數(shù)值型數(shù)據(jù)的表示

在計算機中，無論是何種形式的數(shù)據(jù)均采用數(shù)字化形式表示，即用“0”、“1”兩個基本符號構成的編碼表示，以便采用數(shù)字電路實現(xiàn)其存儲與處理。

• 本節(jié)主要內(nèi)容
• 數(shù)制
• 數(shù)的機器數(shù)
• 定點與浮點格式

數(shù)制

二進制閱讀、書寫不方便，引入八進制、十六進制。它們與十進制之間以及相互之間如何轉換？

各種數(shù)制

數(shù)制之間的轉換

• N進制 ? 十進制 “按權展開再相加”

• 十進制 ? N進制 整數(shù)部分：除N直到商為0，倒取余 小數(shù)部分：乘N直到精度滿足要求，正取整 例：28.628 = 11100.101B
• 十進制 ? N進制

十進制轉換二進制，常用湊數(shù)法。

• 二進制 ? 十六進制

以小數(shù)點為中心，向左右兩邊4位一組，不夠4位的左邊前補0，右邊后補0，然后把每4位寫出對應的十六進制數(shù)。

• 十六進制 ? 二進制

將每一個十六進制數(shù)碼寫成對應的4位二進制碼，前后的無效0去掉。

二進制與八進制間的互換與十六進制間的互換類似。

機器數(shù)

真值

正號（+）、負號（-）加二進制或者十進制的數(shù)值表示數(shù)據(jù)大小的形式在計算機原理中稱為真值。 如：+1011101B，或 -123.45

其中：“+”號經(jīng)常省略。

機器數(shù)

數(shù)據(jù)在計算機中存儲或處理的數(shù)據(jù)形式稱為機器數(shù)。

正、負號也要用0、1表示。

機器數(shù)分有無符號數(shù)和有符號數(shù)。

無符號數(shù)

整個機器字長的二進制位均為數(shù)值位，沒有符號位。相當于數(shù)的絕對值。

例如：10000011B表示十進制無符號數(shù)的131。

字長為n位的無符號數(shù)的表示范圍為0~2(n)-1。

若字長為8位，則表示無符號數(shù)的范圍為0~255。

有符號數(shù)

約定：機器字的最高位為符號位，其余位為數(shù)值部分。一般“0”表示正數(shù)，“1”表示負數(shù)。

例如：真值為-1011101B的機器數(shù)可以表示為：

11011101。

符號位和數(shù)值位如何聯(lián)合表示一個數(shù)？計算機中有多種編碼形式，以適應不同的應用場合的需要。常用的編碼形式有：

• 原碼
• 反碼
• 補碼
• 移碼

一、原碼

• 定義：

最高位為符號位，0表示正，1表示負，的數(shù)值部分為真值絕對值。

即：除去符號用0或1表示外，其余部分與真值（二進制）相同。

例如，8位機中，x=+1001101時，x=01001101

x=-1001101時，x=11001101

再如，5位機中，x=+0.1001時， x=0.1001

x=-0.1001時， x=1.1001

• 原碼定義的數(shù)學表達式---用于一些數(shù)學推理

若真值x為純整數(shù)數(shù)，n位機中：

若真值x為純小數(shù)，n位機中：

根據(jù)原碼的定義，0的原碼有兩種不同的形式：

原碼表示的數(shù)據(jù)范圍

純整數(shù)n位機中：

純小數(shù)n位機中：

優(yōu)點：直觀易懂，與真值之間轉換簡單；

實現(xiàn)乘、除法運算規(guī)則簡單。

缺點：實現(xiàn)加、減運算的規(guī)則較復雜，電路實現(xiàn)困難。

二、反碼

• 定義

  正數(shù)的反碼和原碼相同；
  負數(shù)的反碼是將原碼中符號位不變，數(shù)值部分中的各位變反。

例如：

8位純整數(shù)機中，

8位純小數(shù)機中，

• 反碼特點

• 0的反碼也有兩種不同的形式：

  

• 表示的數(shù)據(jù)范圍與原碼一樣：

  純整數(shù)n位機中：

純小數(shù)n位機中：

三、補碼

是否能將減法運算化為加法？

（1）模和補數(shù)

• 以鐘表為例，假設當前時針指向8點，若要將時針撥到6點，有兩種方法：

逆時針撥2小時，或順時針撥10小時。

前者代表8-2=6，后者可以認為是8+10=6（mod 12）。

在模為12時，-2和+10等價。稱-2的補數(shù)是10。

• 啟發(fā)：減法運算可以轉換為加該數(shù)的補數(shù)。

補碼定義

有符號數(shù)x的補碼定義為：

對于n位純整數(shù)機，其模為2(n) ，數(shù)x的補碼為：

對于n位純小數(shù)機，其模為2 ，數(shù)x的補碼為：

按照定義求補碼

補碼****表示的數(shù)據(jù)范圍

注意：

補碼表示的數(shù)據(jù)范圍比原碼在負數(shù)方向多一個值。

補碼中，100...0中的最高位1既表示符號，又是數(shù)值位。

如，8位整數(shù)機，10000000是-128的補碼；

8位小數(shù)機，1.0000000是-1的補碼。

根據(jù)補碼的定義，0的補碼表示只有形式：000…0

定點和浮點格式

定點格式表示的數(shù)據(jù)范圍

有符號數(shù)的編碼不同，所表示的數(shù)據(jù)范圍不同。

四、移碼

移碼主要用于表示浮點數(shù)的階碼。由于階碼是整數(shù)，這里只討論x是整數(shù)時的移碼。

注意 ： 移碼符號位****的表示規(guī)律與原碼、反碼、補碼的相反。

移碼特點

如果將移碼看作無符號數(shù)，其大小直觀地反映了真值的大小。移碼全為0時，所對應的真值最小，全為1時，所對應的真值最大。因此，浮點數(shù)的指數(shù)（階碼）常用移碼表示。這樣比較兩個浮點數(shù)大小時，階碼編碼大數(shù)就大。

四種編碼小結

各有所長，分別使用在不同的場合。補碼表示時加減運算方便，目前機器中廣泛采用補碼存儲和運算。有些機器做加減運算時采用補碼，做乘除運算時采用原碼。移碼主要用于表示浮點數(shù)的階碼。

同一個二進制碼，所表示的含義不同，相對應的實際值不同。下表給出8位二進制碼00000000~11111111含義不同時，與其實際值之間的相應關系。

在計算機中，小數(shù)點的問題如何解決？

計算機中，沒有專門設置電路來表示數(shù)據(jù)的小數(shù)點，而是采用不同的數(shù)據(jù)格式約定小數(shù)點的位置。

常用的數(shù)據(jù)格式：

• 定點格式
• 浮點格式

定點格式

• 約定機器中小數(shù)點在數(shù)據(jù)編碼中的位置固定不變。

• 由于已約定，機器中不再用“.”記號表示。

• 任意n位定點數(shù)x，在計算機中的格式為：

  

• 理論上講，小數(shù)點可以固定在任何位置。但計算機設計時通常將數(shù)據(jù)設定為純小數(shù)和純整數(shù)兩種。

定點格式表示的數(shù)據(jù)范圍

有符號數(shù)的編碼不同，所表示的數(shù)據(jù)范圍不同。

• 將其轉化為定點機所能處理范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)，得到的運算結果再根據(jù)比例因子還原成實際值。
• 定點格式所能處理的數(shù)據(jù)范圍十分有限。如果同時有絕對值非常大或絕對值非常小的數(shù)，用同樣的比例因子進行處理，很難兼顧數(shù)值范圍和運算精度的要求，為此引入浮點數(shù)表示。

浮點格式—浮點數(shù)

• 浮點數(shù)：小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置可以浮動。
• 任意一個R進制數(shù)N，其浮點數(shù)可以寫成：

其中：

• M尾數(shù)：表明數(shù)據(jù)有效位數(shù)，決定了數(shù)據(jù)的精度。
• E階碼：一個整數(shù)，指明小數(shù)點的位置。決定數(shù)據(jù)的大小。
• R基數(shù)：計算機中一般規(guī)定為2、8或16。

例如，二進制數(shù)101.00101的浮點數(shù)形式可以寫成：

• 階碼的取值不同，小數(shù)點的位置在尾數(shù)中進行浮動。

浮點格式— 一般格式

• 浮點數(shù)的一般格式為：

基數(shù)約定為2，階碼E和尾數(shù)M是有符號數(shù)。

• 浮點數(shù)的具體格式有很多種形式：
• 尾數(shù)和階碼可采用不同的機器碼
• 數(shù)符的位置也可放在首位
• 多數(shù)尾數(shù)是純小數(shù)，采用原碼或補碼表示。IEEE754浮點格式尾數(shù)采用1.M形式。
• 階碼為純整數(shù)，可以采用補碼或移碼表示。

浮點格式—表示的數(shù)據(jù)范圍

• 浮點格式表示的數(shù)據(jù)范圍主要由階碼的位數(shù)決定，精度主要由尾數(shù)的位數(shù)決定。
• 階碼和尾數(shù)采用的機器碼不同，其所能夠表示的數(shù)據(jù)范圍不同。
• 例如：32位浮點格式，階碼8位（含階符1位）移碼表示；尾數(shù)24位（含數(shù)符1位）補碼表示。

浮點格式—表示的數(shù)據(jù)范圍

32位浮點格式，階碼8位（階符1位）移碼表示；尾數(shù)24位（含數(shù)符1位）補碼表示。其能表示的數(shù)據(jù)范圍:

顯然，浮點格式表示的數(shù)據(jù)范圍比定點格式要大很多

浮點格式—機器零

機器零的規(guī)定：

• 浮點數(shù)的尾數(shù)值為零時；
• 階碼小于機器所能表示的最小值時；

浮點格式—規(guī)格化

• 同一數(shù)的浮點表示形式是不唯一的。

  例如：二進制數(shù)101.00101的浮點數(shù)可以寫成：

• 規(guī)格化的概念

• 為了充分利用尾數(shù)有限的位數(shù)，提高運算的精度，存儲數(shù)據(jù)中盡可能多是有效數(shù)字。

• 規(guī)定：浮點數(shù)尾數(shù)值不為0時，其最高數(shù)值位應是有效位，即尾數(shù)的絕對值應大于或等于0.5。這種形式的浮點數(shù)稱為規(guī)格化浮點數(shù)。

  

• 規(guī)格化浮點數(shù)的形式

• 編碼 0.1001000的浮點數(shù)是規(guī)格化；

• 編碼 1.0000100的浮點數(shù)也是規(guī)格化；

• 編碼0.1001000的浮點數(shù)是規(guī)格化；

• 編碼1.1000100的浮點數(shù)也是規(guī)格化；

• 尾數(shù)采用原碼表示時，尾數(shù)最高數(shù)值為1。如：8位尾數(shù)，

• 尾數(shù)采用補碼表示時，尾數(shù)符號和最高數(shù)值位一般應為01或10的形式。如：8位尾數(shù)，

• 注意一種特例：當尾數(shù)補碼表示，尾數(shù)值是-0.5時，其對應的補碼為1.1000000，不是01或10的形式，也滿足規(guī)格化要求。

• 規(guī)格化處理

  方法：對尾數(shù)進行移位，直到滿足上述規(guī)格化要求。尾數(shù)每左移一位，階碼減1；尾數(shù)右移一位，階碼加1。

• 若尾數(shù)原碼表示，
• N的浮點格式為0011 10010100
• 規(guī)格化后N的浮點格式：0001 11010000
• 若尾數(shù)補碼表示，
• N的浮點格式為0011 11101100
• 規(guī)格化后N的浮點格式為：0001 10110000

浮點格式—IEEE754浮點格式

• 為了便于軟件的移植，1985年IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers）制定了IEEE754浮點格式標準。

• IEEE754浮點格式：

  

• 階碼E移碼表示 (-3+127) = 124 = 0111 1100

• 尾數(shù)原碼表示，且尾數(shù)整數(shù)部分為1，缺省存儲

• 真值為：
  

• IEEE754規(guī)定了三種浮點數(shù)的格式：單精度、雙精度和擴展精度。
• C語言中float和double型數(shù)據(jù)為IEEE754存儲格式

單精度浮點數(shù)格式：

雙精度浮點數(shù)格式：

說明：階碼為全0和全1規(guī)定表示一些特殊的數(shù)值：

• E為0，且M為0時，表示機器0；
• E為全1，且M為0時，表示±∞；
• 若E為全0，而M為非0，IEEE754認為是非規(guī)格化數(shù)；
• 若E為全1，而M為非0，IEEE754認為是NaN（Not a Number非數(shù)值）數(shù)據(jù)。
• IEEE754規(guī)格化普通數(shù)：M非0，階碼E的值在1254（或12046）之間，對應的實際指數(shù)值為－126 +127（或－1022 +1023）。

十進制數(shù)串的表示

十進制數(shù)有兩種存儲和處理形式：字符串和壓縮的十進制數(shù)串。

1.字符串形式

• 把十進制數(shù)串當作一個字符串，每一個十進制數(shù)位及其正、負符號都用相應的ASCII碼表示，各占一個字節(jié)，連續(xù)存放。
• 例如，數(shù)-352字符串存儲形式：
  
  *造成存儲空間的浪費，數(shù)據(jù)處理不便，一般用于非數(shù)值計算的應用領域中。

2.壓縮的十進制數(shù)串形式

• 一個字節(jié)存放兩位十進制數(shù)的BCD碼，常采用8421碼。

• 符號也用4位二進制編碼表示，存放在最低數(shù)值位之后。

  例如，-2648的的壓縮十進制數(shù)串表示為：

節(jié)省存儲空間，便于算術運算，廣泛采用。

【知識拓展】 BCD碼

用4位二進制數(shù)表示一位十進制數(shù)的編碼稱為BCD碼（Binary Code Decimal）。

從4位二進制的16個編碼中選取10個編碼表示十進制的10個數(shù)碼，方法可以有很多種。常用的有8421碼、2421碼、余3碼、Gray（格雷）碼等。