摘要

計(jì)算物理以計(jì)算機(jī)為工具，以計(jì)算方法和計(jì)算軟件為手段，近年來發(fā)展迅速，在研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)及物理規(guī)律方面成功解決了大量傳統(tǒng)物理難以解決的難題，已經(jīng)成為研究自然的理論—計(jì)算—實(shí)驗(yàn)鼎力三足。文章簡(jiǎn)要介紹了計(jì)算物理的起源和發(fā)展，重點(diǎn)關(guān)注了計(jì)算物理在凝聚態(tài)物理方面的應(yīng)用，介紹了包括精確對(duì)角化、數(shù)值重正化群、蒙特卡羅、動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)等方法，并闡述了各個(gè)方法的特點(diǎn)。在探究新奇物理現(xiàn)象、發(fā)展計(jì)算方法兩方面，討論了計(jì)算凝聚態(tài)物理的未來發(fā)展方向。

01 引言

作為過去20年間發(fā)展最為迅速的領(lǐng)域之一，計(jì)算物理以計(jì)算機(jī)為工具，以計(jì)算方法和計(jì)算軟件為手段，研究和發(fā)現(xiàn)物質(zhì)結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在物理學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科發(fā)揮了重要的作用，已成為與實(shí)驗(yàn)物理和理論物理同等重要并可持續(xù)發(fā)展的二級(jí)學(xué)科。最初，物理學(xué)家運(yùn)用早期的計(jì)算機(jī)研究由相互作用的單個(gè)分子組成的物質(zhì)的狀態(tài)方程[1]和非線性動(dòng)力學(xué)問題[2]，計(jì)算物理學(xué)應(yīng)運(yùn)而生。20世紀(jì)50年代，以蒙特卡羅方法為代表的數(shù)值模擬，解決了大量統(tǒng)計(jì)物理和與之相關(guān)的問題。

70年代中期，Wilson提出了數(shù)值重正化群方法[3]，解決了物理學(xué)中的近藤問題[4]。與此同時(shí)，密度泛函理論也有了快速的發(fā)展，它廣泛用于研究各類材料中的電子結(jié)構(gòu)，解釋了實(shí)驗(yàn)測(cè)量的結(jié)果，還成功地預(yù)測(cè)了一些材料的基本特性。發(fā)展至今，計(jì)算物理研究的范圍不斷拓展，從基本物理現(xiàn)象擴(kuò)展到材料科學(xué)、化學(xué)、信息、生命等領(lǐng)域，已成為解決傳統(tǒng)物理研究范式難以解決的難題、減少實(shí)驗(yàn)成本甚至替代實(shí)驗(yàn)、揭示新的物理規(guī)律和效應(yīng)的必要手段。

凝聚態(tài)系統(tǒng)是一個(gè)由大量電子和原子核形成的相互作用的量子系統(tǒng)，凝聚態(tài)物理是過去40年來物理學(xué)研究中發(fā)展最快的學(xué)科領(lǐng)域之一。通過建模的持續(xù)改進(jìn)和發(fā)展高性能計(jì)算，計(jì)算物理搭建了理論與實(shí)驗(yàn)、微觀與宏觀的橋梁，為凝聚態(tài)領(lǐng)域提供了嶄新而有效的科學(xué)研究方法。計(jì)算凝聚態(tài)物理針對(duì)以固體材料為主的凝聚態(tài)系統(tǒng)，研究組成材料原子的空間結(jié)構(gòu)，原子與電子電荷、自旋和軌道自由度的耦合，以及由此涌現(xiàn)出的各種量子態(tài)，并發(fā)展相應(yīng)的計(jì)算方法。從量子力學(xué)出發(fā)，計(jì)算凝聚態(tài)物理在原子層級(jí)上設(shè)計(jì)和確定具有不同功能、結(jié)構(gòu)和組分的材料體系，對(duì)材料的電子能帶結(jié)構(gòu)及其與晶格的相互作用進(jìn)行計(jì)算研究，隨之確定材料的基本特性。在此基礎(chǔ)上，研究多電子相互作用系統(tǒng)中出現(xiàn)的強(qiáng)關(guān)聯(lián)問題，尋找不同競(jìng)爭(zhēng)因素所導(dǎo)致的各種衍生量子現(xiàn)象，展示系統(tǒng)在電、光、磁等外場(chǎng)調(diào)控下產(chǎn)生的物理效應(yīng)，揭示導(dǎo)致諸多效應(yīng)的物理機(jī)理。

近40年來，包括分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)、銅氧化物高溫超導(dǎo)體、鐵基超導(dǎo)體、龐磁阻、重費(fèi)米子、量子臨界等在內(nèi)的大量關(guān)聯(lián)量子現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，豐富了凝聚態(tài)物理的研究?jī)?nèi)涵，促進(jìn)了多體量子理論的快速發(fā)展。諸多新現(xiàn)象來源于系統(tǒng)中電子電荷、自旋、軌道和晶格等微觀自由度之間的共存與競(jìng)爭(zhēng)，通常出現(xiàn)在低維系統(tǒng)中，其共同的特征是電子間的庫侖相互作用與量子漲落都很強(qiáng)，不能通過已有的固體理論框架進(jìn)行解釋。當(dāng)這些自由度之間的關(guān)聯(lián)趨強(qiáng)，傳統(tǒng)的研究手段如微擾論并不適用，強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子行為也不能通過朗道費(fèi)米液體理論和Landau—Ginzburg—Wilson對(duì)稱性破缺理論來描述。想要解決這些問題，必須發(fā)展新的理論及計(jì)算方法。

從定義在格點(diǎn)上的考慮一些基本的相互作用模型出發(fā)，科研工作者研究了量子多體系統(tǒng)的物理性質(zhì)。提出的模型包括Hubbard模型、t—J模型、費(fèi)米子—自旋耦合模型、Heisenberg模型等，各類強(qiáng)關(guān)聯(lián)格點(diǎn)模型受到了廣泛的關(guān)注，取得了重要的結(jié)果。例如，盡管Hubbard模型極大地簡(jiǎn)化了固體中的電子—電子相互作用，其仍能描述多種物理現(xiàn)象，包括金屬—絕緣體轉(zhuǎn)變、磁序相變、條紋相和超導(dǎo)配對(duì)對(duì)稱性等。經(jīng)歷了高溫超導(dǎo)體發(fā)現(xiàn)之后的一系列發(fā)展，如今Hubbard模型的研究具有更豐富的內(nèi)涵，如Anderson—Hubbard模型、Holstein—Hubbard模型等包括了無序、電聲相互作用等因素，為我們提供了更廣闊的應(yīng)用前景。

類似地，Heisenberg模型的研究幫助人們深入理解了量子自旋系統(tǒng)中的新穎物理，如籠目系統(tǒng)中的反鐵磁基態(tài)，或借助量子蒙特卡羅方法研究自旋玻色子系統(tǒng)等。值得注意的是，求解這些統(tǒng)計(jì)模型或量子多體模型并不存在普適的方法，常用的有如下4種方法：精確對(duì)角化；數(shù)值重正化群，包括Wilson數(shù)值重正化群、密度矩陣重正化群、張量重正化群等；量子蒙特卡羅模擬；動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法。針對(duì)不同的系統(tǒng)和不同研究對(duì)象，科研人員通常采用合適的計(jì)算方法以解決具體的問題。本文余下的部分安排如下：第2節(jié)，簡(jiǎn)述計(jì)算凝聚態(tài)物理的內(nèi)涵和歷史；第3節(jié)，介紹計(jì)算凝聚態(tài)物理領(lǐng)域主要的模型和方法；第4節(jié)，簡(jiǎn)要探討相關(guān)領(lǐng)域近期的研究進(jìn)展與發(fā)展方向。

02 計(jì)算物理：內(nèi)涵和歷史

計(jì)算物理是針對(duì)給定物理系統(tǒng)，結(jié)合數(shù)值算法和計(jì)算機(jī)編程技術(shù)，研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)與規(guī)律為目的的一門學(xué)科。簡(jiǎn)單而言，計(jì)算物理就是利用先進(jìn)的計(jì)算能力，通過數(shù)值計(jì)算或模擬去解決復(fù)雜的物理問題。在真實(shí)系統(tǒng)中，由于涉及許多現(xiàn)實(shí)世界因素難以有效地改變，因此研究的效率與范圍受到影響；而由于能夠方便地設(shè)置環(huán)境參數(shù)，計(jì)算物理提供了深度理解系統(tǒng)物理規(guī)律的可能[5]。在嘗試眾多解決方案的過程中，計(jì)算物理有助于根據(jù)已知的物理學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)新的物理現(xiàn)象、探索新的物理效應(yīng)，解決或解釋實(shí)驗(yàn)及工程中出現(xiàn)的物理問題；通過對(duì)一些具有極端條件而難以使用其他方法來研究的物理系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，計(jì)算物理能幫助我們發(fā)現(xiàn)新的物理規(guī)律，拓展對(duì)物質(zhì)世界的認(rèn)知。

計(jì)算物理學(xué)起源于二戰(zhàn)期間的曼哈頓計(jì)劃，研究人員在無法解析地解決問題并且需要處理的數(shù)據(jù)太多時(shí)，通常運(yùn)用計(jì)算物理進(jìn)行模擬。在我國，計(jì)算物理始于20世紀(jì)50年代，源于國家安全領(lǐng)域重大需求，特別是“兩彈一星”任務(wù)的牽引。物理學(xué)家運(yùn)用早期的電子計(jì)算機(jī)研究數(shù)值積分、微分方程的數(shù)值解、物質(zhì)狀態(tài)方程[1]和非線性動(dòng)力學(xué)問題[2]，將微觀世界的一舉一動(dòng)展現(xiàn)在人們眼前。在發(fā)展的初始階段，計(jì)算物理主要作為理論物理的輔助工具，用于解決理論或?qū)嶒?yàn)物理研究中遇到的復(fù)雜計(jì)算問題；或者用于解釋實(shí)驗(yàn)測(cè)量或觀察到的現(xiàn)象，補(bǔ)充實(shí)驗(yàn)表征和測(cè)試方法。通常，只有通過計(jì)算模擬確定了相關(guān)材料的物理特性，才能認(rèn)為給定的現(xiàn)象或材料特性已被完全理解。

從20世紀(jì)40年代第一臺(tái)計(jì)算機(jī)被發(fā)明以來，在幾十年間，計(jì)算機(jī)性能都按照每18個(gè)月翻倍的摩爾定律飛速發(fā)展。1982年，Wilson憑借數(shù)值重正化群獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，宣告了計(jì)算機(jī)協(xié)助解決復(fù)雜物理問題時(shí)代的到來。80年代后期，在李政道先生的組織下，美國哥倫比亞大學(xué)等研究機(jī)構(gòu)聯(lián)合IBM公司共同推動(dòng)和開發(fā)了并行計(jì)算機(jī)，促進(jìn)了高性能計(jì)算技術(shù)與理論的發(fā)展。計(jì)算機(jī)的發(fā)展增強(qiáng)了運(yùn)算能力，也促使計(jì)算物理被用于解決各種領(lǐng)域的數(shù)值問題，如生物物理學(xué)、天體物理學(xué)、化學(xué)、材料科學(xué)等。

最近，隨著單核處理器性能進(jìn)步的逐漸放緩，并行處理已經(jīng)成為高性能計(jì)算的代表。如圖1所示，一系列重要計(jì)算方法的提出和完善，催生了一大批重要科研成果的產(chǎn)生，展示了計(jì)算物理領(lǐng)域的蓬勃發(fā)展。如今，由于設(shè)備的高計(jì)算能力和高存儲(chǔ)帶寬，以及標(biāo)準(zhǔn)編程語言和工具的可用性[6]，圖形處理單元(GPU)已成為大規(guī)模并行計(jì)算的選擇。使用多個(gè)GPU能夠縮短問題求解時(shí)間并提高離散化的精度，而這正是計(jì)算凝聚態(tài)物理研究需要的。

圖1 計(jì)算物理領(lǐng)域中一些重要方法和代表性的文章。方法的發(fā)展和完善幫助我們深化了對(duì)各類系統(tǒng)物性的認(rèn)識(shí)

作為發(fā)展最為迅速的學(xué)科之一，計(jì)算物理也為眾多受限于現(xiàn)實(shí)條件難以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的課題提供了一個(gè)可靠的研究手段，甚至是唯一的手段。一方面，對(duì)于復(fù)雜的物理系統(tǒng)，例如量子多體相互作用系統(tǒng)，盡管已經(jīng)發(fā)展了系統(tǒng)的理論框架，然而嚴(yán)格求解方程或求解由這些方程導(dǎo)出的新方程或公式是幾乎不可能的，甚至近似求解都非常困難。

另一方面，對(duì)于一些現(xiàn)實(shí)中的極端條件，例如500 GPa以上的超高壓、固體系統(tǒng)中1 mK之下的極低溫、50 T以上的穩(wěn)恒強(qiáng)磁場(chǎng)，目前還很難或甚至不可能開展實(shí)際的實(shí)驗(yàn)研究。而計(jì)算物理則能為以上情況提供合適的解決方案，并成為了與實(shí)驗(yàn)物理和理論物理同等重要的物理學(xué)學(xué)科，也是支撐物理學(xué)及其交叉學(xué)科發(fā)展的一個(gè)重要支柱。

從規(guī)模上看，從事計(jì)算物理研究的人員，已經(jīng)超過了從事理論物理研究的人數(shù)。計(jì)算模擬拓展了物理學(xué)研究的深度及廣度，縮短了研究周期，降低了研究成本，加快了研究進(jìn)程。對(duì)于不同的尺度，計(jì)算物理的研究?jī)?nèi)容和方法存在很大不同。因此要進(jìn)行研究，首先要根據(jù)研究對(duì)象明確并建立基本的物理模型，在此基礎(chǔ)上發(fā)展有效的計(jì)算方法，之后通過大規(guī)模的數(shù)值計(jì)算與模擬找到問題的解。計(jì)算方法的研究包含兩部分：一是運(yùn)用物理或計(jì)算數(shù)學(xué)的思想建立求解問題的核心算法；二是根據(jù)物理對(duì)象及算法，建立相應(yīng)的計(jì)算軟件及數(shù)據(jù)庫。算法是研究的核心，是決定計(jì)算模擬效率及可靠性的關(guān)鍵。

作為一個(gè)能夠、且已經(jīng)改變傳統(tǒng)物理學(xué)研究范式的學(xué)科，計(jì)算物理的應(yīng)用范圍和數(shù)據(jù)處理效率隨著機(jī)器計(jì)算能力不斷增強(qiáng)、算法不斷優(yōu)化得以大幅提升。隨著信息化時(shí)代網(wǎng)絡(luò)的普及和發(fā)展，計(jì)算物理由于其研究成本可控、結(jié)果可重復(fù)、實(shí)用性得到了廣泛認(rèn)可[7，8]。通過有效地屏蔽掉次要因素的影響，計(jì)算研究能夠從理論高度去概括性地研究復(fù)雜體系的物理特性，探索實(shí)際體系中的核心或關(guān)鍵科學(xué)因素，提高前沿探索的有效性和時(shí)效性。同時(shí)，它還能夠預(yù)測(cè)新的物理現(xiàn)象、物理效應(yīng)、物理規(guī)律和新材料，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜數(shù)據(jù)的可視化、實(shí)驗(yàn)的實(shí)時(shí)控制與分析。

隨著研究逐漸聚焦于非線性問題、隨機(jī)環(huán)境與非解析解，計(jì)算物理還能根據(jù)已有的理論框架或模型，解決傳統(tǒng)解析研究無法解決的問題。此外，一些全新的理論在建立初期通常沒有合適的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)用于檢驗(yàn)，計(jì)算物理能夠幫助揭示新的物理效應(yīng)和規(guī)律[9]；或輔助研究人員高效探索新型材料物性并獲得高于實(shí)驗(yàn)的測(cè)量精度[7]。

03 量子多體計(jì)算：計(jì)算凝聚態(tài)物理的模型和方法 3.1 精確對(duì)角化

目前，精確對(duì)角化是比較成熟的計(jì)算凝聚態(tài)物理方法，是研究量子多體系統(tǒng)物理性質(zhì)重要的工具。它不僅能為近似理論計(jì)算和量子蒙特卡羅方法提供基準(zhǔn)，也有助于深入了解熱力學(xué)極限中無法解決多體問題的微妙特性。對(duì)于一個(gè)有限格點(diǎn)的量子系統(tǒng)，哈密頓量總是可以用一個(gè)矩陣來表示。精確對(duì)角化方法求解了矩陣的本征值和本征矢量，通過一些最低的本征值和本征矢量計(jì)算各種基態(tài)期望值和相關(guān)函數(shù)來研究該系統(tǒng)的物理性質(zhì)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要做任何近似，缺點(diǎn)是能處理的系統(tǒng)尺寸很小，或者說粒子數(shù)很少。

這是由于系統(tǒng)總自由度數(shù)，即哈密頓量的矩陣維數(shù)是隨系統(tǒng)尺寸增加而指數(shù)增加的。這個(gè)問題也被稱之為“指數(shù)墻問題”。當(dāng)然，這種局限性也有可能是表面局限，比如在一維系統(tǒng)中相干長度小于晶格大小時(shí)，利用該方法也能得到代表性的物理結(jié)果[10]。有限溫度精確對(duì)角化算法，也被應(yīng)用于研究模型的動(dòng)力學(xué)或有限溫度熱力學(xué)性質(zhì)。通過與蒙特卡羅方法和動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)的結(jié)合，拓展了精確對(duì)角化方法可以涉及的理論深度。

其他比較成熟的研究方法有Wilson數(shù)值重正化群和密度矩陣重正化群。而包括量子蒙特卡羅、張量重正化群、動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)在內(nèi)的一系列方法，盡管如圖2所示經(jīng)歷了一定程度的發(fā)展，相對(duì)而言還不夠完善，仍需進(jìn)一步改進(jìn)。

圖2 計(jì)算物理領(lǐng)域中一些重要方法的發(fā)展歷程。橢圓形框內(nèi)描述了左側(cè)對(duì)應(yīng)方法的特點(diǎn)

3.2 密度泛函理論

20世紀(jì)60年代之前，一般采用近似的方法/理論，例如Hartree近似等來計(jì)算凝聚態(tài)體系的電子結(jié)構(gòu)。盡管這些方法具有一定的局限性，但它們?nèi)詾橄嚓P(guān)研究提供了工具。60年代，Kohn及其合作者提出密度泛函理論(DFT)[11]并建立了Kohn—Sham方程[12]，結(jié)合局域密度泛函近似，奠定了當(dāng)代電子結(jié)構(gòu)計(jì)算的基礎(chǔ)。為此，Kohn和計(jì)算化學(xué)的創(chuàng)始人Pople分享了1998年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。80年代，量子蒙特卡羅方法的進(jìn)步促進(jìn)了密度泛函理論的發(fā)展，一系列適合不同電子密度、提高計(jì)算精度的局域密度泛函應(yīng)運(yùn)而生。而隨著密度泛函理論的不斷發(fā)展，加以計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)性能的進(jìn)步，計(jì)算凝聚態(tài)物理也逐漸從定性地解釋實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)向了定量地用第一性原理預(yù)測(cè)實(shí)際材料中的物化性質(zhì)。

密度泛函理論的發(fā)展引領(lǐng)了對(duì)電子結(jié)構(gòu)的研究，被視作計(jì)算凝聚態(tài)物理的一個(gè)重大突破。在諸多領(lǐng)域如核物理、分子物理、化學(xué)等受到了重視并被廣泛應(yīng)用。事實(shí)上，密度泛函理論不僅廣泛地影響了多個(gè)學(xué)科，同樣也得到了各個(gè)研究領(lǐng)域的反饋。在密度泛函理論發(fā)展的很長一段時(shí)間內(nèi)，由于其在具體應(yīng)用時(shí)對(duì)平均場(chǎng)近似的依賴性，物理學(xué)界對(duì)密度泛函缺乏足夠的重視[8]。20世紀(jì)80年代初，隨著局域密度近似下交換關(guān)聯(lián)能參數(shù)化的建立以及廣義梯度近似的發(fā)展，人們開始大量使用密度泛函理論描述化學(xué)反應(yīng)。在推進(jìn)理論化學(xué)發(fā)展的同時(shí)，密度泛函也逐漸成為了計(jì)算凝聚態(tài)物理中一種重要的方法。

3.3 蒙特卡羅方法

量子蒙特卡羅算法的根源可以追溯到20世紀(jì)50年代，當(dāng)時(shí)Ulam和von Neumann提出了一種想法，通過隨機(jī)方法(即在矩陣索引空間中隨機(jī)行走)來計(jì)算矩陣的函數(shù)。1962年，該想法被Kalos等人首次應(yīng)用于物理問題。1973年，Kalos等人首次報(bào)道了這一概念在多體問題上的應(yīng)用[13]。1977年，Suzuki等人完成了對(duì)量子自旋系統(tǒng)的模擬[14]。

此后，量子蒙特卡羅方法迎來了飛速發(fā)展。其主要思想是在計(jì)算機(jī)上模擬實(shí)際過程的概率，然后加以統(tǒng)計(jì)處理，該方法適用問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于隨機(jī)性。早期的蒙特卡羅方法主要運(yùn)用Suzuki—Trotter分解模型的維度分開處理，計(jì)算其配分函數(shù)[15]以研究量子磁學(xué)模型[16]；利用Metropolis算法在相空間中進(jìn)行有效抽樣，滿足細(xì)致平衡。由于該算法更新較慢，Wolff等集團(tuán)更新算法被逐步提出[17]。通常在路徑積分基礎(chǔ)上，一個(gè)D維量子系統(tǒng)等價(jià)于一個(gè)D+1維經(jīng)典系統(tǒng)，因此計(jì)算量子多體模型的配分函數(shù)也可以通過蒙特卡羅模擬來實(shí)現(xiàn)。

如今，量子蒙特卡羅方法具有廣泛的應(yīng)用。20世紀(jì)80年代初，Blankenbecler等人提出了行列式量子蒙特卡羅算法[18]，用以研究相互作用費(fèi)米子系統(tǒng)；近年來，該方法也被用于研究費(fèi)米面或狄拉克費(fèi)米子與臨界玻色場(chǎng)耦合的問題[19]。對(duì)于相互作用玻色子系統(tǒng)和自旋系統(tǒng)，1962年發(fā)展起來的Handscomb方法適用于具有最近鄰相互作用的自旋1/2 Heisenberg模型，避免了路徑積分中固有的系統(tǒng)誤差[16]。

此外，變分蒙特卡羅結(jié)合了用于計(jì)算電子哈密頓量期望值的蒙特卡羅積分和基態(tài)的變分原理，引入了“重要抽樣”的思想。而約束路徑量子蒙特卡羅方法，通過將基態(tài)從任意初始狀態(tài)的投影轉(zhuǎn)換為Slater行列式空間中的重要抽樣分支隨機(jī)游走并約束隨機(jī)游走的路徑，符號(hào)問題可以部分克服，屬于在可控近似下求解相互作用費(fèi)米子體系的一種方法。

3.4 數(shù)值重正化群

20世紀(jì)70年代初期，Wilson介紹了重正化群的基本概念及以他名字命名的數(shù)值重正化群方法。在Wilson的公式中，短程、高能漲落被逐步整合，以獲得長程、低能下的有效描述。重正化群方法為研究人員提供了用于研究關(guān)聯(lián)/漲落系統(tǒng)的實(shí)用工具，對(duì)二級(jí)相變附近的系統(tǒng)、高能物理學(xué)中基本相互作用的概念性理解、量子電動(dòng)力學(xué)中的點(diǎn)電荷發(fā)散問題、量子色動(dòng)力學(xué)中的漸進(jìn)自由問題等起到了關(guān)鍵作用。1992年，White提出了密度矩陣重正化群方法[20]，利用約化密度矩陣的特征矢在實(shí)空間中的局域性對(duì)希爾伯特空間進(jìn)行降維，通過對(duì)變分優(yōu)化系數(shù)的反復(fù)迭代，能夠有效求解多體波函數(shù)。

如今密度矩陣重正化群已成為研究一維短程關(guān)聯(lián)系統(tǒng)最為精確和系統(tǒng)的方法，在Hubbard、Heisenberg等模型中給出了接近精確解的結(jié)果。此外，密度矩陣重正化方法與量子信息理論之間的緊密聯(lián)系開始發(fā)力于復(fù)雜量子信息理論計(jì)算，本身可以通過對(duì)其內(nèi)在原理的新見解以更集中的方式應(yīng)用。從這個(gè)意義上說，密度重正化方法將處于凝聚態(tài)物理和量子計(jì)算之間日益增長的糾纏的前沿[21]。

密度矩陣重正化群主要處理低維強(qiáng)關(guān)聯(lián)的哈密頓量，而當(dāng)系統(tǒng)的維數(shù)超過一維時(shí)，由于糾纏熵隨系統(tǒng)尺寸增加而增加，所需的計(jì)算資源也將隨系統(tǒng)尺寸指數(shù)增加，使得該方法的應(yīng)用范圍受到了很大限制。解決這個(gè)問題的途徑之一，就是發(fā)展張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的重正化群方法，也簡(jiǎn)稱為張量重正化群方法。2007年，Levin和Nave利用量子信息論的思想發(fā)展了張量重正化群方法，可以有效地求解任意二維經(jīng)典晶格模型，能夠免于符號(hào)問題并適用于具有復(fù)雜權(quán)重的模型[22]。此后，各種基于變分原理的方法，包括對(duì)基態(tài)能的變分優(yōu)化及對(duì)定域張量的“全更新”方法也相繼被發(fā)展起來，用以進(jìn)一步提高計(jì)算精度。需要提到的是，盡管張量重正化群方法仍需發(fā)展與完善，但在二維量子格點(diǎn)及三維經(jīng)典統(tǒng)計(jì)模型的一些案例研究中，該方法已經(jīng)展露出其他方法所不具有的應(yīng)用潛力。例如，與高溫超導(dǎo)電性有關(guān)的二維Hubbard模型，張量重正化群方法對(duì)計(jì)算其最佳變分基態(tài)很有利。對(duì)無序和多體局域化，已有一系列方法用于研究該領(lǐng)域，包括對(duì)能量本征態(tài)全譜的表示[23]，或者對(duì)一維多體局域系統(tǒng)所有本征態(tài)的編碼方法。

3.5 動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法

現(xiàn)如今，尋找適合強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的模型或方法仍舊是凝聚態(tài)物理領(lǐng)域的一個(gè)挑戰(zhàn)。由于現(xiàn)有的數(shù)值方法具有一定的局限性，因此動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法已成為研究人員關(guān)注的對(duì)象。動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法(DMFT)是一種針對(duì)高維強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的數(shù)值方法。該方法基于將固態(tài)物理的完整多體問題映射到量子雜質(zhì)模型，該模型本質(zhì)上是在滿足自洽條件的浴中嵌入少量量子自由度。該方法提供了相關(guān)材料電子結(jié)構(gòu)的最小描述，平等地對(duì)待Hubbard帶和準(zhǔn)粒子帶。1989年，Metzner和Vollhardt運(yùn)用該方法研究了無窮維Hubbard模型中費(fèi)米子間的非平庸相關(guān)性，提出在空間維度d→∞時(shí)，Hubbard模型可以有一個(gè)數(shù)學(xué)上可嚴(yán)格定義的高維極限[24]。

此后，該研究獲得了廣泛關(guān)注，1992年，Kotliar和Georges研究組取得了突破性的成果[25]，他們將無限維的Hubbard模型映射到自洽的單雜質(zhì)Anderson模型上，然后將所得到的局域自能修正代回到原先的晶格模型，最后通過一個(gè)自洽方程的迭代求解來確定單雜質(zhì)Anderson模型中的熱庫參數(shù)。這種映射在無限配位數(shù)的限制下是精確的，且允許人們?cè)谒邢嗷プ饔脧?qiáng)度下非微擾地研究相關(guān)晶格電子動(dòng)力學(xué)。與單粒子理論相反，DMFT的平均場(chǎng)是能量相關(guān)的，即動(dòng)態(tài)的，從而充分考慮了局域量子漲落。

由此，DMFT為研究關(guān)聯(lián)晶格模型提供了一個(gè)新的理論框架。隨后，Anisimov與Poteryaev等人將動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法與電子結(jié)構(gòu)技術(shù)相結(jié)合，做出了突破性進(jìn)展。此外Chitra和Kotliar等人的研究表明動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法也可以表述為精確譜密度泛函理論(SDFT)的近似值[26]。在此之后，該方法被迅速推廣至各類強(qiáng)關(guān)聯(lián)模型，取得了極大的成功[27]。

04 發(fā)展與未來

當(dāng)前，凝聚態(tài)物理中的強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子多體問題仍是極具挑戰(zhàn)的研究領(lǐng)域。電子間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)限制了從第一性原理出發(fā)的解決方案。研究人員一般會(huì)面向具體問題建立一個(gè)描述系統(tǒng)低能電子的模型(例如Hubbard模型)，隨后通過數(shù)值模擬研究系統(tǒng)物性，揭示物理規(guī)律。本節(jié)將就關(guān)聯(lián)量子現(xiàn)象的規(guī)律及機(jī)理中有潛力的研究領(lǐng)域、計(jì)算方法的發(fā)展兩個(gè)方面展望相關(guān)領(lǐng)域的未來。

Ⅰ 關(guān)聯(lián)量子現(xiàn)象的規(guī)律及機(jī)理中有潛力的研究領(lǐng)域

(1)高溫超導(dǎo)及贗能隙。在世紀(jì)之交，諾貝爾獎(jiǎng)獲得者Ginzburg曾被問到物理學(xué)中哪些問題看起來格外重要，在他的回答中，室溫超導(dǎo)名列前茅。對(duì)于高溫超導(dǎo)系統(tǒng)中出現(xiàn)的一系列奇異金屬行為，如線性電阻、電荷—自旋分離等，研究者發(fā)現(xiàn)其與贗能隙緊密聯(lián)系。贗能隙類似帶隙，實(shí)際上是態(tài)密度極低的區(qū)域，其對(duì)高溫超導(dǎo)體的效應(yīng)一直受到廣泛關(guān)注。隨著計(jì)算方法和模擬技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)如今，尋求描述高溫超導(dǎo)的理論模型和研究相應(yīng)的譜函數(shù)包括贗能隙已經(jīng)成為凝聚態(tài)物理中的一個(gè)重要課題。

(2)電子—聲子相互作用。強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中的電子—電子相互作用和電子—聲子相互作用均不可忽視，然而大多數(shù)研究局限于電子—電子相互作用，忽視了電子—聲子相互作用對(duì)超導(dǎo)、電荷密度波等的重要影響[28]。Holstein模型是一個(gè)廣泛研究電子—電子相互作用和電子—聲子相互作用的模型[29]，現(xiàn)如今已經(jīng)有很多方法應(yīng)用于這個(gè)模型的研究：如約束路徑輔助場(chǎng)量子蒙特卡羅方法、精確對(duì)角化、行列式量子蒙特卡羅方法等等。研究該模型及其擴(kuò)展也是一個(gè)很重要的課題。

(3)量子自旋液體的甄別。量子自旋液體被視為自旋系統(tǒng)的“量子無序”基態(tài)，在這些基態(tài)中，零點(diǎn)漲落非常強(qiáng)，以至于傳統(tǒng)的磁長程序不存在。由于具有大量糾纏的基態(tài)，因此量子自旋液體中有相當(dāng)獨(dú)特的物理，如非局域激發(fā)、拓?fù)涞?。目前，很少材料被證實(shí)為量子自旋液體[30]，因此對(duì)自旋模型進(jìn)行計(jì)算模擬以避免實(shí)驗(yàn)上的盲目測(cè)試是極有必要的。

(4)非平衡、非厄米量子系統(tǒng)。現(xiàn)實(shí)中的系統(tǒng)具有復(fù)雜性，往往偏離了熱力學(xué)平衡態(tài)，從而提高研究的難度。現(xiàn)有的理論方法尚不足以應(yīng)對(duì)這類問題，需要發(fā)展新的理論和方法。對(duì)強(qiáng)關(guān)聯(lián)格點(diǎn)模型而言，先前的研究往往關(guān)注封閉的、具有實(shí)數(shù)本征能量的厄米系統(tǒng)，厄米性被視作為研究的核心。然而，真實(shí)的物理系統(tǒng)是開放的，它們與外部環(huán)境進(jìn)行了能量、粒子和信息的交換，這意味著很多物理量不再是守恒量[31]。因此，相較于厄米系統(tǒng)被作為一個(gè)整體，研究者很多時(shí)候?qū)Ψ嵌蛎紫到y(tǒng)的有限子空間更感興趣。在這種情況下，能量可以在特定的量子子系統(tǒng)和它的環(huán)境之間進(jìn)行交換[32]。包括具有增益和損耗的奇偶時(shí)間對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)、耗散的玻色—愛因斯坦凝聚體、激子—極化激子系統(tǒng)和生物網(wǎng)絡(luò)等[33，34]。如今，對(duì)凝聚態(tài)系統(tǒng)的非厄米描述為闡明非彈性碰撞、無序效應(yīng)和系統(tǒng)—環(huán)境耦合提供了有效的框架，而在拓?fù)浣^緣體被發(fā)現(xiàn)后，與凝聚態(tài)物理相關(guān)的拓?fù)湫匝芯恳沧兊迷絹碓街匾猍35]。

Ⅱ 計(jì)算方法的改進(jìn)與發(fā)展

(5)克服量子多體系統(tǒng)的指數(shù)墻問題。在量子多體系統(tǒng)研究中，隨著粒子數(shù)/系統(tǒng)尺度的增加，系統(tǒng)的希爾伯特空間維度將呈指數(shù)發(fā)散，復(fù)雜性也指數(shù)型增加，以當(dāng)今計(jì)算機(jī)的性能還不足以完全解決。這為描述量子多體波函數(shù)或計(jì)算相關(guān)物理量帶來了極大困難，被諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)得主Kohn稱為“指數(shù)墻”。幾十年來，研究人員為解決這一難題做出了大量努力，如密度矩陣重正化群方法應(yīng)用于針對(duì)低維強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)、量子蒙特卡羅方法等。然而，目前還沒有一種能夠解決所有問題的方法。

(6)改善量子蒙特卡羅方法中的負(fù)符號(hào)問題。在過去的幾十年里，量子蒙特卡羅方法作為解決各個(gè)學(xué)科難題的有效工具，在化學(xué)、凝聚態(tài)物理、核物理等領(lǐng)域中起到了舉足輕重的作用。然而，當(dāng)重要性采樣中特定量子配置的概率變?yōu)樨?fù)時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)符號(hào)問題，極大地限制了該方法的應(yīng)用。一方面來說，減輕甚或解決符號(hào)問題是計(jì)算凝聚態(tài)物理的核心課題之一；另一方面，Mondaini等人討論了行列式量子蒙特卡羅方法中的符號(hào)問題與量子臨界行為的關(guān)系[36]，使得相關(guān)研究更具挑戰(zhàn)性。

(7)張量重正化群方法的發(fā)展和完善?，F(xiàn)如今，蒙特卡羅方法已被證明是一種成功的非微擾數(shù)值方法。然而，符號(hào)問題的存在使得該方法的使用受到了限制。2007年，Levin和Nave提出張量重正化群方法，通過使用奇異值分解近似計(jì)算張量網(wǎng)絡(luò)的收縮，能夠免于符號(hào)問題并適用于具有復(fù)雜權(quán)重的模型。張量重正化群具有其他方法所不具有的應(yīng)用潛力，是富有潛力的研究方向。而一系列問題，張量維數(shù)增加時(shí)的精度問題、非線性導(dǎo)致的變分優(yōu)化的穩(wěn)定性問題、精確計(jì)算非厄米轉(zhuǎn)移矩陣本征值等問題表明該方法仍有很大的進(jìn)步空間，為相關(guān)領(lǐng)域提出了新的研究思路。

(8)發(fā)展并推廣動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法。動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)經(jīng)過30年發(fā)展，如今需要新的創(chuàng)新帶來突破。一方面，不斷有研究嘗試將動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論推廣至非平衡系統(tǒng)，如通過映射到自洽雜質(zhì)問題降低計(jì)算的復(fù)雜性[37]，取得了一定進(jìn)展，但缺乏長時(shí)間演化下可靠的雜質(zhì)求解器仍然限制了該方法的發(fā)展。另一方面，對(duì)無經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子結(jié)構(gòu)的研究，通常采用線性判別降維算法和動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法相結(jié)合，而由于該方法需要提前設(shè)置部分經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，并不能完全滿足研究的需求。

(9)計(jì)算物理需要進(jìn)一步發(fā)展算法和開發(fā)軟件，這是一個(gè)長期且龐大的工程，需要足夠的人力和物力投入。隨著高性能計(jì)算機(jī)的發(fā)展，開發(fā)并擁有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的軟件對(duì)于科學(xué)技術(shù)與物質(zhì)模擬變得越來越重要，無論對(duì)國家、學(xué)界和個(gè)人都是如此。計(jì)算凝聚態(tài)物理領(lǐng)域中，計(jì)算軟件具有較高的開發(fā)商業(yè)化程度，在材料設(shè)計(jì)方面發(fā)揮了重要作用。其中第一性原理電子結(jié)構(gòu)計(jì)算程序開發(fā)及其在材料設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用是一個(gè)重要的研究方向，基于密度泛函理論(DFT)發(fā)展的計(jì)算軟件，如VASP、WIEN2K、CASTEP、QE等軟件包的開發(fā)降低了第一性原理方法的使用難度，也促進(jìn)了相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展。當(dāng)前，歐洲是第一性原理軟件發(fā)展最活躍的地區(qū)，美國、日本也有較強(qiáng)的研究實(shí)力。我國在發(fā)展軟件方面起步晚、投入少，對(duì)軟件的開發(fā)和商業(yè)化不足，迄今仍然難以擺脫對(duì)國外軟件產(chǎn)品的依賴。要改變這種現(xiàn)狀，必須加強(qiáng)計(jì)算物理方法和軟件人才的培養(yǎng)，重視并大力支持軟件的商業(yè)開發(fā)研究。

(10)機(jī)器學(xué)習(xí)方法應(yīng)用于量子多體系統(tǒng)。隨著人工智能和大數(shù)據(jù)處理的發(fā)展，機(jī)器學(xué)習(xí)方法在物理學(xué)多個(gè)領(lǐng)域以及各類交叉學(xué)科中開始有了廣泛的應(yīng)用，對(duì)計(jì)算凝聚態(tài)物理產(chǎn)生了重要的影響。隨著機(jī)器學(xué)習(xí)方法的介入，計(jì)算物理領(lǐng)域全新的方法論正在逐步形成[8]。例如，可以使用深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)判斷和刻畫相變、表征量子多體波函數(shù)；在張量重正化群中運(yùn)用自動(dòng)微分技術(shù)；通過機(jī)器學(xué)習(xí)提高蒙特卡羅更新效率等。我們期待機(jī)器學(xué)習(xí)方法能夠?yàn)閺?qiáng)關(guān)聯(lián)電子領(lǐng)域提供新的研究視角和思路。

05 結(jié)論

計(jì)算物理是以計(jì)算機(jī)為工具，以計(jì)算方法和軟件為手段研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)及規(guī)律的學(xué)科。作為近20年來發(fā)展最為迅速的領(lǐng)域之一，計(jì)算物理從量子力學(xué)出發(fā)，能夠在原子層級(jí)上設(shè)計(jì)和確定具有不同功能、結(jié)構(gòu)與組分的材料體系，為解釋諸多物理現(xiàn)象提供有力的研究手段。在出現(xiàn)伊始，計(jì)算物理主要用于研究物質(zhì)狀態(tài)方程和非線性動(dòng)力學(xué)問題等。隨著計(jì)算機(jī)能力的增強(qiáng)，計(jì)算物理的研究范圍也越來越廣，不僅解決了諸多解析理論無法解決的問題，將理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有機(jī)結(jié)合，更做到了預(yù)測(cè)新的物理現(xiàn)象、物理效應(yīng)、物理規(guī)律和新材料等。隨著凝聚態(tài)領(lǐng)域研究的不斷深入，材料的結(jié)構(gòu)與物性越發(fā)豐富，研究重點(diǎn)向非線性問題、隨機(jī)環(huán)境與非解析解轉(zhuǎn)移，而計(jì)算物理由于能根據(jù)已有的理論框架或模型、解決傳統(tǒng)解析研究無法解決的問題，受到了廣泛的關(guān)注與期待，也面臨著困難與挑戰(zhàn)。在面臨電子強(qiáng)關(guān)聯(lián)和量子漲落大的前提下，發(fā)展新的理論與計(jì)算方法是迫切而必要的。

當(dāng)前，面對(duì)強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系，精確對(duì)角化、數(shù)值重正化群、量子蒙特卡羅模擬和動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法是4種較為常用的方法。每種方法各有優(yōu)劣，在面向不同適用范圍的同時(shí)具有相應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)和局限性。這些方法并不能滿足研究人員對(duì)于計(jì)算精度和可計(jì)算建模等方面的需求，諸如指數(shù)墻問題、量子蒙特卡羅中負(fù)符號(hào)問題等問題的存在說明現(xiàn)有計(jì)算方法仍有很大的改進(jìn)和發(fā)展空間。此外，關(guān)聯(lián)量子現(xiàn)象的規(guī)律及機(jī)理如高溫超導(dǎo)機(jī)理、量子自旋液體態(tài)、非厄米量子系統(tǒng)等問題仍然是廣大研究者關(guān)注的課題，這些課題的研究以及解決都和計(jì)算物理的發(fā)展息息相關(guān)。

審核編輯：劉清