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今天給大家?guī)硪黄督馕龃竽Ｐ椭械腟caling Law》，來自知乎@nghuyong

在大模型的研發(fā)中，通常會有下面一些需求：

計(jì)劃訓(xùn)練一個(gè)10B的模型，想知道至少需要多大的數(shù)據(jù)？

收集到了1T的數(shù)據(jù)，想知道能訓(xùn)練一個(gè)多大的模型？

老板準(zhǔn)備1個(gè)月后開發(fā)布會，能用的資源是100張A100，那應(yīng)該用多少數(shù)據(jù)訓(xùn)一個(gè)多大模型最終效果最好？

老板對現(xiàn)在10B的模型不滿意，想知道擴(kuò)大到100B模型的效果能提升到多少？

以上這些問題都可以基于Scaling Law的理論進(jìn)行回答。本文是閱讀了一系列caling Law的文章后的整理和思考，包括Scaling Law的概念和推導(dǎo)以及反Scaling Law的場景，不當(dāng)之處，歡迎指正。

核心結(jié)論

大模型的Scaling Law是OpenAI在2020年提出的概念[1]，具體如下:

對于Decoder-only的模型，計(jì)算量(Flops), 模型參數(shù)量, 數(shù)據(jù)大小(token數(shù))，三者滿足: 。(推導(dǎo)見本文最后)

模型的最終性能「主要與」計(jì)算量，模型參數(shù)量和數(shù)據(jù)大小三者相關(guān)，而與模型的具體結(jié)構(gòu)(層數(shù)/深度/寬度)基本無關(guān)。

固定模型的總參數(shù)量，調(diào)整層數(shù)/深度/寬度，不同模型的性能差距很小，大部分在2%以內(nèi)

對于計(jì)算量，模型參數(shù)量和數(shù)據(jù)大小，當(dāng)不受其他兩個(gè)因素制約時(shí)，模型性能與每個(gè)因素都呈現(xiàn)「冪律關(guān)系」

basic

為了提升模型性能，模型參數(shù)量和數(shù)據(jù)大小需要同步放大，但模型和數(shù)據(jù)分別放大的比例還存在爭議。

Scaling Law不僅適用于語言模型，還適用于其他模態(tài)以及跨模態(tài)的任務(wù)[4]：

multi_modal

這里橫軸單位為PF-days: 如果每秒鐘可進(jìn)行次運(yùn)算，就是1 peta flops，那么一天的運(yùn)算就是，這個(gè)算力消耗被稱為1個(gè)petaflop/s-day。

核心公式

第一項(xiàng)是指無法通過增加模型規(guī)模來減少的損失，可以認(rèn)為是數(shù)據(jù)自身的熵（例如數(shù)據(jù)中的噪音）

第二項(xiàng)是指能通過增加計(jì)算量來減少的損失，可以認(rèn)為是模型擬合的分布與實(shí)際分布之間的差。

根據(jù)公式，增大(例如計(jì)算量)，模型整體loss下降，模型性能提升；伴隨趨向于無窮大，模型能完美擬合數(shù)據(jù)的真實(shí)分布，讓第二項(xiàng)逼近0，整體趨向于

大模型中的Scaling Law

GPT4

下圖是GPT4報(bào)告[5]中的Scaling Law曲線，計(jì)算量和模型性能滿足冪律關(guān)系

橫軸是歸一化之后的計(jì)算量，假設(shè)GPT4的計(jì)算量為1?；?0,000倍小的計(jì)算規(guī)模，就能預(yù)測最終GPT4的性能。

縱軸是"Bits for words", 這也是交叉熵的一個(gè)單位。在計(jì)算交叉熵時(shí)，如果使用以 2 為底的對數(shù)，交叉熵的單位就是 "bits per word"，與信息論中的比特（bit）概念相符。所以這個(gè)值越低，說明模型的性能越好。

Baichuan2

下圖是Baichuan2[6]技術(shù)報(bào)告中的Scaling Law曲線。基于10M到3B的模型在1T數(shù)據(jù)上訓(xùn)練的性能，可預(yù)測出最后7B模型和13B模型在2.6T數(shù)據(jù)上的性能

MindLLM

下圖是MindLLM[7]技術(shù)報(bào)告中的Scaling Law曲線?；?0M到500M的模型在10B數(shù)據(jù)上訓(xùn)練的性能，預(yù)測出最后3B模型在500B數(shù)據(jù)上的性能。

Scaling Law實(shí)操: 計(jì)算效率最優(yōu)

根據(jù)冪律定律，模型的參數(shù)固定，無限堆數(shù)據(jù)并不能無限提升模型的性能，模型最終性能會慢慢趨向一個(gè)固定的值。

如圖所示，如果模型的參數(shù)量為（圖中紫色的線），在數(shù)量達(dá)到，模型基本收斂。所以在數(shù)據(jù)量達(dá)到后，繼續(xù)增加數(shù)據(jù)產(chǎn)生的計(jì)算量，沒有同樣計(jì)算量下提升模型參數(shù)量帶來的收益大（「計(jì)算效率更優(yōu)」）。根據(jù)，可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成模型參數(shù)與計(jì)算量的關(guān)系，即: 模型參數(shù)為，在計(jì)算量為 Flops，即 PF-days時(shí)基本收斂。也就是右圖中紫色線的拐點(diǎn)。

按照上面的思路，下面進(jìn)行Scaling Law的實(shí)操

首先準(zhǔn)備充足的數(shù)據(jù)（例如1T），設(shè)計(jì)不同模型參數(shù)量的小模型(例如0.001B - 1B)，獨(dú)立訓(xùn)練每個(gè)模型，每個(gè)模型都訓(xùn)練到基本收斂（假設(shè)數(shù)據(jù)量充足）。根據(jù)訓(xùn)練中不同模型的參數(shù)和數(shù)據(jù)量的組合，收集計(jì)算量與模型性能的關(guān)系。然后可以進(jìn)一步獲得「計(jì)算效率最優(yōu)」時(shí)，即同樣計(jì)算量下性能最好的模型規(guī)模和數(shù)據(jù)大小的組合，模型大小與計(jì)算量的關(guān)系，以及數(shù)據(jù)大小與計(jì)算量的關(guān)系。

如圖所示，根據(jù)左圖可以看到計(jì)算量與模型性能呈現(xiàn)冪律關(guān)系（可以認(rèn)為數(shù)據(jù)和模型都不受限制），根據(jù)中圖和右圖，可以發(fā)現(xiàn)，即計(jì)算效率最優(yōu)時(shí)，模型的參數(shù)與計(jì)算量的冪次成線性關(guān)系，數(shù)據(jù)量的大小也與計(jì)算量的冪次成線性關(guān)系。

根據(jù)，可以推算出，但是分別是多少存在分歧。

OpenAI[1]認(rèn)為模型規(guī)模更重要，即，而DeepMind在Chinchilla工作[2]和Google在PaLM工作[3]中都驗(yàn)證了，即模型和數(shù)據(jù)同等重要。

所以假定計(jì)算量整體放大10倍，OpenAI認(rèn)為模型參數(shù)更重要，模型應(yīng)放大 (5.32)倍，數(shù)據(jù)放大 (1.86)倍；后來DeepMind和Google認(rèn)為模型參數(shù)量與數(shù)據(jù)同等重要，兩者都應(yīng)該分別放大 (3.16)倍。

例如在PaLM的實(shí)驗(yàn)中，計(jì)算量從放大10倍到， 模型參數(shù)提升了3.2倍，3.35B->10.7B。

具體最好在自己的數(shù)據(jù)上做實(shí)驗(yàn)來獲得你場景下的和。

LLaMA: 反Scaling Law的大模型

假設(shè)我們遵循「計(jì)算效率最優(yōu)」來研發(fā)LLM，那么根據(jù)Scaling Law，給定模型大小，可以推算出最優(yōu)的計(jì)算量，進(jìn)一步根據(jù)最優(yōu)計(jì)算量就能推算出需要的token數(shù)量，然后訓(xùn)練就行。

但是「計(jì)算效率最優(yōu)」這個(gè)觀點(diǎn)是針對「訓(xùn)練階段」而言的，并不是「推理階段」。

Meta在LLaMA[8]的觀點(diǎn)是：給定一個(gè)模型的目標(biāo)性能，并不需要用最優(yōu)的計(jì)算效率在「最快」時(shí)間訓(xùn)練好模型，而應(yīng)該在更大規(guī)模的數(shù)據(jù)上，訓(xùn)練一個(gè)相對「更小」模型，這樣的模型在推理階段的成本更低，盡管訓(xùn)練階段的效率不是最優(yōu)的（同樣的算力其實(shí)能獲得更優(yōu)的模型，但是模型尺寸也會更大）。所以盡管根據(jù)Scaling Law，10B模型只需要200B的數(shù)據(jù)，但是作者發(fā)現(xiàn)7B的模型性能在1T的數(shù)據(jù)后還能繼續(xù)提升。

所以LLaMA工作的重點(diǎn)是訓(xùn)練一系列語言模型，通過使用更多的數(shù)據(jù)，讓模型在「有限推理資源下有最佳的性能」。

具體而言，確定模型尺寸后，Scaling Law給到的只是最優(yōu)的數(shù)據(jù)供給，或者說是一個(gè)「至少」的數(shù)據(jù)量，實(shí)際上觀察在各個(gè)指標(biāo)上的性能表現(xiàn)，只要還在繼續(xù)增長，就可以持續(xù)增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)。

計(jì)算量、模型和數(shù)據(jù)大小的關(guān)系推導(dǎo)

對于Decoder-only的模型，計(jì)算量(Flops), 模型參數(shù)量(除去Embedding部分), 數(shù)據(jù)大小(token數(shù)), 三者的關(guān)系為:

推導(dǎo)如下，記模型的結(jié)構(gòu)為:

decoder層數(shù):

attention 隱層維度:

attention feedforward層維度: ， 一般來說

首先推導(dǎo)模型的參數(shù)量（忽略embedding，norm和bias）計(jì)算如下:

transformer每層包括: self-attetion 和 MLP 兩個(gè)部分:

self-attention的參數(shù)為，每個(gè)矩陣的維度均為，整體參數(shù)量:

MLP的層數(shù)的參數(shù)為，整體參數(shù)量:

所以每層的參數(shù)量為: ，全部的層的參數(shù)量為: ，即

繼續(xù)推導(dǎo)模型的前向推理的計(jì)算量:

計(jì)算量的單位是FLOPs，floating point operations, 對于矩陣，相乘的計(jì)算量為，一次加法一次乘法。

假設(shè)Decoder層的輸入, 為batch size，為序列長度, 為模型維度。

self-attention部分的計(jì)算:

輸入線性層: ，計(jì)算量為:

atention計(jì)算: ，計(jì)算量為:

socre與V的計(jì)算: ，計(jì)算量為:

輸出線性層: ，計(jì)算量為:

MLP部分的計(jì)算

升維: ，計(jì)算量為:

降維: ，計(jì)算量為:

所以整個(gè)decoder層的計(jì)算量為:，全部層為:

反向傳播計(jì)算量是正向的2倍，所以全部的計(jì)算量為:

平均每個(gè)token的計(jì)算量為()

所以對于全部包含個(gè)token的數(shù)據(jù)集:

審核編輯：黃飛