線彈性模型是結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中最基礎(chǔ)的材料模型。雖然聽(tīng)上去微不足道，但模型中卻包含不少難以一眼看出的重要細(xì)節(jié)。在本篇文章中，我們將深入討論線彈性材料模型的相關(guān)理論和應(yīng)用，并且大致介紹其各向同性和各向異性、材料數(shù)據(jù)的容許值、不可壓縮性，以及與幾何非線性之間的相互作用。

各向同性線彈性

在絕大多數(shù)涉及線彈性材料的仿真中，我們都要模擬完全不具有方向敏感性的各向同性材料。描述這種材料只需要兩個(gè)獨(dú)立材料參數(shù)。有很多方法來(lái)選擇合適的參數(shù)，不過(guò)其中某些參數(shù)則更為常用。

楊氏模量、剪切模量和泊松比

楊氏模量、剪切模量和泊松比是材料數(shù)據(jù)表中最常見(jiàn)的參數(shù)。它們不是獨(dú)立參數(shù)，因?yàn)榧羟心Ａ?img src="http://file.elecfans.com/web1/M00/50/2A/pIYBAFrvoxKATSn9AAABGCu7rKM831.png" style="" />

楊氏模量可以通過(guò)單軸拉伸試驗(yàn)直接測(cè)量，而剪切模量可以通過(guò)純扭試驗(yàn)測(cè)量。

在單軸試驗(yàn)中，泊松比用于確定材料的橫向收縮（或拉升）程度。其容許范圍為 -1 <

對(duì)于大部分金屬和合金而言，

在給定

當(dāng)

體積模量

體積模量

當(dāng)

體積模量往往與剪切模量被一起指定。從某種意義上講，這兩個(gè)參數(shù)是最獨(dú)立的參數(shù)選擇。體積變化僅僅取決于體積模量，扭曲則完全受剪切模量決定。

拉梅常數(shù)

拉梅常數(shù)

常數(shù)

線彈性材料的不可壓縮性

橡膠一類的材料幾乎不可壓縮。從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，完全不可壓縮材料與可壓縮材料具有本質(zhì)的區(qū)別。因?yàn)椴粫?huì)發(fā)生體積變化，因此無(wú)法確定其平均應(yīng)力。平均應(yīng)力（壓力）p是體積變化

不成立，而必須用一個(gè)約束說(shuō)明進(jìn)行替代

不可壓縮性還有另一個(gè)角度需要注意，

想法可行，但在這種情況中，基于標(biāo)準(zhǔn)位移的有限元公式可能得出不理想的結(jié)果，這是由鎖定現(xiàn)象引起的。造成的后果包括：

• 模型過(guò)于生硬。

• 應(yīng)力呈棋盤(pán)式分布。

• 方程的病態(tài)導(dǎo)致求解器發(fā)生錯(cuò)誤或發(fā)出警告。

補(bǔ)救方法是使用混合方程，將壓力作為額外自由度引入。在 COMSOL Multiphysics 中，勾選材料模型設(shè)置窗口中的幾乎不可壓縮材料復(fù)選框，即可啟用混合方程。

為線彈性材料啟用混合公式的部分設(shè)置。

當(dāng)泊松比約大于或等于 0.45 時(shí)，體積模量比剪切模量大超過(guò)一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此使用混合公式是明智的做法。其效果示例如下圖所示。

一個(gè)簡(jiǎn)單的平面應(yīng)變模型中的應(yīng)力分布，= 0.499。上方的圖表示基于標(biāo)準(zhǔn)位移的方程，下方的圖表示混合方程。

在僅涉及位移自由度的解中，其應(yīng)力分布圖在左端（即存在約束的位置）呈現(xiàn)出扭曲的狀態(tài)。使用混合公式后，這些扭曲幾乎全部消失。

正交各向異性和各向異性

在一般情況下，線彈性材料的材料屬性都具有方向敏感性。其中最普遍的特性是各向異性，這意味著全部六個(gè)應(yīng)力分量都取決于各自不同的應(yīng)變分量。完整表示這些分量需要 21 個(gè)材料參數(shù)，很明顯，獲取全部數(shù)據(jù)是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)。如果將應(yīng)力

幸運(yùn)的是，各向異性材料通常會(huì)表現(xiàn)一定的對(duì)稱性。在正交各向異性材料中，有三個(gè)正交方向上的剪切作用和軸向動(dòng)作實(shí)現(xiàn)解耦。也就是說(shuō)，當(dāng)材料沿著其中一個(gè)主方向拉伸時(shí)，它只會(huì)在兩個(gè)正交方向上收縮，而不會(huì)受剪切力的作用。完整描述正交各向異性材料需要九個(gè)獨(dú)立材料參數(shù)。

當(dāng)以柔度形式記錄時(shí)，正交各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系會(huì)更加清晰明了，其中

由于柔度矩陣必然是對(duì)稱的，因此使用的十二個(gè)常數(shù)可通過(guò)符合下方形式的三個(gè)對(duì)稱關(guān)系減少為九個(gè)

請(qǐng)注意

各向異性和正交各向異性常見(jiàn)于非均質(zhì)材料。其材料屬性通常不是由測(cè)量得到的，人們更傾向于通過(guò)從微觀到宏觀尺度的均質(zhì)化過(guò)程計(jì)算這些屬性。關(guān)于這種均質(zhì)化作用在完全不同的研究背景中的討論，請(qǐng)?jiān)L問(wèn)文末“閱讀原文”查看這篇文章。

對(duì)于非各向同性材料來(lái)說(shuō)，使用描述各向同性材料的類似材料參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，在取值上可能會(huì)受到一些限制。我們雖難以立即發(fā)現(xiàn)這些限制，但有兩個(gè)注意事項(xiàng)會(huì)對(duì)我們找到限制有所幫助：

1. 本構(gòu)矩陣

   1. 對(duì)于各向異性材料，唯一的選擇是檢查是否所有特征值都為正。

   2. 對(duì)于正交各向異性材料，適用條件為：全部六個(gè)彈性模量皆為正，且

2. 如果材料的壓縮率低，則必須使用混合方程。

   1. 我們可以估計(jì)等效體積模量和剪切模量的值。

   2. 在不確定的情況下，為了避免可能出現(xiàn)的誤差，最好在混合方程中引入額外自由度。

幾何非線性

在解決幾何非線性問(wèn)題時(shí)，“線彈性”的含義實(shí)際上是一個(gè)常規(guī)問(wèn)題。這里的問(wèn)題是，我們有多種應(yīng)力和應(yīng)變的數(shù)學(xué)表示方式。如希望了解有關(guān)應(yīng)力和應(yīng)變的不同測(cè)量方式，請(qǐng)點(diǎn)擊文末的“閱讀原文”查看這一文章。

因?yàn)樵?COMSOL Multiphysics 中，主應(yīng)力和應(yīng)變量分別為第二 Piola-Kirchhoff 應(yīng)力和 Green-Lagrange 應(yīng)變，因此線彈性自然地被解釋為兩個(gè)量之間的線性關(guān)系。人們有時(shí)將這種材料稱作 St. Venant 材料。

人們通常憑直覺(jué)認(rèn)為“線彈性”指的是簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)中力與位移的線性關(guān)系。事實(shí)并非如此，因?yàn)閼?yīng)力和應(yīng)變都取決于變形。為了理解這一點(diǎn)，我們來(lái)看一看橫截面為正方形的條塊。

受到均勻拉伸的條塊。

條塊的初始長(zhǎng)度為

在這里，

力可表示為軸向 Cauchy 應(yīng)力

為了使用線彈性關(guān)系，Cauchy 應(yīng)力

其中

由于對(duì)受到單軸拉伸作用的 St. Venant 材料來(lái)說(shuō)，其軸向應(yīng)力與軸向應(yīng)變的關(guān)系為

已知 Green-Lagrange 應(yīng)變張量在軸向上的項(xiàng)定義為

所以力與位移的關(guān)系為

具有幾何非線性的線彈性材料實(shí)際上意味著力與工程應(yīng)變（或者力與位移之間，因?yàn)?img src="http://file.elecfans.com/web1/M00/50/2B/pIYBAFrvoyKAdnBpAAACJRBFTBc955.png" style="" />

幾何非線性條件下的線彈性材料單軸響應(yīng)。

如圖所示，受壓側(cè)的材料剛度接近于零：

• 通常，在引入更復(fù)雜的材料模型之前，您可能想快速檢查一遍“數(shù)量級(jí)”。

• 模型中存在奇異點(diǎn)，并且致使某一點(diǎn)上產(chǎn)生了極高的應(yīng)變。

  • 點(diǎn)擊此處，閱讀更多關(guān)于奇異點(diǎn)的知識(shí)。

• 接觸問(wèn)題中的研究總是圍繞幾何非線性問(wèn)題。

  • 高壓縮應(yīng)變通常在分析過(guò)程中出現(xiàn)于某一時(shí)刻的局部接觸區(qū)域。

對(duì)于以上所有情況來(lái)說(shuō)，如果壓縮應(yīng)力過(guò)大，求解器也許會(huì)無(wú)法求解。如果您懷疑我們的示例屬于這種情況，繪制最小主應(yīng)變是一個(gè)很好的檢測(cè)方法。如果它小于 -0.3 左右，我們就預(yù)測(cè)到會(huì)發(fā)生類似故障。由 Green-Lagrange 應(yīng)變得到的臨界值結(jié)果為 -1/3，如果這是一個(gè)問(wèn)題，您應(yīng)該考慮更換一個(gè)合適的超彈性材料模型。

壓縮或許不是唯一的問(wèn)題。在上述分析里，泊松比沒(méi)有出現(xiàn)在方程中。那么橫截面的情況如何呢？

根據(jù)單軸情況中的定義，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的關(guān)系為

當(dāng)這些應(yīng)變是 Green-Lagrange 應(yīng)變時(shí)，這便是一個(gè)非線性關(guān)系，可表述為

因此橫截面的變化具有很強(qiáng)的非線性。求解這個(gè)二次方程可得出如下的工程應(yīng)變之間的關(guān)系

結(jié)果如下圖所示。

St. Venant 材料受到單軸拉伸作用時(shí)，其橫向位移隨軸向位移而變化。圖中顯示了五個(gè)不同的泊松比的值。

如您所見(jiàn)，當(dāng)泊松比的值更高時(shí)，橫截面在大拉伸應(yīng)力的作用下的塌陷更為迅速。

如果選擇另一種應(yīng)力和應(yīng)變數(shù)學(xué)表述方式，例如 Cauchy 應(yīng)力與對(duì)數(shù)或“真實(shí)的”應(yīng)變成正比，那么我們將得到完全不同的響應(yīng)。當(dāng)力-位移響應(yīng)取決于泊松比的值時(shí)，這種材料的剛度反而會(huì)隨著拉伸而下降。雖然在兩個(gè)不同的仿真平臺(tái)中，利用大應(yīng)變彈性計(jì)算出的結(jié)果存在巨大差異，但兩種材料仍舊皆可稱為“線彈性”材料。