在電力系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)， 電網(wǎng)提供的能量有兩部分： 一部分是有功功率， 用于能量單向轉(zhuǎn)換； 一部分是無功功率， 用于電路內(nèi)電場和磁場的能量交換。無功功率對(duì)外不做功， 但是對(duì)供電系統(tǒng)和負(fù)荷的正常運(yùn)行十分重要，在電網(wǎng)中流動(dòng)會(huì)引起電壓和功率損耗。因此， 必須計(jì)量電力用戶從電網(wǎng)吸收以及電網(wǎng)傳送的無功功率的大小。

移相法是無功功率計(jì)量算法中的一種， 它是利用無功功率和有功功率之間的相位角相差π/2 關(guān)系， 用計(jì)算有功功率的乘法器來計(jì)算無功功率。

本文采用了兩種方法來實(shí)現(xiàn)移相法， 在Matlab 上對(duì)這兩種方法進(jìn)行了設(shè)計(jì)、仿真， 并采用EP2C50 型號(hào)的FPGA 實(shí)現(xiàn)了希爾伯特濾波器。

1 無功功率與有功功率的關(guān)系

假設(shè)電壓、電流如式(1) 、式(2) 所示：

則有功功率、無功功率分別為：

式(1)~ 式(4) 中，0~n 表示諧波次數(shù)，Uk 、Ik分別為電壓電流幅值，φk為電壓、電流的相位差； 式(3) 表示有功功率，式(4)表示無功功率。式(4)與式(3)相位角相差π/2 ，針對(duì)無功功率計(jì)算的移相法就是為了得到這π/2 相位差值， 這是利用移相法計(jì)算無功功率的理論依據(jù)， 即用計(jì)算有功功率的乘法器來計(jì)算無功功率， 這在數(shù)字信號(hào)處理中十分有用。在實(shí)際應(yīng)用中，乘法器的兩個(gè)輸入序列變成移相后的電壓序列與電流序列就可以實(shí)現(xiàn)無功功率計(jì)算。而在計(jì)算有功功率時(shí)已經(jīng)獲得了電壓的采樣值、電流的采樣值及電壓電流之間的相位角， 當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)滿足計(jì)算諧波無功電能的奈奎斯特采樣定理時(shí)， 針對(duì)計(jì)算無功功率， 有兩種方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)離散信號(hào)的π/2移相： 一種是基于采樣點(diǎn)平移來實(shí)現(xiàn)； 另一種則是通過Hilbert 變換來實(shí)現(xiàn)。

2 基于采樣點(diǎn)平移的移相法

基于采樣點(diǎn)平移的無功計(jì)量理論是將得到的離散的采樣點(diǎn)信號(hào)進(jìn)行π/2 移相( 若N 為信號(hào)一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)， 則π/2 移相就是移動(dòng)N/4 個(gè)點(diǎn))， 然后采用式(3)計(jì)算無功功率。如圖1 所示，曲線1 是原正弦波信號(hào)；曲線2 是基于采樣點(diǎn)平移π/2 后的信號(hào)， 從圖中可以看出，基于采樣點(diǎn)平移的移相法精確地實(shí)現(xiàn)了π/2 移相。

但是這種方法是針對(duì)基波頻率的采樣點(diǎn)移相， 實(shí)際應(yīng)用時(shí)有其局限性。

(1) 基于采樣點(diǎn)平移方法要求被采樣的信號(hào)只包含基波分量。假如對(duì)一個(gè)包含基波和3 次諧波的信號(hào)( 基波的每個(gè)周期2π 內(nèi)) 進(jìn)行100 次采樣， 那么基波的π/2移相就是移動(dòng)25 個(gè)采樣點(diǎn)， 但是， 由于3 次諧波的周期縮為基波的1/3 ，25 個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)于3 次諧波而言， 已經(jīng)是移相3π/2 了。如圖2 所示， 曲線1 是原正弦波信號(hào)；曲線2 是理論上平移π/2 后的信號(hào)， 曲線3 是基于采樣點(diǎn)平移后的信號(hào)， 實(shí)際已經(jīng)平移了3π/2。

(2) 基于采樣點(diǎn)平移還要求每個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)是4 的整數(shù)倍， 否則將不能被4 整除而得不到π/2 的移相。如圖3 所示， 曲線1 為原正弦波信號(hào)， 一個(gè)周期內(nèi)采樣點(diǎn)為75， 不是4 的整數(shù)倍； 曲線2 為理論移相π/2 的信號(hào)， 曲線3 為基于采樣點(diǎn)平移的信號(hào)， 與曲線2 信號(hào)對(duì)比已有一定的偏移。

基于采樣點(diǎn)平移的無功計(jì)量方法雖然存在其局限性， 但仍被一些要求不高的場合采用， 主要是其實(shí)現(xiàn)相對(duì)簡單， 對(duì)硬件的性能要求也不是很高， 但是當(dāng)電網(wǎng)中的諧波成分提高時(shí)，基于采樣點(diǎn)平移計(jì)量無功電能的精度就很難保證。

3 Hilbert 變換計(jì)算無功功率

3.1 Hilbert 數(shù)字濾波器基本原理

理想的Hilbert 變換的定義為：

其幅值和相角分別為：

由式(6)~ 式(7) 可以看出，Hilbert 數(shù)字濾波器的幅值特性為1， 信號(hào)通過Hilbert 數(shù)字濾波器后， 其負(fù)頻率成分進(jìn)行相移π/2， 正頻率成分進(jìn)行相移-π/2?？梢?，Hilbert 數(shù)字濾波器能用于實(shí)現(xiàn)式(4) 計(jì)算無功功率。

3.2 FIR 型Hilbert 數(shù)字濾波器的Matlab 設(shè)計(jì)

線性相位FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有窗函數(shù)法、頻率抽樣法和等波紋切比雪夫法( 即最優(yōu)法) ， 本文采用等波紋切比雪夫法進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。對(duì)于50 Hz 的工頻基波信號(hào)， 若考慮最高諧波次數(shù)為19， 則可以將該數(shù)字濾波器所關(guān)心的頻率范圍設(shè)計(jì)為40 Hz~960 Hz。根據(jù)奈奎斯特采樣定理， 采樣頻率Fs 應(yīng)不小于2 倍的最高次諧波頻率， 所以至少取2 kHz。

Hilbert 數(shù)字濾波器取N 為奇數(shù)， 設(shè)所要設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)為， 逼近加權(quán)函數(shù)為W(w)， 用線性相位FIR 數(shù)字濾波器的H(w) 做逼近函數(shù)， 則逼近誤差函數(shù)為：

令δ=max{|E(w)|} ， 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問題就是尋找使δ最小的系統(tǒng)函數(shù)H(w)，即獲取最優(yōu)的單位沖激響應(yīng)h(n)。所以數(shù)字濾波器應(yīng)有式(9)所要求的頻率響應(yīng)：

圖4 所示為等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)的Hilbert 數(shù)字濾波器的幅頻特性和相頻特性。從圖中可以看出該數(shù)字濾波器具有良好的幅頻特性和相頻特性， 能獲得嚴(yán)格線性相位及很好的衰減特性。

圖5 為頻率為150 Hz 的正弦波信號(hào)經(jīng)過Hilbert 濾波器以后的信號(hào)。

由仿真結(jié)果可知所設(shè)計(jì)的Hilbert 數(shù)字濾波器能精確地將所輸入的電壓諧波信號(hào)的基波及每次諧波都移相，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算獲得精確的無功功率值。

3.3 FIR 型Hilbert 數(shù)字濾波器的FPGA 實(shí)現(xiàn)

3.3.1 FIR IP 核的生成

Altera 公司提供的FIR IP 核是一個(gè)高性能、參數(shù)化的IP 核， 可以用來實(shí)現(xiàn)FIR 濾波器。該IP 核支持全并行結(jié)構(gòu)、全串行結(jié)構(gòu)、多位串行結(jié)構(gòu)、可變的多時(shí)鐘結(jié)構(gòu)等多種結(jié)構(gòu)， 濾波器的參數(shù)可以通過該IP 核的參數(shù)化界面進(jìn)行設(shè)計(jì)，也可以將在第三方軟件中設(shè)計(jì)好的濾波器系數(shù)導(dǎo)入該IP 核中從而完成濾波器設(shè)計(jì)， 它的所有輸入輸出信號(hào)格式都與Avalon 總線的Streaming 結(jié)構(gòu)的接口相符，可以方便地加入到應(yīng)用工程中。

本文中FIR 濾波器的實(shí)現(xiàn)方法是將Matlab 產(chǎn)生的濾波器系數(shù)導(dǎo)入Quartus ii 中的FIR IP CORE 中。圖6是Quartus 生成的FIR IP 核。

3.3.2 FIR IP 核的的驗(yàn)證

由于所設(shè)計(jì)的Hilbert 濾波器的頻率范圍為40 Hz~960 Hz， 所以驗(yàn)證時(shí)將用頻率為150 Hz 正弦波信號(hào)通過所設(shè)計(jì)的濾波器， 觀察結(jié)果來驗(yàn)證該濾波器是否實(shí)現(xiàn)了π/2 移相。

本文討論了無功功率與有功功率之間的關(guān)系， 以及計(jì)算無功功率方法中移相法的兩種方法， 根據(jù)在Matlab中對(duì)基于采樣點(diǎn)平移的移相法和Hilbert 濾波器法的仿真可以看出， 基于采樣點(diǎn)平移的移相法在實(shí)際應(yīng)用中有局限性， 只能在一些要求不高的場合采用。而Hilbert 濾波器法可以做到移相準(zhǔn)確、計(jì)量精度高， 因此， 基于Hilbert 變換的移相算法是無功計(jì)量中較好的方法。