在這篇文章中，我想談一個(gè)在物理研究中非常重要的想法，它實(shí)際上是一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)，稱為狄拉克δ函數(shù)。在x等于0時(shí)，δ函數(shù)的值非常大，它是無(wú)限大。而在x不等于0的其他地方，δ函數(shù)的值恒等于0。換句話說(shuō)，δ函數(shù)是一個(gè)無(wú)限薄且無(wú)限大的尖峰。在我們討論δ函數(shù)在物理學(xué)中的用途之前，我們要先看看δ函數(shù)的一些數(shù)學(xué)特性。

回想一下，對(duì)于一般函數(shù)，我們是如何求解它的函數(shù)圖像與x軸之間的面積的？大多數(shù)函數(shù)不是由簡(jiǎn)單的形狀組成的，但我們可以想象將這個(gè)區(qū)域分成許多小塊，通過(guò)將其視為矩形或梯形來(lái)找到每個(gè)小塊的面積，然后將它們?nèi)肯嗉拥玫娇偟拿娣e，這就是我們對(duì)函數(shù)進(jìn)行積分的意思。

考慮到x等于0時(shí)，δ函數(shù)的寬度為零，它的下方?jīng)]有任何面積。但它的高度是無(wú)限的，所以我們給了它一個(gè)定義，這個(gè)函數(shù)下的面積最終是有限的，它的面積為1。

δ函數(shù)實(shí)際上不需要專門(mén)在x等于0時(shí)處于尖峰，我們實(shí)際上可以將尖峰移動(dòng)到不同的位置。如果我們?nèi)∫蜃兞縳，然后從中減去一些量（假設(shè)是 a），則δ(x-a)的函數(shù)圖像將移動(dòng)相同的量a，然后這個(gè)函數(shù)在x等于a就處于峰值。

這個(gè)性質(zhì)很要的原因是，我們現(xiàn)在可以采用另一個(gè)函數(shù)，比如說(shuō)正弦函數(shù)sin(x)，然后將它與δ(x-a)想成，最后再對(duì)其進(jìn)行積分，那么我們最終得到的是函數(shù)的值sin(a)：。換句話說(shuō)，當(dāng)以這種方式使用δ函數(shù)時(shí)，可以用來(lái)挑選任何函數(shù)的特定值。

關(guān)于δ函數(shù)的數(shù)學(xué)屬性已經(jīng)足夠了，那么它在物理學(xué)中是如何被使用的？盡管這些無(wú)窮大并沒(méi)有真正出現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)生活中，但理論物理學(xué)中卻充滿了它們的身影。例如，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們經(jīng)常將粒子視為一個(gè)點(diǎn)。這意味著，我們假設(shè)像電子這樣的小粒子的質(zhì)量，集中在粒子正中心的一個(gè)點(diǎn)上，這個(gè)點(diǎn)被稱為質(zhì)心。

以類似的方式，我們說(shuō)該電荷集中在一個(gè)非常小的點(diǎn)上。事實(shí)上，無(wú)限小是為了使我們所有的計(jì)算變得更容易，而不是必須處理分布在一個(gè)小但有限的空間上的電荷。所以在這里，我們就可以使用δ函數(shù)對(duì)這樣的想法進(jìn)行數(shù)學(xué)編碼。

首先，我們考慮的不是粒子的電荷q，而應(yīng)該是電荷密度ρ。電荷密度是我們?cè)诿繂挝惑w積中找到的電荷量ρ=q/v，用更正確的方式來(lái)說(shuō)，它實(shí)際上是電荷變化dq相對(duì)于體積dv的變化率：ρ=dq/dv?，F(xiàn)在，我們可以通過(guò)這個(gè)逆過(guò)程，來(lái)找到粒子的電荷：q=∫ρdv。

對(duì)此的物理解釋是，粒子的電荷可以通過(guò)找出空間區(qū)域中每個(gè)微小體積有多少電荷來(lái)給出。我們將電荷密度乘以每個(gè)微小體積，得到在此體積中的電荷，然后我們將所有這些電荷相加得到總電荷：q=dq?+dq?+……

但請(qǐng)記住，對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的粒子，我們假設(shè)電荷實(shí)際上根本沒(méi)有分布，而是全部在一個(gè)點(diǎn)上找到，所以電荷密度用上述所說(shuō)的定義是不太方便的。事實(shí)上，我們可以用δ函數(shù)來(lái)定義，比如在x=a處：ρ=qδ(x-a)。為什么要這樣做呢，讓我們將其代回積分方程看看會(huì)發(fā)生什么。

前面我們已經(jīng)介紹過(guò)δ函數(shù)的屬性，在這種情況下積分時(shí)，δ函數(shù)會(huì)選出與其相乘的函數(shù)的值，所以q=∫ρdv=∫qδ(x-a)dv=q(a)。從數(shù)學(xué)上講，我們只是用δ函數(shù)對(duì)q進(jìn)行編碼。但從物理上來(lái)講，δ函數(shù)可以幫助我們?cè)趲щ娏Ｗ訉?shí)際所在的空間點(diǎn)上找出它。

總結(jié)一下，當(dāng)我們處理帶電粒子時(shí)，它們與我們通常習(xí)慣的尺度相比是如此之小。當(dāng)我們必須進(jìn)行詳細(xì)的計(jì)算時(shí)，我們假設(shè)粒子可能無(wú)限小并且僅定位于空間中的一個(gè)點(diǎn)。在大多數(shù)情況下，我們直接使用δ函數(shù)是非常合適的，它會(huì)使得事情變得更簡(jiǎn)單。

δ函數(shù)在物理學(xué)中還有很多應(yīng)用，舉一個(gè)生活中比較常見(jiàn)的例子。踢足球的時(shí)候，我們的腳在會(huì)在短時(shí)間內(nèi)對(duì)物體進(jìn)行作用。這時(shí)候，我們就可以使用δ函數(shù)。只不過(guò)，這次不像粒子那樣在空間中定位電荷，而是在時(shí)間上定位某個(gè)屬性。