傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析

傅里葉級(jí)數(shù)

由信號(hào)的分解可知，周期信號(hào)f(t)在區(qū)間(t0,t0+T)可以展開(kāi)成在完備正交信號(hào)空間的無(wú)窮級(jí)數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號(hào)所展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)就分別稱(chēng)為"三角型傅里葉級(jí)數(shù)"或"指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)"，統(tǒng)稱(chēng)傅里葉級(jí)數(shù)。

需要指出，只有當(dāng)周期信號(hào)滿(mǎn)足狄利克雷條件時(shí)，才能展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。

狄利克雷條件：1、函數(shù)在任意區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn))。2、在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)有有限個(gè)極大值或極小值。(條件的意義是使函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)不僅收斂，并且收斂于f(x)。)

周期信號(hào)的分解

設(shè)有周期實(shí)信號(hào)f(t)，它的周期是T，角頻率Ω=2πF=2π/T,

它可分解為

式中的系數(shù)an，bn稱(chēng)為傅里葉系數(shù)，它們的求法如下

式中T為函數(shù)的周期，Ω=2π/T為角頻率，由上式可見(jiàn)，an和bn都是n(或nΩ)的函數(shù)，其中an是n(或nΩ)的偶函數(shù)，bn是(或nΩ)的奇函數(shù)，a0/2為直流分量。

通過(guò)輔助角公式將三角式合并即可得諧波式

式中

可見(jiàn)任意滿(mǎn)足狄利克雷條件周期信號(hào)是由各次諧波分量組成的。

奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

SIMPLE LIFE

注：1、奇函數(shù)乘以奇函數(shù)為偶函數(shù)；奇函數(shù)乘以偶函數(shù)為奇函數(shù)；偶函數(shù)乘以奇函數(shù)為奇函數(shù)。

2、奇函數(shù)在一個(gè)周期的積分為零；偶函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的積分等于其半個(gè)周期積分的兩倍。

(1)f(t)為偶函數(shù)

若函數(shù)f(t)是時(shí)間t的偶函數(shù)，那么an和bn的求法便可進(jìn)行化簡(jiǎn)。

(2)f(t)為奇函數(shù)

若函數(shù)f(t)是時(shí)間t的奇函數(shù)，那么an和bn的求法便可進(jìn)行化簡(jiǎn)。

實(shí)際上，任意函數(shù)都可以分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即

(3)f(t)為奇諧函數(shù)

如果函數(shù)f(t)的前半周期波形移動(dòng)T/2后，與后半周期波形相對(duì)于橫軸對(duì)稱(chēng)，則這種函數(shù)稱(chēng)為半波對(duì)稱(chēng)函數(shù)或奇諧函數(shù)。

其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中將只含奇次諧波分量而不含偶次諧波分量，即

傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式

周期信號(hào)分解時(shí)，如果使用的完備正交函數(shù)集是復(fù)指數(shù)集，那么周期信號(hào)所展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)就稱(chēng)為指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)，即

Fn是指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，它的求法為

其中Fn為復(fù)數(shù)，可表示為