一、前言

??今天想到一個(gè)問題， 這里有兩個(gè)都帶有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)的信號。它們都位于 0,1 之間。?第一個(gè)信號是從 0 開始往1前進(jìn)， 每前進(jìn)剩余路程的一半，幅值降低一半。?第二個(gè)信號是從 0 往 1 前進(jìn)， 每次都前進(jìn)剩余路程的一半。在前進(jìn)的路程中出現(xiàn)一個(gè)寬度為路程長度一半的矩形脈沖信號。?根據(jù)傅里葉變換， 這兩個(gè)信號都不滿足 Dirichlet 條件。那么他們傅里葉變換是什么呢？

▲ 圖1.1.1 第一種間斷點(diǎn)函數(shù)

▲ 圖1.1.2 第二種間斷點(diǎn)信號

二、信號1頻譜

1、頻譜推導(dǎo)

??首先求取第一個(gè)型號的頻譜。?這是它的數(shù)學(xué)表達(dá)式，?對于級數(shù)中每一項(xiàng)，??它都表示一個(gè)矩形脈沖，?高度為 2 的 負(fù) n 次方，?起始點(diǎn)為 1 減去 2 的負(fù) n 次方，?終點(diǎn)為 1 減去 2 的負(fù) n 加 1 次方。??寬度為 2 的 負(fù) n 加 1 次方。??寫出該脈沖信號的頻譜。?請注意， 該信號的中心應(yīng)該位于 1 減去3 倍的 2 的 負(fù)n 減1次方。?

▲ 圖1.2.1 級數(shù)每一項(xiàng)對應(yīng)的傅里葉變換

??對于原信號的頻譜， ??就是需要將級數(shù)每一項(xiàng)的頻譜都加起來，?這樣便得到信號的頻譜了。??

??下面是整理后的頻譜公式：

▲ 圖1.2.2 信號的傅里葉級數(shù)分解公式

▲ 圖2.2 第一個(gè)型號的幅度譜

2、驗(yàn)證公式

??這是最終推導(dǎo)出來的信號頻譜公式， 這也是一個(gè)級數(shù)。?下面通過離散傅里葉變換來驗(yàn)證一下這個(gè)公式。

?這是通過 Python 編程， 取正負(fù) 10000 之間的頻頻， 采用 10 萬個(gè)頻譜數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)行反變換。?計(jì)算頻譜級數(shù)取 100 級。?這是計(jì)算出來的信號波形?？梢钥吹剿c給定的信號是一致的。?在 0 點(diǎn)有一個(gè)過沖， ?其余其它間斷點(diǎn)都有過沖。?據(jù)此，不僅驗(yàn)證了這個(gè)公式的有效性， 而且還可以大致推斷出該公式應(yīng)該是收斂的。

▲ 圖1.2.3 第一個(gè)信號IFFT的結(jié)果

三、信號2頻譜

1、頻譜推導(dǎo)

??對于第二個(gè)信號， ?它表述成無窮級數(shù)的形式，?其中每一項(xiàng)信號?對應(yīng)的高度都是1，?只是他們的寬度和位置不同。??這里給出了信號所在的區(qū)域的起始位置和其中脈沖的起始和結(jié)束位置。??每一個(gè) 脈沖的頻譜對應(yīng)的sinc 函數(shù)。將它們疊加起來形成整個(gè)信號的頻譜。

▲ 圖1.3.1 單個(gè)脈沖的頻譜推導(dǎo)

??下面是推導(dǎo)之后的信號波形：

▲ 第二個(gè)信號的幅度譜

2、驗(yàn)證公式

??為了驗(yàn)證這個(gè)公式的正確性， 依然通過Python編程， 使用離散傅里葉反變換獲得它對應(yīng)的波形。?取 正負(fù) 10000之內(nèi)的頻譜， 采樣 10 萬個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)， ?進(jìn)行傅里葉反變換最終得到信號的是不波形， 這個(gè)結(jié)果初步驗(yàn)證了公式的正確性。?關(guān)于這個(gè)信號誤差的收斂性，以后再進(jìn)行仿真驗(yàn)證。?左邊是原始信號波形， 右邊是利用有限頻譜合成的信號波形。

▲ 圖1.3.2 使用有限帶寬獲得信號的近似波形

??本文對于兩個(gè)具有無線間斷點(diǎn)信號的頻譜進(jìn)行了推導(dǎo)，?它們都是無限級數(shù)形式，??并使用 離散傅里葉變換進(jìn)行數(shù)值求解，?通過仿真波形驗(yàn)證了頻譜公式的正確性。?關(guān)于它們頻譜的收斂性， 以后再進(jìn)行討論。

▲ 圖2.1 信號波形及其頻譜

審核編輯：劉清