【導(dǎo)讀】為了更好地理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)作，今天只為大家解讀神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)背后的數(shù)學(xué)原理。而作者寫(xiě)這篇文章的目的一個(gè)是為了整理自己學(xué)到的知識(shí)；第二個(gè)目的也是為了分享給大家，如果學(xué)習(xí)時(shí)有困惑難解的知識(shí)，希望這篇文章可以有助于大家的學(xué)習(xí)與理解。對(duì)于代數(shù)和微積分相關(guān)內(nèi)容基礎(chǔ)薄弱的小伙伴們，雖然文中涉及不少數(shù)學(xué)知識(shí)，但我會(huì)盡量讓內(nèi)容易于大家理解。

▌解析深度網(wǎng)絡(luò)背后的數(shù)學(xué)

如今，已有許多像 Keras, TensorFlow, PyTorch 這樣高水平的專(zhuān)門(mén)的庫(kù)和框架，我們就不用總擔(dān)心矩陣的權(quán)重太多，或是對(duì)使用的激活函數(shù)求導(dǎo)時(shí)存儲(chǔ)計(jì)算的規(guī)模太大這些問(wèn)題了。基于這些框架，我們?cè)跇?gòu)建一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，甚至是一個(gè)有著非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)時(shí)，也僅需少量的輸入和代碼就足夠了，極大地提高了效率。無(wú)論如何，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)背后的原理方法對(duì)于像架構(gòu)選擇、超參數(shù)調(diào)整或者優(yōu)化這樣的任務(wù)有著很大的幫助。

圖一 訓(xùn)練集可視化

舉個(gè)例子，我們將利用上圖展示的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)去解決一個(gè)二分類(lèi)問(wèn)題。從上面的圖可以看出，數(shù)據(jù)點(diǎn)形成了兩個(gè)圓，這對(duì)于許多傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法是不容易的，但是現(xiàn)在用一個(gè)小的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就可能很好地解決這個(gè)問(wèn)題了。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們將構(gòu)建一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：包括五個(gè)全連接層，每層都含有不同數(shù)目的單元，結(jié)構(gòu)如下：

圖二 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)

其中，隱藏層使用 ReLU 作為激活函數(shù)，輸出層使用 Sigmoid。這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的架構(gòu)，但是對(duì)于解決并解釋這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)足夠了。

用 KERAS 求解

首先，先給大家介紹一個(gè)解決方法，使用了一個(gè)最受歡迎的機(jī)器學(xué)習(xí)庫(kù)—— KERAS 。

fromkeras.modelsimportSequentialfromkeras.layersimportDensemodel=Sequential()model.add(Dense(4,input_dim=2,activation='relu'))model.add(Dense(6,activation='relu'))model.add(Dense(6,activation='relu'))model.add(Dense(4,activation='relu'))model.add(Dense(1,activation='sigmoid'))model.compile(loss='binary_crossentropy',optimizer='adam',metrics=['accuracy'])model.fit(X_train,y_train,epochs=50,verbose=0)

正如我在簡(jiǎn)介中提到的，少量的輸入數(shù)據(jù)和代碼就足以構(gòu)建和訓(xùn)練出一個(gè)模型，并且在測(cè)試集上的分類(lèi)精度幾乎達(dá)到100%。概括來(lái)講，我們的任務(wù)其實(shí)就是提供與所選架構(gòu)一致的超參數(shù)（層數(shù)、每層的神經(jīng)元數(shù)、激活函數(shù)或者迭代次數(shù)）。先給大家展示一個(gè)超酷的可視化結(jié)果，是我在訓(xùn)練過(guò)程中得到的：

圖三 訓(xùn)練中正確分類(lèi)區(qū)域的可視化

現(xiàn)在我們來(lái)解析這背后的原理。

▌什么是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)？

讓我們從關(guān)鍵問(wèn)題開(kāi)始：什么是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)？它是一種由生物啟發(fā)的，用來(lái)構(gòu)建可以學(xué)習(xí)并且獨(dú)立解釋數(shù)據(jù)中聯(lián)系的計(jì)算機(jī)程序的方法。如上圖二所示，網(wǎng)絡(luò)就是各層神經(jīng)元的集合，這些神經(jīng)元排列成列，并且相互之間連接，可以進(jìn)行交流。

▌單個(gè)神經(jīng)元

每個(gè)神經(jīng)元以一組 x 變量（取值從1到 n ）的值作為輸入，計(jì)算預(yù)測(cè)的 y-hat 值。假設(shè)訓(xùn)練集中含有 m 個(gè)樣本，則向量 x 表示其中一個(gè)樣本的各個(gè)特征的取值。此外，每個(gè)單元有自己的參數(shù)集需要學(xué)習(xí)，包括權(quán)重向量和偏差，分別用 w 和 b 表示。在每次迭代中，神經(jīng)元基于本輪的權(quán)重向量計(jì)算向量 x 的加權(quán)平均值，再加上偏差。最后，將計(jì)算結(jié)果代入一個(gè)非線(xiàn)性激活函數(shù) g。我會(huì)在下文中介紹一些最流行的激活函數(shù)。

圖四 單個(gè)神經(jīng)元

▌單層

現(xiàn)在我們看一下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中整體的一層是怎么計(jì)算的。我們將整合每個(gè)單元中的計(jì)算，進(jìn)行向量化，然后寫(xiě)成矩陣的形式。為了統(tǒng)一符號(hào)，我們選取第 l 層寫(xiě)出矩陣等式，下標(biāo) i 表示第 i 個(gè)神經(jīng)元。

圖五 單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

注意一點(diǎn)：當(dāng)我們對(duì)單個(gè)單元寫(xiě)方程的時(shí)候，用到了 x 和 y-hat，它們分別表示特征列向量和預(yù)測(cè)值。但當(dāng)我們對(duì)整個(gè)層寫(xiě)的時(shí)候，要用向量 a 表示相應(yīng)層的激活值。因此， 向量 x 可以看做第0層輸入層的激活值。每層的各個(gè)神經(jīng)元相似地滿(mǎn)足如下等式：

為了清楚起見(jiàn)，以下是第二層的所有表達(dá)式：

可見(jiàn)，每層的表達(dá)式都是相似的。用 for 循環(huán)來(lái)表示很低效，因此為了加速計(jì)算速度我們使用了向量化。首先，將權(quán)重向量 w 的轉(zhuǎn)置堆疊成矩陣 W。相似地，將各個(gè)神經(jīng)元的偏差也堆在一起組成列向量 b。由此，我們就可以很輕松地寫(xiě)出一個(gè)矩陣等式來(lái)表示關(guān)于某一層的所有神經(jīng)元的計(jì)算。使用的矩陣和向量維數(shù)表示如下：

▌多樣本向量化

到目前為止，我們寫(xiě)出的等式僅包含一個(gè)樣本。但在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，通常會(huì)處理一個(gè)龐大的數(shù)據(jù)集，可達(dá)百萬(wàn)級(jí)的輸入。因此，下一步需要進(jìn)行多樣本向量化。我們假設(shè)數(shù)據(jù)集中含有 m 個(gè)輸入，每個(gè)輸入有 nx 個(gè)特征。首先，將每層的列向量 x, a, z 分別堆成矩陣 X, A, Z。然后，根據(jù)新的矩陣重寫(xiě)之前的等式。

▌什么是激活函數(shù)？我們?yōu)槭裁葱枰?/p>

激活函數(shù)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵元素之一。沒(méi)有它們，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就只是一些線(xiàn)性函數(shù)的組合，其本身也只能是一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)。我們的模型有復(fù)雜度的限制，不能超過(guò)邏輯回歸。其中，非線(xiàn)性元保證了更好的適應(yīng)性，并且能在學(xué)習(xí)過(guò)程中提供一些復(fù)雜的函數(shù)。激活函數(shù)對(duì)學(xué)習(xí)的速度也有顯著影響，這也是在選擇時(shí)的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)之一。圖六展示了一些常用的激活函數(shù)。近年來(lái)，隱藏層中使用最廣的激活函數(shù)大概就是 ReLU 了。不過(guò)，當(dāng)我們?cè)谧龆M(jìn)制分類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們有時(shí)仍然用 sigmoid，尤其是在輸出層中，我們希望模型返回的值在0到1之間。

圖六 常用激活函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)函數(shù)圖像

▌?chuàng)p失函數(shù)

關(guān)于學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)展的基本的信息來(lái)源就是損失函數(shù)值了。通常來(lái)說(shuō)，損失函數(shù)可以表示我們離“理想”值還差多遠(yuǎn)。在本例中，我們用binary crossentropy（兩元交叉熵）來(lái)作為損失函數(shù)，不過(guò)還有其他的損失函數(shù)，需要具體問(wèn)題具體分析。兩元交叉熵函數(shù)表示如下：

下圖展示了在訓(xùn)練過(guò)程中其值的變化，可見(jiàn)其值隨著迭代次數(shù)如何增加與減少，精度如何提高

圖七 訓(xùn)練過(guò)程中精確度及損失的變化

▌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如何學(xué)習(xí)？

學(xué)習(xí)過(guò)程其實(shí)就是在不斷地更新參數(shù) W 和 b 的值從而使損失函數(shù)最小化。為此，我們運(yùn)用微積分以及梯度下降的方法來(lái)求函數(shù)的極小。在每次迭代中，我們將分別計(jì)算損失函數(shù)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)值。對(duì)這方面計(jì)算不太熟悉的小伙伴，我簡(jiǎn)單解釋一下，導(dǎo)數(shù)可以刻畫(huà)函數(shù)的（斜率）。我們已經(jīng)知道了怎樣迭代變量會(huì)有怎么樣的變化，為了對(duì)梯度下降有更直觀(guān)的認(rèn)識(shí)，我展示了一個(gè)可視化動(dòng)圖，從中可以看到我們是怎么通過(guò)一步步連續(xù)的迭代逼近極小值的。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中也是一樣的——每一輪迭代所計(jì)算的梯度顯示我們應(yīng)該移動(dòng)的方向。而他們間最主要的差別在于，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要計(jì)算更多的參數(shù)。確切地說(shuō)，怎么計(jì)算如此復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)呢？

圖八 動(dòng)態(tài)梯度下降

▌反向傳播算法

反向傳播算法是一種可以計(jì)算十分復(fù)雜的梯度的算法。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，各參數(shù)的調(diào)整公式如下：

其中，超參數(shù) α 表示學(xué)習(xí)率，用以控制更新步長(zhǎng)。選定學(xué)習(xí)率是非常重要的——太小，NN 學(xué)習(xí)得太慢；太大，無(wú)法達(dá)到極小點(diǎn)。用鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算 dW 和 db —— 損失函數(shù)對(duì) W 和 b 的偏導(dǎo)數(shù)， dW 和 db 的維數(shù)與 W 和 b 相等。圖九展示了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的一系列求導(dǎo)操作，從中可以清楚地看到前向和后向傳播是怎樣共同優(yōu)化損失函數(shù)的。

圖九 前向與后向傳播

▌結(jié)論

希望這篇文章對(duì)各位小伙伴理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理有所幫助。當(dāng)我們使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，理解這個(gè)過(guò)程的基本原理是很有幫助的。文中講述的內(nèi)容雖然只是冰山一角，但都是我認(rèn)為最重要的知識(shí)點(diǎn)。因此，我強(qiáng)烈建議大家能試著獨(dú)立地去編一個(gè)小的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，不要依賴(lài)框架，僅僅只用 Numpy 嘗試一下。