2.1 電路的等效

2.1.1 二端網(wǎng)絡(luò)

任何一個(gè)復(fù)雜的電路網(wǎng)絡(luò), 如果向外引出兩個(gè)端鈕， 則稱為二端網(wǎng)絡(luò) ( 一端口網(wǎng)絡(luò))。網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部沒(méi)有獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)，稱為無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)；反之，稱為有源二端網(wǎng)絡(luò)。

2.1.2 等效的概念

對(duì)于任何兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)，盡管它們的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可能不同，但只要它們端口處的電壓-電流關(guān)系完全相同，從而它們對(duì)聯(lián)接到該端口上的任一外部電路的作用效果相同，則這兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)互為等效。

這里所謂“完全相同”的含義是指這一相同不應(yīng)受外部電路的限制，即相同并不只是對(duì)某一特定的外部電路而言。

注意：這里的等效，只是指這個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)對(duì)外部電路等效，在二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部是不等效的。

2.2 簡(jiǎn)單電阻電路分析

2.2.1 電阻的串聯(lián)

n個(gè)電阻串聯(lián)時(shí)，其等效電阻為 ：

等效電阻：任一無(wú)源二端電阻網(wǎng)絡(luò)，在其二端施加獨(dú)立電源us(或is)，輸入電流為i (或u)，此網(wǎng)絡(luò)可等效為一個(gè)電阻，即等效電阻為R，其值為：

限流作用：端口電壓一定時(shí)，串聯(lián)電阻越多，電流越小，所以串聯(lián)電阻可以“限流”。

分壓作用：串聯(lián)的各電阻，其兩端電壓與自身電阻大小成正比，即

分壓公式

2.2.2 電阻的并聯(lián)

n個(gè)電阻并聯(lián)時(shí)，其等效電導(dǎo)為 ：

兩個(gè)電阻的并聯(lián)公式：

分流公式：并聯(lián)的各電阻中電流與各電阻大小成反比，即

兩個(gè)電阻并聯(lián)的分流公式：

2.2.3 電阻的混聯(lián)

既有電阻元件串聯(lián)又有電阻元件并聯(lián)的電路稱為電阻元件的混聯(lián)。

如下圖所示電路：

電源右端的網(wǎng)絡(luò)，等效電阻為：

2.2.4 電阻的三角形連接與星形連接

電阻的三角形連接 電阻的星形連接

等效變換：

等效變換的條件是對(duì)應(yīng)端流入或流出的電流(I1 、I2、I3 )對(duì)應(yīng)相等，對(duì)應(yīng)端間的電壓(U1、U2、U3 )也對(duì)應(yīng)相等。

特別的：如果 則有

反過(guò)來(lái)如果 則有

2.3 含獨(dú)立源的簡(jiǎn)單電路分析

2.3.1 電壓源與電流源之間的等效變換

等效變換的根據(jù)：對(duì)外電路來(lái)說(shuō)，伏安關(guān)系完全相同。

電壓源的伏安關(guān)系為：

電流源的伏安關(guān)系為：

結(jié)論就是：等效的條件

任何一個(gè)理想電壓源 Us 和一個(gè)電阻 Rs串聯(lián)的電路，都可化為一個(gè)電流為 Is 的理想電流源和這個(gè)電阻的并聯(lián)的電路，反之亦然。

兩種理想電源不能等效變換；等效變換時(shí)，兩電源的參考方向要一一對(duì)應(yīng)。

2.3.2 電源串并聯(lián)電路的分析

1.任何一個(gè)網(wǎng)絡(luò)與一個(gè)理想電壓源相并聯(lián)，均可等效為這個(gè)理想電壓源；

2.任何一個(gè)網(wǎng)絡(luò)與一個(gè)理想電流源相串聯(lián)，均可等效為這個(gè)理想電流源；

3.n個(gè)理想電壓源串聯(lián)，可以等效為一個(gè)電壓源Us，且有

其中，Usk與Us方向一致時(shí)其值取正，反之取負(fù)。

4.n個(gè)理想電流源并聯(lián)，可以等效為一個(gè)電流源Is，且有

其中，Isk與Is方向一致時(shí)其值取正，反之取負(fù)。

注意：電壓源和電流源的等效關(guān)系只對(duì)外電路而言，對(duì)電源內(nèi)部則是不等效的。

2.4 含受控源的簡(jiǎn)單電路的分析

在分析電路時(shí)，受控源可當(dāng)作獨(dú)立源一樣對(duì)待。電路基本定律和元件的伏安特性是分析此類電路的依據(jù)，也就是仍要用KCL、KVL和VCR。和獨(dú)立源所不同的是在電路中受控源不能象獨(dú)立源一樣作為獨(dú)立激勵(lì)，也就是這類電路不能只有受控源，而沒(méi)有獨(dú)立源（局部電路除外）。

2.4.1 受控源的等效變換

受控電壓源與電阻串聯(lián)組合形式可以和受控電流源與電阻并聯(lián)組合形式之間進(jìn)行等效變換。

方法：與獨(dú)立源支路的等效變換基本相同。但變換時(shí)一定要注意不要消去控制量，只有先將控制量轉(zhuǎn)化為不會(huì)被消去的量以后，才能進(jìn)行等效變換。

例題：求圖示二端網(wǎng)絡(luò)ab的等效電路。

2.4.2 含受控源的單回路電路和單結(jié)點(diǎn)偶電路分析

分析含受控源的簡(jiǎn)單電路與分析不含受控源的電路方法是相同，只不過(guò)會(huì)多出控制量這一變量，把控制量用準(zhǔn)備求解的變量表示，做為補(bǔ)充方程，方程數(shù)仍然是足夠的。

2.4.3 含受控源不含獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)的等效電路

含受控源不含獨(dú)立源的二端電阻網(wǎng)絡(luò)可以等效為一個(gè)電阻。

方法是：在端口處施加一個(gè)電壓或施加電流，然后計(jì)算端口的伏安關(guān)系，從而求得該二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。

例:求圖示電路對(duì)于端口的等效電阻。

解：在圖示電路的端口處施加電壓U，然后寫出端口電流I與電壓U的關(guān)系式

從而求得二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻為

進(jìn)一步分析：顯然，由于受控源的存在，使端口等效電阻發(fā)生變化，等效電阻與參數(shù) μ 相關(guān)。

① 二端網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)電阻，說(shuō)明該二端網(wǎng)絡(luò)從外電路吸收電能；

②若 ，則等效電阻小于零，為一負(fù)電阻。則這時(shí)，該二端網(wǎng)絡(luò)向外電路提供電能。出現(xiàn)負(fù)電阻的原因是由于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)含受控源，而受控源是可以提供電能的。

2.5 支路電流法

2.5.1 分析線性電路的一般方法

分析線性電路的一般方法：根據(jù)電路元件的伏安特性、歐姆定律、基爾霍夫定律等基本規(guī)律，通過(guò)列寫電路方程來(lái)求解電路電壓和電流的方法。這種電路方程的列寫方法有規(guī)律可循，具有一般性(對(duì)任何線性電路都適用)，故稱為一般分析方法。

線性電路方程：通常是一組線性代數(shù)方程，非常適合于計(jì)算機(jī)去處理（解方程）。

復(fù)雜線性電路的一般分析法就是根據(jù)KCL、KVL及元件的電壓與電流關(guān)系列方程、解方程。根據(jù)列方程時(shí)所選變量的不同可分為支路電流法、回路電流法和節(jié)點(diǎn)電壓法。

一般分析方法的步驟：

① 選取一組合適的電路變量（如支路電流、網(wǎng)孔電流或節(jié)點(diǎn)電壓等）。

② 根據(jù)元件的電壓、電流關(guān)系特性（VCR）以及KCL、KVL建立一組獨(dú)立的電路方程。

③ 聯(lián)立求解方程中的變量。

這里的關(guān)鍵是建立的方程相互間是否獨(dú)立、以及方程數(shù)是否足夠。

2.5.2 支路電流法

我們以各支路電流為變量列寫方程、解方程的方法稱為支路電流法。

一般地說(shuō)，對(duì)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，b條支路的電路，只要列出b個(gè)獨(dú)立的電路方程，便可以求解這b個(gè)未知量。：

只有（n-1）個(gè)節(jié)點(diǎn)是獨(dú)立的，即只能列出（n-1）個(gè)KCL 方程；

對(duì)于平面電路而言，網(wǎng)孔數(shù)為[b -（n-1）]個(gè)，恰好為獨(dú)立回路數(shù)，即可列[b -（n-1）]個(gè)KVL方程。

因此應(yīng)用KCL和KVL一共可列出 （n-1）+ [b-（n-1）]=b個(gè)獨(dú)立方程，即可解出b個(gè)支路電流。

使用支路電流法的工作步驟：

a.設(shè)定每一條支路的電流（ ）并標(biāo)注其參考方向；

b. 在n個(gè)節(jié)點(diǎn)中選定一個(gè)參考節(jié)點(diǎn)，對(duì)其它各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列出（n-1）個(gè) KCL方程；

c. 選取網(wǎng)孔，設(shè)定各網(wǎng)孔繞行方向；

d.對(duì)各網(wǎng)孔列出[b-（n-1）]個(gè)KVL方程 ；

e.聯(lián)立求解上述的b個(gè)獨(dú)立方程 ，得出并個(gè)待求的各支路電流。

可以看到，一個(gè)稍微復(fù)雜的電路，采用支路電流法列寫出的方程組是一個(gè)多元方程組，如果不借助于計(jì)算機(jī)，求解起來(lái)非常麻煩。實(shí)踐中，我們往往也并不需要知道每一條支路的電流，而是部分電流或電壓，這就需要我們思考，有沒(méi)有更簡(jiǎn)潔的分析電路的方法。

2.6 網(wǎng)孔電流法

什么是網(wǎng)孔電流：沿著網(wǎng)孔邊界連續(xù)流動(dòng)的假想電流。要注意，這是一個(gè)假想電流，并不是實(shí)際存在的，但它和每一條支路的實(shí)際電流有關(guān)系。

網(wǎng)孔電流法：就是以網(wǎng)孔電流為變量列寫方程、求解方程的一種電路分析方法。它僅適用于平面電路。

基本思想：為減少未知量(方程)的個(gè)數(shù)，假想每個(gè)網(wǎng)孔中有一個(gè)網(wǎng)孔電流。各支路電流可用網(wǎng)孔電流的線性組合表示，來(lái)求得電路的解。

網(wǎng)孔電流在網(wǎng)孔中是閉合的，對(duì)每個(gè)相關(guān)結(jié)點(diǎn)均流進(jìn)一次，流出一次，所以網(wǎng)孔電流在所有節(jié)點(diǎn)處都自動(dòng)滿足KCL，因此，只需列出[b -（n-1）]個(gè)KVL方程，就可以使得電路得到求解。網(wǎng)孔電流法中的變量—網(wǎng)孔電流個(gè)數(shù)就是網(wǎng)孔數(shù)[b -（n-1）]個(gè)。所以網(wǎng)孔電流是一組獨(dú)立變量。

使用網(wǎng)孔電流法的工作步驟：

① 選定各網(wǎng)孔電流的參考方向，也就是列方程式時(shí)這個(gè)網(wǎng)孔的繞行方向。

② 列寫 [m=b -（n-1）]個(gè)網(wǎng)孔的KVL方程。

其中 稱為網(wǎng)孔1-m的自電阻，為該網(wǎng)孔中所有電阻之和；

其余電阻為各個(gè)網(wǎng)孔之間的互電阻：計(jì)算方法是兩個(gè)相鄰網(wǎng)孔公共支路中所有電阻之和，不相鄰則互電阻為零）；當(dāng)通過(guò)該互電阻的兩個(gè)網(wǎng)孔電流的參考方向一致時(shí)，互電阻取正號(hào)；參考方向相反時(shí)，取負(fù)號(hào)。

為網(wǎng)孔1-m中所有電源兩端電壓的代數(shù)和。注意此處，在求這個(gè)代數(shù)和時(shí)，如果某個(gè)電源電壓方向與繞行方向相同取負(fù)號(hào)，否則取正號(hào)。

③ 聯(lián)立取求解網(wǎng)孔電流方程，得到網(wǎng)孔電流。

④ 指定待求支路電流的參考方向。此支路電流為與其相關(guān)的網(wǎng)孔電流的代數(shù)和，列寫方程，從而求出待求支路電流。

下面單獨(dú)說(shuō)一下，含理想電流源支路時(shí)的求解方法：

如能使這個(gè)電流源中只有一個(gè)網(wǎng)孔電流流過(guò)，則該網(wǎng)孔電流就等于此電流源的電流，而不必對(duì)這個(gè)網(wǎng)孔列網(wǎng)孔方程了；

如不能使電流源中只有一個(gè)網(wǎng)孔電流流過(guò)。則需要把電流源的電壓也作為變量列入網(wǎng)孔方程，并將電流源電流與有關(guān)網(wǎng)孔電流的關(guān)系作為補(bǔ)充方程，方程數(shù)仍然足夠，就可以一并求解。

2.7 節(jié)點(diǎn)電壓法

節(jié)點(diǎn)電壓：確定某個(gè)節(jié)點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)（理論上那個(gè)節(jié)點(diǎn)都可以），則其余任意獨(dú)立節(jié)點(diǎn)到該參考節(jié)點(diǎn)的電壓，就成為該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓。

要注意，這是一個(gè)假想電壓，并不是實(shí)際存在的，但它和每一條支路的實(shí)際電壓有關(guān)系。

節(jié)點(diǎn)電壓法：就是以節(jié)點(diǎn)電壓為變量列寫方程、求解方程的一種電路分析方法。適用于節(jié)點(diǎn)較少的電路。

基本思想：選節(jié)點(diǎn)電壓為未知量，則KVL自動(dòng)滿足，無(wú)需列寫KVL 方程。各支路電流、電壓可視為節(jié)點(diǎn)電壓的線性組合，求出節(jié)點(diǎn)電壓后，便可方便地得到各支路電壓、電流。

節(jié)點(diǎn)電壓在所有網(wǎng)孔都自動(dòng)滿足KVL，因此，只需列出（n-1）個(gè)KCL方程，就可以使得電路得到求解。節(jié)點(diǎn)電壓法中的變量—節(jié)點(diǎn)電壓個(gè)數(shù)就是其余獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)（n-1）個(gè)。所以節(jié)點(diǎn)電壓是一組獨(dú)立變量。

使用節(jié)點(diǎn)電壓法的工作步驟：

① 選定各節(jié)點(diǎn)電壓的參考方向，也就是列方程式時(shí)這個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓方向。

② 列寫（n-1）個(gè)節(jié)點(diǎn)的KCL方程。

其中

稱為節(jié)點(diǎn)1-（n-1）的自電導(dǎo)，為與該節(jié)點(diǎn)相連的各支路的所有電導(dǎo)之和；

其余電導(dǎo)為各個(gè)節(jié)點(diǎn)的互電導(dǎo)：計(jì)算方法是兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)公共支路中所有電導(dǎo)之和的負(fù)值，不相鄰則互電導(dǎo)為零）。

為節(jié)點(diǎn)1-（n-1）中所有流入該節(jié)點(diǎn)的電源電流的代數(shù)和。注意此處，在求這個(gè)代數(shù)和時(shí)，流入為正，流出為負(fù)。

若支路為電壓源與電阻串聯(lián)，則電流為電壓源與電阻之比，當(dāng)電壓源正極性端連接該結(jié)點(diǎn)時(shí)取正，反之取負(fù)。

③ 聯(lián)立取求解節(jié)點(diǎn)電壓方程，得到節(jié)點(diǎn)電壓。

④ 指定待求支路電流的參考方向，根據(jù)歐姆定律就可求出該支路的電流。

下面單獨(dú)說(shuō)一下，含理想電壓源支路時(shí)的求解方法：

盡可能取電壓源支路的負(fù)極性端作為參考結(jié)點(diǎn)。則該支路的另一端電壓為電壓源電壓，因而不必再對(duì)此節(jié)點(diǎn)列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程；

如不能使電流源中只有一個(gè)網(wǎng)孔電流流過(guò)。則需要把電流源的電壓也作為變量列入網(wǎng)孔方程，并將電流源電流與有關(guān)網(wǎng)孔電流的關(guān)系作為補(bǔ)充方程，方程數(shù)仍然是足夠的，就可以一并求解了。

彌爾曼定理：

單結(jié)點(diǎn)偶電路：有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)多個(gè)支路的電路。所以它只有一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)，只有一個(gè)變量，只需要列寫一個(gè)方程。

獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電壓U1的計(jì)算公式：