在之前的文章中，我們研究了信號x（t）的傅立葉變換的一些特性。總結(jié)一下：

考慮到傅里葉變換是可逆的，我們可以寫成：

這個概念如圖1所示。

圖1：傅里葉變換的反演運算

單位脈沖

讓我們設(shè)想一個電路，它攜帶的電流在短時間內(nèi)保持恒定值，然后消失。理想情況下，我們有：

其中持續(xù)時間T足夠小。此外，我們假設(shè)i0=Q0/T，其中Q0是與電流i0值相關(guān)的電荷（圖2）。這個理想的實驗使我們能夠控制電流的持續(xù)時間T，同時保留電荷值。因此，通過減小T，我們得到如圖3所示的趨勢。

圖2：方程（3）的電流趨勢

圖3：持續(xù)時間T值減小的方程（3）的電流趨勢。出于圖形的原因，我們僅針對起始值突出顯示i0/T

T的逐漸減小在數(shù)學(xué)上由極限通過運算表示：

這顯然是無稽之談。然而，運算（4）中所涉及的電荷是Q0。事實上，電荷由下式給出：

也就是說，圖2中與T無關(guān)的矩形的面積：

因此，“電流”（4）仍然與電荷Q0相關(guān)。由于（4）的模糊性，我們使用了引號。然而，結(jié)果（6）是顯而易見的，因為“電流”盡管有一個無窮大的峰值，但持續(xù)時間卻無窮小，并且我們知道0·∞也是無窮的形式，在這種情況下，它返回的是最終量Q0。用符號表示就是：

其中δ（t）是狄拉克δ函數(shù)：

式（6）涉及：

這一特性可概括為如下式子：

其中g(shù)（t）是任意正則函數(shù)。因此，積分值等于δ函數(shù)自變量消失時g（t）所假定的值。由此可見，對于一個平移的δ函數(shù)，我們有：

請注意，δ函數(shù)的量綱是其參數(shù)的倒數(shù)。因此，在我們的例子中，它具有時間的倒數(shù)（即頻率）的量綱。

根據(jù)δ函數(shù)，電流（4）可以寫成如下：

這就是所謂的單位脈沖或數(shù)學(xué)脈沖（圖4）。

我們已經(jīng)考慮了電流的具體情況，但也可以考慮電壓。這里，單位脈沖可以寫為v（t）=Aδ（t），其中A是一個常數(shù)，量綱為V·s。

圖4：單位脈沖的圖形表示

傅里葉變換

任何單位脈沖在t=0處出現(xiàn)奇點都不會嚇到我們，因為脈沖在任何情況下都會在無窮遠處為零，因此我們預(yù)計傅里葉積分會收斂。事實上，對于特性（10），我們有：

也就是說，單位脈沖的傅立葉頻譜是平坦的。從物理上講，這意味著單位脈沖可以分解為無數(shù)個從?∞到+∞的正弦頻率振蕩。

結(jié)論

為了定義單位脈沖，我們從矩形脈沖（3）開始，它在數(shù)學(xué)上更簡單。從正弦振蕩開始也能得到同樣的結(jié)果，正弦振蕩從?T/2處開始并在T/2處抵消。

我們建議讀者證明傅里葉變換是一個“sinc”函數(shù)，即sin（f?f0）/（f?f0）類型，其中f0是截斷振蕩的頻率。通過減少后者的持續(xù)時間，sinc函數(shù)“變寬”，在T→0的極限范圍內(nèi)變得嚴(yán)格平坦，從而再現(xiàn)了單位脈沖的傅里葉變換。相反，如果持續(xù)時間T逐漸增加，則sinc函數(shù)“收縮”，并且對于T→+∞為δ（f?f0），即以f0為中心的δ函數(shù)。這并不奇怪，因為我們現(xiàn)在有一個頻率為f0的從?∞到+∞的完整振蕩，因此傅里葉頻譜是一條以f0為中心的線，在數(shù)學(xué)上用δ（f?f0）表示。

我們的結(jié)論是，必須牢記以下雙重性：