變換器穩(wěn)態(tài)分析原則

前言：以Buck變換器為例，對(duì)小紋波近似、電感伏秒平衡以及電容安秒平衡進(jìn)行解釋說(shuō)明。

圖1所示為Buck變換器，所有器件均視為理想元件，電感兩端電壓及電容電流參考方向如圖中所示。

圖1 Buck變換器

傅立葉分析：周期波形的直流分量等于其平均值。所以在電路中，可以通過(guò)傅立葉分析求得平均值來(lái)求解變換器周期波形的直流分量。圖2所示為Buck變換器開(kāi)關(guān)端口電壓波形，圖2(a)為Vs時(shí)域波形，當(dāng)占空比D=0.5時(shí)，對(duì)時(shí)域波形進(jìn)行傅立葉變換可得如圖2(b)所示的Vs頻域波形。由圖2(b)可知，周期性開(kāi)關(guān)電壓除了包含fs=0的直流分量外，還含有開(kāi)關(guān)頻率交流成分諧波。而對(duì)電壓型變換器而言，設(shè)計(jì)的目的在于獲得穩(wěn)定的輸出電壓（即：期望輸出電壓僅含直流量不含交流量），因此，可通過(guò)對(duì)變換器添加LC濾波器（如：Buck變換器的輸出電感和電容）濾除開(kāi)關(guān)頻率諧波而獲得想要的直流分量。

（注：此處所述LC濾波器僅為變換器內(nèi)部的LC元件，且LC截止頻率遠(yuǎn)小于開(kāi)關(guān)頻率；而對(duì)于兩級(jí)電路架構(gòu)之間的LC濾波器，其作用更多體現(xiàn)在前級(jí)變換器輸出端口與后級(jí)變換器輸入端口之間的阻抗匹配，其目的在于消除前后級(jí)之間的低頻耦合，此時(shí)的截止頻率與前后級(jí)變換器控制的開(kāi)關(guān)頻率相關(guān)性較小。）

圖2 開(kāi)關(guān)端口電壓波形

所以傅立葉分析求解電路表達(dá)式（如電壓型變換器的輸出電壓）的過(guò)程過(guò)于繁瑣，因此在穩(wěn)態(tài)條件下，通過(guò)引入小紋波近似來(lái)推導(dǎo)電感的伏秒平衡和電容的安秒平衡（或電荷平衡），以對(duì)變換器進(jìn)行直接分析。

01小紋波近似

何為小紋波近似？小紋波近似是指在穩(wěn)態(tài)條件下，當(dāng)波形中的交流紋波分量幅值遠(yuǎn)小于其中的直流分量大小時(shí)，忽略交流紋波分量，對(duì)電路進(jìn)行分析時(shí)將實(shí)際波形近似等效成僅含直流分量，此過(guò)程簡(jiǎn)稱(chēng)小紋波近似（或線(xiàn)性紋波近似）。

小紋波近似為何只能用于連續(xù)波形（如：CCM下的電感電流和電容電壓），而不能用于斷續(xù)波形（如：開(kāi)關(guān)電壓、開(kāi)關(guān)電流或電感電壓）？對(duì)于穩(wěn)態(tài)下的連續(xù)波形，其組成可看成直流分量疊加一個(gè)由于低通濾波器對(duì)開(kāi)關(guān)諧波不完全衰減而引起的交流紋波分量；而對(duì)于不連續(xù)波形，由于波形本身僅含交流紋波分量而不含直流量，因此無(wú)法忽略交流紋波，所以小紋波近似并不適用。

（注：所以DCM下，分析電容電壓時(shí)小紋波近似可用，但是分析電感電流時(shí)不能直接使用，需采用廣義狀態(tài)平均法來(lái)分析。）

此外，在對(duì)變換器波形的分析中，如果開(kāi)關(guān)周期比電路的固有時(shí)間常數(shù)（主要指變換器中濾波器的響應(yīng)時(shí)間）小很多，則小紋波近似合理。

02電感伏秒平衡

圖3所示為穩(wěn)態(tài)下的電感電流、電壓以及輸出電壓波形。實(shí)際輸出電壓vo( t )由直流分量和交流紋波分量構(gòu)成：

圖3 電感電流、電壓及輸出電壓波形

實(shí)際設(shè)計(jì)中，輸出電壓紋波分量幅值遠(yuǎn)小于直流分量幅值（如：Δvo≤1%Vo），即：

利用小紋波近似，可得：

圖4所示為Buck變換器在開(kāi)關(guān)管導(dǎo)通和關(guān)斷狀態(tài)下的等效電路。利用小紋波近似做開(kāi)關(guān)管導(dǎo)通期間和關(guān)斷期間的分析。

圖4 Buck變換器開(kāi)關(guān)狀態(tài)等效電路

①開(kāi)關(guān)管導(dǎo)通期間，電感兩端電壓vL(t)為：

利用小紋波近似，可得：

所以在開(kāi)關(guān)管導(dǎo)通期間，電感兩端電壓基本恒定，其與電流的關(guān)系為：

進(jìn)而可得電感電流上升斜率為：

因?yàn)樯仙甭屎愣ǎ噪姼须娏骶€(xiàn)性增加。

②在開(kāi)關(guān)管關(guān)斷期間，電感兩端電壓vL(t)為：

利用小紋波近似，可得：

所以在開(kāi)關(guān)管關(guān)斷期間，電感兩端電壓同樣恒定，可得電感電流下降斜率為：

因?yàn)橄陆敌甭屎愣?，因此電感電流線(xiàn)性減小。

結(jié)合式(7)、式(10)以及圖3，可得穩(wěn)態(tài)下電感電流峰值與谷值差值ΔI為：

進(jìn)而可得電感感量為：

以上分析均在穩(wěn)態(tài)條件下利用小紋波近似對(duì)變換器進(jìn)行分析；在暫態(tài)時(shí)，變換器工作過(guò)程分析如下。

圖5所示為電感電流的暫態(tài)過(guò)程波形。假設(shè)在t=0時(shí)，變換器開(kāi)始工作，則電感電流和輸出電壓初始狀態(tài)均為0。

圖5 電感電流暫態(tài)過(guò)程波形

在第一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)，開(kāi)關(guān)管導(dǎo)通期間，輸出電壓為0，則電感兩端電壓為：

電感電流上升斜率krise最大，為：

開(kāi)關(guān)管關(guān)斷期間，電感兩端電壓為：

電感電流下降斜率kfall最小，為：

因此，在第一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)，電感電流呈凈增加，即：iL(Ts)-iL(0)>0。在整個(gè)暫態(tài)過(guò)程中，電感電流終值≠初始值（因?yàn)閠=0時(shí)電感電流為0，而要使得電感能夠儲(chǔ)備能量，在暫態(tài)過(guò)程中的每一個(gè)周期內(nèi)，電感電流的終值都一定大于初始值），所以無(wú)法利用二者相等的條件求解電路的狀態(tài)方程，在暫態(tài)過(guò)程中只能逐步迭代去求解任意時(shí)刻的電流值（在整個(gè)暫態(tài)過(guò)程中，電感電流在開(kāi)關(guān)管導(dǎo)通期間的上升斜率由最大值逐漸減小，在開(kāi)關(guān)管關(guān)斷期間的下降斜率由最小值逐漸增大，直至電感電流凈增量為0達(dá)到穩(wěn)態(tài)）。

由于電感電流流向輸出端，所以輸出電容被充電，電容電壓也逐漸建立。在電感電流迭代的同時(shí)，輸出電容電壓也在迭代（在整個(gè)暫態(tài)過(guò)程中，電容電壓在開(kāi)關(guān)管導(dǎo)通期間上升斜率由最大值逐漸減小，在開(kāi)關(guān)管關(guān)斷期間下降斜率由最小值逐漸增大，直至電容電壓凈增量為0達(dá)到穩(wěn)態(tài)）。

當(dāng)變換器達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)時(shí)，每個(gè)開(kāi)關(guān)周期中電感電流與電容電壓的終值和初始值之間的關(guān)系為：

在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)，對(duì)式(6)中的等號(hào)兩端同時(shí)積分：

可得，在穩(wěn)態(tài)條件下，施加在電感兩端電壓的積分一定為0，即電感電壓vL(t)在一個(gè)周期下的總面積為0或伏秒積為0，稱(chēng)此為伏秒平衡。

將式(19)兩端同時(shí)除以Ts，可得：

對(duì)圖3中電感電壓積分求得總面積 S ：

則電感兩端平均電壓為：

由式(22)可得輸出電壓表達(dá)式為：

因此，通過(guò)電感的伏秒平衡可以推導(dǎo)出變換器輸出電壓的直流分量表達(dá)式，且其具有通用性，即其適用于任何變換器，只需勾勒出施加在電感上的電壓波形，利用其平均值為0即可。

03電容安秒平衡

電容電流表達(dá)式為：

對(duì)式(24)中的等號(hào)兩端同時(shí)積分，可得：

可得，在穩(wěn)態(tài)條件下，施加在電容兩端的電流積分一定為0，即電容電流iC(t)在一個(gè)周期下的總面積為0或安秒積為0，稱(chēng)此為安秒平衡。

將式(26)兩端同時(shí)除以Ts，可得電容平均電流為：

通過(guò)電容的安秒平衡可以推導(dǎo)出變換器穩(wěn)態(tài)電流表達(dá)式。

總結(jié)：如果對(duì)電感施加直流電壓，則磁通量將持續(xù)增加，電感電流將無(wú)限制地增加；如果向電容器施加直流電流，則電容器將連續(xù)充電，其電壓將無(wú)限增加。因此在穩(wěn)態(tài)條件下，電感一定滿(mǎn)足伏秒平衡，電容一定滿(mǎn)足安秒平衡。