排序算法是《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法》中最基本的算法之一。

排序算法可以分為內(nèi)部排序和外部排序，內(nèi)部排序是數(shù)據(jù)記錄在內(nèi)存中進(jìn)行排序，而外部排序是因排序的數(shù)據(jù)很大，一次不能容納全部的排序記錄，在排序過程中需要訪問外存。常見的內(nèi)部排序算法有：插入排序、希爾排序、選擇排序、冒泡排序、歸并排序、快速排序、堆排序、基數(shù)排序等。用一張圖概括：

關(guān)于時間復(fù)雜度

1. 平方階 (O(n2)) 排序 各類簡單排序：直接插入、直接選擇和冒泡排序。
2. 線性對數(shù)階 (O(nlog2n)) 排序 快速排序、堆排序和歸并排序；
3. O(n1+§)) 排序，§ 是介于 0 和 1 之間的常數(shù)。希爾排序
4. 線性階 (O(n)) 排序 基數(shù)排序，此外還有桶、箱排序。

關(guān)于穩(wěn)定性

• 排序后 2 個相等鍵值的順序和排序之前它們的順序相同
• 穩(wěn)定的排序算法：冒泡排序、插入排序、歸并排序和基數(shù)排序。
• 不是穩(wěn)定的排序算法：選擇排序、快速排序、希爾排序、堆排序。

名詞解釋

• n：數(shù)據(jù)規(guī)模
• k：“桶”的個數(shù)
• In-place：占用常數(shù)內(nèi)存，不占用額外內(nèi)存
• Out-place：占用額外內(nèi)存

1、冒泡排序

冒泡排序（Bubble Sort）也是一種簡單直觀的排序算法。它重復(fù)地走訪過要排序的數(shù)列，一次比較兩個元素，如果他們的順序錯誤就把他們交換過來。走訪數(shù)列的工作是重復(fù)地進(jìn)行直到?jīng)]有再需要交換，也就是說該數(shù)列已經(jīng)排序完成。這個算法的名字由來是因為越小的元素會經(jīng)由交換慢慢“浮”到數(shù)列的頂端。

作為最簡單的排序算法之一，冒泡排序給我的感覺就像 Abandon 在單詞書里出現(xiàn)的感覺一樣，每次都在第一頁第一位，所以最熟悉。冒泡排序還有一種優(yōu)化算法，就是立一個 flag，當(dāng)在一趟序列遍歷中元素沒有發(fā)生交換，則證明該序列已經(jīng)有序。但這種改進(jìn)對于提升性能來說并沒有什么太大作用。

（1）算法步驟

1. 比較相鄰的元素。如果第一個比第二個大，就交換他們兩個。
2. 對每一對相鄰元素作同樣的工作，從開始第一對到結(jié)尾的最后一對。這步做完后，最后的元素會是最大的數(shù)。
3. 針對所有的元素重復(fù)以上的步驟，除了最后一個。
4. 持續(xù)每次對越來越少的元素重復(fù)上面的步驟，直到?jīng)]有任何一對數(shù)字需要比較。

（2）動圖演示

（3）Python 代碼

defbubbleSort(arr):
foriinrange(1,len(arr)):
forjinrange(0,len(arr)-i):
ifarr[j]>arr[j+1]:
arr[j],arr[j+1]=arr[j+1],arr[j]
returnarr

2、選擇排序

選擇排序是一種簡單直觀的排序算法，無論什么數(shù)據(jù)進(jìn)去都是 O(n2) 的時間復(fù)雜度。所以用到它的時候，數(shù)據(jù)規(guī)模越小越好。唯一的好處可能就是不占用額外的內(nèi)存空間了吧。

（1）算法步驟

1. 首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置
2. 再從剩余未排序元素中繼續(xù)尋找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。
3. 重復(fù)第二步，直到所有元素均排序完畢。

（2）動圖演示

（3）Python 代碼

defselectionSort(arr):
foriinrange(len(arr)-1):
#記錄最小數(shù)的索引
minIndex=i
forjinrange(i+1,len(arr)):
ifarr[j]#i不是最小數(shù)時，將i和最小數(shù)進(jìn)行交換
ifi!=minIndex:
arr[i],arr[minIndex]=arr[minIndex],arr[i]
returnarr

3、插入排序

插入排序的代碼實現(xiàn)雖然沒有冒泡排序和選擇排序那么簡單粗暴，但它的原理應(yīng)該是最容易理解的了，因為只要打過撲克牌的人都應(yīng)該能夠秒懂。插入排序是一種最簡單直觀的排序算法，它的工作原理是通過構(gòu)建有序序列，對于未排序數(shù)據(jù)，在已排序序列中從后向前掃描，找到相應(yīng)位置并插入。

插入排序和冒泡排序一樣，也有一種優(yōu)化算法，叫做拆半插入。

（1）算法步驟

1. 將第一待排序序列第一個元素看做一個有序序列，把第二個元素到最后一個元素當(dāng)成是未排序序列。

2. 從頭到尾依次掃描未排序序列，將掃描到的每個元素插入有序序列的適當(dāng)位置。（如果待插入的元素與有序序列中的某個元素相等，則將待插入元素插入到相等元素的后面。）

（2）動圖演示

（3）Python 代碼

definsertionSort(arr):
foriinrange(len(arr)):
preIndex=i-1
current=arr[i]
whilepreIndex>=0andarr[preIndex]>current:
arr[preIndex+1]=arr[preIndex]
preIndex-=1
arr[preIndex+1]=current
returnarr

4、希爾排序

希爾排序，也稱遞減增量排序算法，是插入排序的一種更高效的改進(jìn)版本。但希爾排序是非穩(wěn)定排序算法。

希爾排序是基于插入排序的以下兩點性質(zhì)而提出改進(jìn)方法的：

• 插入排序在對幾乎已經(jīng)排好序的數(shù)據(jù)操作時，效率高，即可以達(dá)到線性排序的效率；
• 但插入排序一般來說是低效的，因為插入排序每次只能將數(shù)據(jù)移動一位；

希爾排序的基本思想是：先將整個待排序的記錄序列分割成為若干子序列分別進(jìn)行直接插入排序，待整個序列中的記錄“基本有序”時，再對全體記錄進(jìn)行依次直接插入排序。

（1）算法步驟

1. 選擇一個增量序列 t1，t2，……，tk，其中 ti > tj, tk = 1；
2. 按增量序列個數(shù) k，對序列進(jìn)行 k 趟排序；
3. 每趟排序，根據(jù)對應(yīng)的增量 ti，將待排序列分割成若干長度為 m 的子序列，分別對各子表進(jìn)行直接插入排序。僅增量因子為 1 時，整個序列作為一個表來處理，表長度即為整個序列的長度。

（2）Python 代碼

defshellSort(arr):
importmath
gap=1
while(gap3):
gap=gap*3+1
whilegap>0:
foriinrange(gap,len(arr)):
temp=arr[i]
j=i-gap
whilej>=0andarr[j]>temp:
arr[j+gap]=arr[j]
j-=gap
arr[j+gap]=temp
gap=math.floor(gap/3)
returnarr

5、歸并排序

歸并排序（Merge sort）是建立在歸并操作上的一種有效的排序算法。該算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一個非常典型的應(yīng)用。

作為一種典型的分而治之思想的算法應(yīng)用，歸并排序的實現(xiàn)由兩種方法：

• 自上而下的遞歸（所有遞歸的方法都可以用迭代重寫，所以就有了第 2 種方法）；
• 自下而上的迭代；

和選擇排序一樣，歸并排序的性能不受輸入數(shù)據(jù)的影響，但表現(xiàn)比選擇排序好的多，因為始終都是 O(nlogn) 的時間復(fù)雜度。代價是需要額外的內(nèi)存空間。

（1）算法步驟

1. 申請空間，使其大小為兩個已經(jīng)排序序列之和，該空間用來存放合并后的序列；

2. 設(shè)定兩個指針，最初位置分別為兩個已經(jīng)排序序列的起始位置；

3. 比較兩個指針?biāo)赶虻脑兀x擇相對小的元素放入到合并空間，并移動指針到下一位置；

4. 重復(fù)步驟 3 直到某一指針達(dá)到序列尾；

5. 將另一序列剩下的所有元素直接復(fù)制到合并序列尾。

（2）動圖演示

（3）Python 代碼

defmergeSort(arr):
importmath
if(len(arr)<2):
returnarr
middle=math.floor(len(arr)/2)
left,right=arr[0:middle],arr[middle:]
returnmerge(mergeSort(left),mergeSort(right))

defmerge(left,right):
result=[]
whileleftandright:
ifleft[0]<=?right[0]:
result.append(left.pop(0));
else:
result.append(right.pop(0));
whileleft:
result.append(left.pop(0));
whileright:
result.append(right.pop(0));
returnresult

6、快速排序

快速排序是由東尼·霍爾所發(fā)展的一種排序算法。在平均狀況下，排序 n 個項目要 Ο(nlogn) 次比較。在最壞狀況下則需要 Ο(n2) 次比較，但這種狀況并不常見。事實上，快速排序通常明顯比其他 Ο(nlogn) 算法更快，因為它的內(nèi)部循環(huán)（inner loop）可以在大部分的架構(gòu)上很有效率地被實現(xiàn)出來。

快速排序使用分治法（Divide and conquer）策略來把一個串行（list）分為兩個子串行（sub-lists）。

快速排序又是一種分而治之思想在排序算法上的典型應(yīng)用。本質(zhì)上來看，快速排序應(yīng)該算是在冒泡排序基礎(chǔ)上的遞歸分治法。

快速排序的名字起的是簡單粗暴，因為一聽到這個名字你就知道它存在的意義，就是快，而且效率高！它是處理大數(shù)據(jù)最快的排序算法之一了。雖然 Worst Case 的時間復(fù)雜度達(dá)到了 O(n2)，但是人家就是優(yōu)秀，在大多數(shù)情況下都比平均時間復(fù)雜度為 O(n logn) 的排序算法表現(xiàn)要更好，可是這是為什么呢，我也不知道。好在我的強迫癥又犯了，查了 N 多資料終于在《算法藝術(shù)與信息學(xué)競賽》上找到了滿意的答案：

快速排序的最壞運行情況是 O(n2)，比如說順序數(shù)列的快排。但它的平攤期望時間是 O(nlogn)，且 O(nlogn) 記號中隱含的常數(shù)因子很小，比復(fù)雜度穩(wěn)定等于 O(nlogn) 的歸并排序要小很多。所以，對絕大多數(shù)順序性較弱的隨機數(shù)列而言，快速排序總是優(yōu)于歸并排序。

（1）算法步驟

① 從數(shù)列中挑出一個元素，稱為 “基準(zhǔn)”（pivot）;

② 重新排序數(shù)列，所有元素比基準(zhǔn)值小的擺放在基準(zhǔn)前面，所有元素比基準(zhǔn)值大的擺在基準(zhǔn)的后面（相同的數(shù)可以到任一邊）。在這個分區(qū)退出之后，該基準(zhǔn)就處于數(shù)列的中間位置。這個稱為分區(qū)（partition）操作；

③ 遞歸地（recursive）把小于基準(zhǔn)值元素的子數(shù)列和大于基準(zhǔn)值元素的子數(shù)列排序；

遞歸的最底部情形，是數(shù)列的大小是零或一，也就是永遠(yuǎn)都已經(jīng)被排序好了。雖然一直遞歸下去，但是這個算法總會退出，因為在每次的迭代（iteration）中，它至少會把一個元素擺到它最后的位置去。

（2）動圖演示

（3）Python 代碼

defquickSort(arr,left=None,right=None):
left=0ifnotisinstance(left,(int,float))elseleft
right=len(arr)-1ifnotisinstance(right,(int,float))elseright
ifleft-1)
quickSort(arr,partitionIndex+1,right)
returnarr

defpartition(arr,left,right):
pivot=left
index=pivot+1
i=index
whilei<=?right:
????????ifarr[i]1
i+=1
swap(arr,pivot,index-1)
returnindex-1

defswap(arr,i,j):
arr[i],arr[j]=arr[j],arr[i]

7、堆排序

堆排序（Heapsort）是指利用堆這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所設(shè)計的一種排序算法。堆積是一個近似完全二叉樹的結(jié)構(gòu)，并同時滿足堆積的性質(zhì)：即子結(jié)點的鍵值或索引總是小于（或者大于）它的父節(jié)點。堆排序可以說是一種利用堆的概念來排序的選擇排序。分為兩種方法：

1. 大頂堆：每個節(jié)點的值都大于或等于其子節(jié)點的值，在堆排序算法中用于升序排列；
2. 小頂堆：每個節(jié)點的值都小于或等于其子節(jié)點的值，在堆排序算法中用于降序排列；

堆排序的平均時間復(fù)雜度為 Ο(nlogn)。

（1）算法步驟

1. 創(chuàng)建一個堆 H[0……n-1]；
2. 把堆首（最大值）和堆尾互換；
3. 把堆的尺寸縮小 1，并調(diào)用 shift_down(0)，目的是把新的數(shù)組頂端數(shù)據(jù)調(diào)整到相應(yīng)位置；
4. 重復(fù)步驟 2，直到堆的尺寸為 1。

（2）動圖演示

（3）Python 代碼

defbuildMaxHeap(arr):
importmath
foriinrange(math.floor(len(arr)/2),-1,-1):
heapify(arr,i)

defheapify(arr,i):
left=2*i+1
right=2*i+2
largest=i
ifleftandarr[left]>arr[largest]:
largest=left
ifrightandarr[right]>arr[largest]:
largest=right

iflargest!=i:
swap(arr,i,largest)
heapify(arr,largest)

defswap(arr,i,j):
arr[i],arr[j]=arr[j],arr[i]

defheapSort(arr):
globalarrLen
arrLen=len(arr)
buildMaxHeap(arr)
foriinrange(len(arr)-1,0,-1):
swap(arr,0,i)
arrLen-=1
heapify(arr,0)
returnarr

8、計數(shù)排序

計數(shù)排序的核心在于將輸入的數(shù)據(jù)值轉(zhuǎn)化為鍵存儲在額外開辟的數(shù)組空間中。作為一種線性時間復(fù)雜度的排序，計數(shù)排序要求輸入的數(shù)據(jù)必須是有確定范圍的整數(shù)。

（1）動圖演示

（2）Python 代碼

defcountingSort(arr,maxValue):
bucketLen=maxValue+1
bucket=[0]*bucketLen
sortedIndex=0
arrLen=len(arr)
foriinrange(arrLen):
ifnotbucket[arr[i]]:
bucket[arr[i]]=0
bucket[arr[i]]+=1
forjinrange(bucketLen):
whilebucket[j]>0:
arr[sortedIndex]=j
sortedIndex+=1
bucket[j]-=1
returnarr

9、桶排序

桶排序是計數(shù)排序的升級版。它利用了函數(shù)的映射關(guān)系，高效與否的關(guān)鍵就在于這個映射函數(shù)的確定。為了使桶排序更加高效，我們需要做到這兩點：

1. 在額外空間充足的情況下，盡量增大桶的數(shù)量
2. 使用的映射函數(shù)能夠?qū)⑤斎氲?N 個數(shù)據(jù)均勻的分配到 K 個桶中

同時，對于桶中元素的排序，選擇何種比較排序算法對于性能的影響至關(guān)重要。

什么時候最快

當(dāng)輸入的數(shù)據(jù)可以均勻的分配到每一個桶中。

什么時候最慢

當(dāng)輸入的數(shù)據(jù)被分配到了同一個桶中。

Python 代碼

defbucket_sort(s):
"""桶排序"""
min_num=min(s)
max_num=max(s)
#桶的大小
bucket_range=(max_num-min_num)/len(s)
#桶數(shù)組
count_list=[[]foriinrange(len(s)+1)]
#向桶數(shù)組填數(shù)
foriins:
count_list[int((i-min_num)//bucket_range)].append(i)
s.clear()
#回填，這里桶內(nèi)部排序直接調(diào)用了sorted
foriincount_list:
forjinsorted(i):
s.append(j)

if__name__==__main__:
a=[3.2,6,8,4,2,6,7,3]
bucket_sort(a)
print(a)#[2,3,3.2,4,6,6,7,8]

10、基數(shù)排序

基數(shù)排序是一種非比較型整數(shù)排序算法，其原理是將整數(shù)按位數(shù)切割成不同的數(shù)字，然后按每個位數(shù)分別比較。由于整數(shù)也可以表達(dá)字符串（比如名字或日期）和特定格式的浮點數(shù)，所以基數(shù)排序也不是只能使用于整數(shù)。

基數(shù)排序 vs 計數(shù)排序 vs 桶排序

基數(shù)排序有兩種方法：

這三種排序算法都利用了桶的概念，但對桶的使用方法上有明顯差異：

• 基數(shù)排序：根據(jù)鍵值的每位數(shù)字來分配桶；
• 計數(shù)排序：每個桶只存儲單一鍵值；
• 桶排序：每個桶存儲一定范圍的數(shù)值；

動圖演示

Python 代碼

defRadixSort(list):
i=0#初始為個位排序
n=1#最小的位數(shù)置為1（包含0）
max_num=max(list)#得到帶排序數(shù)組中最大數(shù)
whilemax_num>10**n:#得到最大數(shù)是幾位數(shù)
n+=1
whilei#用字典構(gòu)建桶
forxinrange(10):
bucket.setdefault(x,[])#將每個桶置空
forxinlist:#對每一位進(jìn)行排序
radix=int((x/(10**i))%10)#得到每位的基數(shù)
bucket[radix].append(x)#將對應(yīng)的數(shù)組元素加入到相#應(yīng)位基數(shù)的桶中
j=0
forkinrange(10):
iflen(bucket[k])!=0:#若桶不為空
foryinbucket[k]:#將該桶中每個元素
list[j]=y#放回到數(shù)組中
j+=1
i+=1
returnlist