傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)

傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式經(jīng)因式分解后可寫為如下形式：

Zi是分子多項(xiàng)式零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)零點(diǎn)，Pj是分母多項(xiàng)式零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)極點(diǎn)。系數(shù)K*=b0/a0稱為傳遞函數(shù)系數(shù)或根軌跡增益。

比較傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式:

可知，根軌跡增益是分子和分母代數(shù)方程中最高階項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)比值；

在復(fù)數(shù)平面上表示傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的圖形，稱為傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖。在圖中一般用O表示零點(diǎn)，用X表示極點(diǎn)；通過研究零極點(diǎn)分布圖可以分析任意參數(shù)變化所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)性能指標(biāo)。

傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式經(jīng)因式分解后也可以寫為如下因式連乘積形式：

上式中，一次因子對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)零極點(diǎn)，二次因子對(duì)應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)零極點(diǎn)，τ和T為時(shí)間常數(shù)，ζ為阻尼比。

定義傳遞函數(shù)系數(shù)K為：

可知，分子分母分解為時(shí)間常數(shù)形式，增益是分子和分母代數(shù)方程中零階項(xiàng)對(duì)應(yīng)的比值；

這里注意到，二次因子對(duì)應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)零極點(diǎn)的時(shí)間常數(shù)形式，與彈簧和RLC系統(tǒng)獲得二階微分方程很相似：

把彈簧阻尼系統(tǒng)的二階微分方程改寫為如下形式：

可知：

二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式中，時(shí)間τ與質(zhì)量M呈現(xiàn)正相關(guān)性，質(zhì)量M越大時(shí)間常數(shù)越大。從慣性原理的角度考慮，質(zhì)量越大，慣性越大，物體運(yùn)動(dòng)加速度越小，震蕩頻率越低，時(shí)間常數(shù)就越大；

阻尼比ζ與阻尼系數(shù)f呈現(xiàn)正相關(guān)性，阻尼系數(shù)越大，阻尼比ζ越大。

阻尼比ζ與質(zhì)量M呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)性，當(dāng)f一定時(shí)，質(zhì)量M越大，阻尼比ζ越小。這個(gè)關(guān)系可以從慣性的角度理解，質(zhì)量M大，說明慣性大，對(duì)于同樣大小的彈簧阻尼系數(shù)f，慣性越大的物體，在相等的時(shí)間內(nèi)，使其由運(yùn)動(dòng)到停止所需要的彈簧阻尼系數(shù)f應(yīng)該更大，即阻尼比ζ應(yīng)該更大，而當(dāng)彈簧阻尼系數(shù)f不變的情況下，慣性越大的物體由運(yùn)動(dòng)到停止所需要的時(shí)間更長(zhǎng)，等效為阻尼比ζ相對(duì)于更大質(zhì)量M來說產(chǎn)生的使物體從運(yùn)動(dòng)到停止的單位時(shí)間相對(duì)阻力更小。

傳遞函數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響：

傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是微分方程的特征根，因此它們決定了所描述系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)。

設(shè)某系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

可知，極點(diǎn)p1=-1,p2=-2,零點(diǎn)z1=-3.

自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)為e-t和e-2t。當(dāng)輸入r(t)=r1+r2e-5t時(shí)，可求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：

第一項(xiàng)輸出值為：

第二項(xiàng)輸出值為：

把兩個(gè)輸出值進(jìn)行疊加獲得兩個(gè)輸入量的輸出響應(yīng)：

上式中前一項(xiàng)包含了輸入量的模態(tài)，后一項(xiàng)包含了極點(diǎn)-1和-2產(chǎn)生的自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)；

兩個(gè)不同的輸入函數(shù)都形成了自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)，說明自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)是系統(tǒng)固有的成分，與輸入函數(shù)形式無關(guān)；但是，如果沒有輸入量，也就不會(huì)產(chǎn)生自由模態(tài)，因此，可以認(rèn)為自由模態(tài)是由輸入函數(shù)激發(fā)而形成的。

傳遞函數(shù)的零點(diǎn)不形成自由模態(tài)，但影響著各個(gè)自由模態(tài)在輸出響應(yīng)中的模態(tài)系數(shù)。

設(shè)兩個(gè)極點(diǎn)相同零點(diǎn)不同的傳遞函數(shù)：

極點(diǎn)都是-1，-2，零點(diǎn)分別為-0.5和-1.33.

求傳遞函數(shù)的單位階躍響應(yīng)：

上式說明，兩個(gè)不同零點(diǎn)的系統(tǒng)，相同的自由模態(tài)對(duì)應(yīng)的模態(tài)系數(shù)不相同。

在極點(diǎn)相同情況下，零點(diǎn)接近原點(diǎn)且距離兩個(gè)極點(diǎn)的距離都比較遠(yuǎn)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)模態(tài)的系數(shù)大，反之，零點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)且距離兩個(gè)極點(diǎn)距離較近，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)模態(tài)的系數(shù)??；

上圖為兩個(gè)輸出響應(yīng)曲線

極點(diǎn)靠近原點(diǎn)，自由模態(tài)衰減慢，極點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，自由模態(tài)衰減快；當(dāng)零點(diǎn)位于兩個(gè)極點(diǎn)之間時(shí)，運(yùn)動(dòng)模態(tài)系數(shù)符號(hào)都為負(fù)，系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生過沖。

當(dāng)零點(diǎn)位于兩個(gè)極點(diǎn)右側(cè)時(shí)，靠近零點(diǎn)的自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)系數(shù)為正，由于極點(diǎn)靠近原點(diǎn)，衰減速度慢，所以在曲線上表現(xiàn)為過沖衰減。