(fā)需要深厚的編程功底
    的頭像 發(fā)表于 01-31 10:48 ?607次閱讀

    常見的加密算法哪些?它們各自的優(yōu)勢是什么?

    常見的加密算法及其優(yōu)勢如下: AES(Advanced Encryption Standard): AES是一種對稱加密算法,采用分組密碼體制,支持128位、192位和256位密鑰長度。AES的優(yōu)勢
    的頭像 發(fā)表于 12-17 15:57 ?970次閱讀

    AIC3254的miniDSP編寫代碼和編寫C5502代碼什么區(qū)別?

    問題:AIC3254的miniDSP編寫代碼和編寫C5502代碼什么區(qū)別,執(zhí)行速度和代碼量來進(jìn)行分析吧,謝謝回復(fù)
    發(fā)表于 11-06 07:22

    談?wù)?b class='flag-5'>有哪些電路

    在電子工程領(lǐng)域,電路是很多電子工程師學(xué)習(xí)電子設(shè)計(jì)的第一步內(nèi)容,它們以圖形化的方式展示了電路的結(jié)構(gòu)、元件及它們之間的連接關(guān)系,然而很多工程師只知道原理、方框圖等,但對很多電路不太清楚,所以下面將談?wù)?/div>
    的頭像 發(fā)表于 10-15 14:08 ?1792次閱讀

    常用的ADC濾波算法哪些

    ADC(模數(shù)轉(zhuǎn)換器)濾波算法在信號處理中起著至關(guān)重要的作用,它們能夠幫助我們提取出有用的信號,同時濾除噪聲和干擾。以下是常用的ADC濾波算法詳解,這些算法各具特色,適用于不同的應(yīng)用場景。
    的頭像 發(fā)表于 10-08 14:35 ?1135次閱讀

    gp88s維修手冊原版電路

    gp88s維修手冊原版電路
    發(fā)表于 09-29 09:08 ?4次下載

    人員軌跡分析算法哪些?

    時段等。這些信息可以對城市規(guī)劃、交通管理、公共安全等方面具有重要的指導(dǎo)意義。而為了實(shí)現(xiàn)人員軌跡分析,我們需要使用一些專門的算法和技術(shù)。 下面是幾種常用的人員軌跡分析算法: 1. 基于密度的聚類算法: 基于密度的聚類
    的頭像 發(fā)表于 09-26 10:42 ?913次閱讀

    代碼整潔之道-大師眼中的整潔代碼是什么樣

    幾個月前寫了一篇文章“如何寫出難以維護(hù)的代碼”,從中能大概了解到不好維護(hù)的代碼是什么樣,哪些壞味道,那肯定有人會反問,難以維護(hù)的代碼見的太多了,也知道長什么樣,但是對于好維護(hù)的
    的頭像 發(fā)表于 09-09 16:30 ?645次閱讀
    <b class='flag-5'>代碼</b>整潔之道-大師眼中的整潔<b class='flag-5'>代碼</b>是什么樣

    圖像識別算法哪幾種

    圖像識別算法是計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的核心技術(shù)之一,它通過分析和處理圖像數(shù)據(jù),實(shí)現(xiàn)對圖像中的目標(biāo)、場景和物體的識別和分類。 圖像識別算法的發(fā)展歷程 圖像識別算法的發(fā)展可以追溯到20世紀(jì)50年代,當(dāng)時
    的頭像 發(fā)表于 07-16 11:22 ?2439次閱讀

    圖像識別算法的提升哪些

    引言 圖像識別是計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的核心任務(wù)之一,旨在使計(jì)算機(jī)能夠自動地識別和理解圖像中的內(nèi)容。隨著計(jì)算機(jī)硬件的發(fā)展和深度學(xué)習(xí)技術(shù)的突破,圖像識別算法的性能得到了顯著提升。本文將介紹圖像識別算法的提升
    的頭像 發(fā)表于 07-16 11:12 ?1068次閱讀

    圖像識別算法的優(yōu)缺點(diǎn)哪些

    圖像識別算法是一種利用計(jì)算機(jī)視覺技術(shù)對圖像進(jìn)行分析和理解的方法,它在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用,如自動駕駛、醫(yī)療診斷、安全監(jiān)控等。然而,圖像識別算法也存在一些優(yōu)缺點(diǎn)。 一、圖像識別算法的優(yōu)點(diǎn) 高效性
    的頭像 發(fā)表于 07-16 11:09 ?3146次閱讀

    圖像識別算法的測試方法哪些

    圖像識別算法的測試方法是一個廣泛而深入的話題,涉及到多個方面。 數(shù)據(jù)集的選擇 : 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集 :使用廣泛認(rèn)可的數(shù)據(jù)集,如MNIST、CIFAR-10、ImageNet等,這些數(shù)據(jù)集明確的類別劃分
    的頭像 發(fā)表于 07-16 11:06 ?1156次閱讀

    ai大模型和算法什么區(qū)別

    AI大模型和算法是人工智能領(lǐng)域的兩個重要概念,它們在很多方面有著密切的聯(lián)系,但同時也存在一些明顯的區(qū)別。 定義和概念 AI大模型通常是指具有大量參數(shù)和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的人工智能模型,它們能夠處理和解決各種
    的頭像 發(fā)表于 07-16 10:09 ?3993次閱讀