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為什么復(fù)數(shù)不能夠排序?

QuTG_CloudBrain ? 來源:云腦智庫 ? 2023-04-18 10:46 ? 次閱讀
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一、前言

在任何一本講解復(fù)變的教科書中,都會提到“復(fù)數(shù)”不像實數(shù)那樣能夠排序。頭一次聽說是,都會感到一頭霧水。心想我們是可以找到一種排序的方法, 將復(fù)數(shù)安排的明明白白的。?比如可以先按照復(fù)數(shù)的實部排序, ?如果實部相同, 則接著按照虛部排序。?比如 Python 中的復(fù)數(shù)排序命名, 就是按照這個方式實現(xiàn)的。?實際上,也可以先按照復(fù)數(shù)的模進(jìn)行排序, 接著在按照相角進(jìn)行排序。?

但數(shù)學(xué)中所講到的排序, 是指在一定“數(shù)域”內(nèi)的排序,?也就是在滿足元素之間特定操作之后排序不能夠產(chǎn)生矛盾。?在復(fù)數(shù)中定義了加法、乘法等操作。?所定義的排序還應(yīng)在這些操作下不產(chǎn)生矛盾。

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▲ 圖1.1.1 復(fù)數(shù)排序

二、排序矛盾

數(shù)學(xué)上,對于復(fù)數(shù)排序的定義需要滿足以下性質(zhì)。?

1、當(dāng) a b 屬于復(fù)數(shù),?那么它們之間的排序必須屬于這三種情況之一。

2、當(dāng) a 小于 b時,?它們都加上任意一個數(shù)字,結(jié)果的順序仍然保持。?

3、當(dāng) a 小于 b 時, c 是大于 0 的數(shù)字。?它們同時乘以 c, 結(jié)果的順序仍然保持。?

4、最后一個性質(zhì),則是任何排序方法都必須滿足的相容性。如果 a 小于 b, b 小于 c。?那么 a 小于 c。?

下面按照這四個性質(zhì)來證明復(fù)數(shù)無法排序。???實際上只要證明復(fù)數(shù)中存在兩個數(shù)字,它們之間的排序無論怎么定義,都會在上面四個性質(zhì)中產(chǎn)生矛盾。

比如,取復(fù)數(shù)中兩個數(shù)字, i 和 0。?它們之間的關(guān)系也必須滿足三種順序之一。?因為已知這是兩個不同的復(fù)數(shù)。?所以 i 與 0 的順序只有兩種。?

如果假設(shè) i 大于 0。?根據(jù)性質(zhì)三, i 乘以 i 的結(jié)果應(yīng)該是大于 0 乘以 i。?根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則,由此可以得到 負(fù)1 大于 0。請注意,到此并沒有導(dǎo)出矛盾, 因為我們正在討論復(fù)數(shù)的排序方法, 所以并不能夠按照實數(shù)的大小定義復(fù)數(shù)。負(fù)一大于 0 只是中間推導(dǎo)的結(jié)果。?下面再將 負(fù)一 乘以 負(fù)一,?便會得到下一個結(jié)論, 1 大于0。?此時便于前面的結(jié)論產(chǎn)生矛盾。?這說明假設(shè) i 大于 0 不成立。

下面從 i 小于 0 開始, 借助于性質(zhì)2, 兩邊同時加上 負(fù) i, 便可以得到 負(fù) i 大于 0,?然后在應(yīng)用 性質(zhì) 3,?使用負(fù) i 乘以不等式兩邊,?根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算法則,便得到 負(fù)1 大于 0 的結(jié)論。?這回到前面證明中的結(jié)論,?再往后推導(dǎo)同樣得到矛盾的結(jié)果。至此,綜合上面兩個過程, 證明復(fù)數(shù)無法排序。

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▲ 圖1.1.2 矛盾的證明

總??結(jié)

本文對于在復(fù)數(shù)域內(nèi)無法排序進(jìn)行了討論。?這也讓我們對于數(shù)學(xué)上的排序要求有了更加全面的了解。

審核編輯 :李倩

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原文標(biāo)題:為什么復(fù)數(shù)不能夠排序?

文章出處:【微信號:CloudBrain-TT,微信公眾號:云腦智庫】歡迎添加關(guān)注!文章轉(zhuǎn)載請注明出處。

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