我們從復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)出發(fā)：

其中，f T (t)為周期信號，我們將周期T乘到右邊，得到：

從上一講我們知道，周期信號的幅度譜和相位譜是在kω 0 （k=0,±1,±2,……）上離散的點取值，那么，ω0也可以表示為離散點的間隔，記作?ω。同時從上述表達(dá)式可以看出，TCk是一個變量為kω0的函數(shù)（原因很簡單，表達(dá)式是對t積分，積分完t就沒了，那么只有kω0這個變量），而kω0也可以記作k?ω，表達(dá)式可以換成：

當(dāng)T—>?時，f T (t) —>f(t)，而?ω—> dω，k?ω—> ω：

那么就可以得到傅里葉變換，即：

而從上述表達(dá)式轉(zhuǎn)化中可以看出，TCk是一個變量為k?ω的函數(shù)，那么當(dāng)T—>?時， TC k =C k /f，f—>0，即C(ω)為單位頻率的表達(dá)式，因此把C(ω)稱之為頻譜密度函數(shù)，也就是我們常說的頻譜函數(shù)。

我們再看傅里葉逆變換：

我們從周期信號的復(fù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)出發(fā)：

根據(jù)上面推導(dǎo)傅里葉變換的結(jié)論，上面表達(dá)式可以轉(zhuǎn)換為：

而?ω=2π/T，則：

當(dāng)T—>?時，f T (t) —>f(t)，?ω—> dω，k?ω—> ω，則可以得到傅里葉逆變換的表達(dá)式：

至此，傅里葉變換和傅里葉逆變換的表達(dá)式推導(dǎo)完畢。從推導(dǎo)過程可以看出，我們從傅里葉級數(shù)出發(fā)，利用了T—>?這個條件，C(ω)=C(k?ω) =TCk **，**從而推導(dǎo)出傅里葉變換，換句話說，傅里葉變換是周期趨于無窮大的周期信號的傅里葉級數(shù)。

接著我們看第二個問題：傅里葉變換的物理意義。

我們還是從傅里葉變換和傅里葉級數(shù)的關(guān)系入手：

傅里葉變換：

傅里葉逆變換：

我們再結(jié)合傅里葉級數(shù)的表達(dá)式：

從上一篇可知，傅里葉級數(shù)的物理意義是：任意一個周期信號，都可以用該復(fù)指數(shù)函數(shù)集{e^jk^ ^ω0t^ }(k=0,±1, ±2,……)來表示；而Ck為f(t)在復(fù)指數(shù)函數(shù)集{e^jk^ ^ω0t^ } (k=0,±1, ±2,……)各個正交基的坐標(biāo)，即C~k~描述了各頻率分量kω ~0~ (k=0,±1, ±2,……)之間的相對關(guān)系，其中|C ~k~ |~ω的關(guān)系圖稱為幅度譜，代表各頻率分量kω~0~ (k=0,±1, ±2,……)的絕對大小，? ~k~ ~ ω稱為相位譜，代表各頻率分量kω~0~ (k=0,±1, ±2,……)的相對位置。

那么類推可知， 傅里葉變換的物理意義是：任意一個非周期信號，都可以用復(fù)指數(shù)函數(shù)集{e^j^ ** ^ωt^ }** 來表示（其中ω無限趨近于0），而C(ω)為f(t)在復(fù)指數(shù)函數(shù)集{e^j^ ** ^ωt^ }** 各個正交基的坐標(biāo)，即C(ω)描述了各頻率分量之間的相對關(guān)系，其中| C(ω)|~ω的關(guān)系圖稱為幅度譜，代表各頻率分量的絕對大小，? ω ~ ω稱為相位譜，代表各頻率分量的相對位置。

兩者的區(qū)別用下圖表示，就一目了然了，由于非周期信號中的ω，是一個無限趨近于0的變量，反映在圖中，即每根正交基向量之間的間距無限小，這也再一次說明了上面那個結(jié)論：傅里葉變換是周期趨于無窮大（頻率趨于無窮小）的周期信號的傅里葉級數(shù)。

基于上面的物理意義，就很容易理解“ 非周期信號的頻譜是連續(xù)的，周期信號的頻譜是離散的 ”這句話的含義。

接下去看第三個問題，周期信號的傅里葉變換和傅里葉級數(shù)之間的關(guān)系？

先了解三個典型信號的傅里葉變換對（利用傅里葉變換的表達(dá)式很容易推出，此處不詳細(xì)闡述）：

我們利用這三個典型信號的傅里葉變換對，從復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)出發(fā)：

因為：

因此：

從而可以得出周期信號的傅里葉變換：

我們知道，周期信號的傅里葉級數(shù)是為了將周期信號從時域轉(zhuǎn)換成頻域進(jìn)行分析，也就是周期信號的頻譜，而周期信號的傅里葉變換也是將周期信號從時域轉(zhuǎn)換成頻域進(jìn)行分析。 那么從表達(dá)式上看，一個是Ck，一個是2****πCkδ(ω-kω 0 )，兩者完全不一樣，實際上是這樣的嗎？

我們仔細(xì)分析可知， δ(ω-kω 0 )其實就是在頻率為kω0的一系列沖激信號，也就是說，周期信號的傅里葉變換2πCkδ(ω-kω 0 )只是在頻率為kω0才有數(shù)值，且數(shù)值為2πCk，其他頻率皆為0。而傅里葉級數(shù)Ck我們之前分析過它的幅度譜和相位譜，只是在kω0的地方才有數(shù)值，而兩者之間的幅度譜相差一個2π的倍數(shù)，就是之前推導(dǎo)傅里葉變換時，C k =C(ω) * ω/2π****而產(chǎn)生的，因此兩者雖然表達(dá)式不一樣，但本質(zhì)是一致的。

我們分析出周期信號傅里葉變換和傅里葉級數(shù)之間的關(guān)系后，就會不由自主地想到另外一個問題：周期信號的傅里葉變換和非周期信號的傅里葉變換存在什么樣的關(guān)系呢？

分析這個問題，我們可以從一個非周期信號入手，通過周期拓展的方式，將該非周期信號在時間T的周期內(nèi)進(jìn)行復(fù)制，從而得到一個周期信號，如下圖所示。

那么怎么進(jìn)行周期拓展呢？我們應(yīng)當(dāng)想到卷積中講到的信號的分解性質(zhì)，即一個信號可以分成自身和單位沖激信號的卷積。那么我們只要把單位沖激信號平移周期kT（k=1,2,3,……），再與原本信號進(jìn)行卷積，相當(dāng)于把該信號在周期kT上依次進(jìn)行復(fù)制，從而得到周期為T的信號。

因此我們可以得到：

根據(jù)δ(t-nT)和卷積的性質(zhì)，上式進(jìn)行傅里葉變換：

而C(ω)只是在kω0的點上有值，因此上式可以轉(zhuǎn)換為：

因此，我們從周期拓展的角度出發(fā)，同樣得到了周期信號的傅里葉變換，從上式可以發(fā)現(xiàn)， 一個信號在時域上進(jìn)行周期T拓展時，所對應(yīng)的頻譜函數(shù)只在kω0上有值，也就是說在頻域上，頻譜函數(shù)是離散的， 從周期拓展的角度又一次佐證了 “ 非周期信號的頻譜是連續(xù)的，周期信號的頻譜是離散的 ”這句話。

最后放上自己的一點有趣的思考。

前面我們從復(fù)指數(shù)形式和周期拓展的形式分別得到了周期信號的傅里葉變換，因為信號是同一個信號，因此兩者的傅里葉變換應(yīng)該相同，因此，我們得出：

進(jìn)一步化簡可知：

此處我們得到了周期信號傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的關(guān)系，**即傅里葉級數(shù)是非周期傅里葉變換在kω 0 **上的取值。

而我們文章一開始推導(dǎo)傅里葉變換的時候，用到的條件之一即為：

我們從傅里葉級數(shù)出發(fā)，利用這個條件推導(dǎo)出非周期信號的傅里葉變換，繼而推導(dǎo)出周期信號的傅里葉變換，最后利用周期信號的傅里葉變換又反推導(dǎo)回傅里葉級數(shù)。