當(dāng)用均值濾波器降低圖像噪聲的時(shí)候，會(huì)帶來(lái)圖像模糊的副作用。我們當(dāng)然希望看到的是清晰圖像。那么，清晰圖像和模糊圖像之間的差別在哪里呢？從邏輯上考慮，圖像模糊是因?yàn)閳D像中物體的輪廓不明顯，輪廓邊緣灰度變化不強(qiáng)烈，層次感不強(qiáng)造成的，那么反過(guò)來(lái)考慮，輪廓邊緣灰度變化明顯些，層次感強(qiáng)些是不是圖像就更清晰些呢。

那么，這種灰度變化明顯不明顯怎樣去定義呢。我們學(xué)過(guò)微積分，知道微分就是求函數(shù)的變化率，即導(dǎo)數(shù)（梯度），那么對(duì)于圖像來(lái)說(shuō)，可不可以用微分來(lái)表示圖像灰度的變化率呢，當(dāng)然是可以的，前面我們提到過(guò)，圖像就是函數(shù)嘛。

在微積分中，一維函數(shù)的一階微分的基本定義是這樣的：

而圖像是一個(gè)二維函數(shù)f(x,y)，其微分當(dāng)然就是偏微分。因此有：

因?yàn)閳D像是一個(gè)離散的二維函數(shù)，? 不能無(wú)限小，我們的圖像是按照像素來(lái)離散的，最小的?就是1像素。因此，上面的圖像微分又變成了如下的形式（?=1）：

這分別是圖像在(x, y)點(diǎn)處x方向和y方向上的梯度，從上面的表達(dá)式可以看出來(lái)，圖像的梯度相當(dāng)于2個(gè)相鄰像素之間的差值。

那么，這個(gè)梯度（或者說(shuō)灰度值的變化率）如何增強(qiáng)圖像的清晰度呢？

我們先考慮下x方向，選取某個(gè)像素，假設(shè)其像素值是100，沿x方向的相鄰像素分別是90,90,90，則根據(jù)上面的計(jì)算其x方向梯度分別是10,0,0。這里只取變化率的絕對(duì)值，表明變化的大小即可。

我們看到，100和90之間亮度相差10，并不是很明顯，與一大群90的連續(xù)灰度值在一起，輪廓必然是模糊的。我們注意到，如果相鄰像素灰度值有變化，那么梯度就有值，如果相鄰像素灰度值沒(méi)有變化，那么梯度就為0。如果我們把梯度值與對(duì)應(yīng)的像素相加，那么灰度值沒(méi)有變化的，像素值不變，而有梯度值的，灰度值變大了。

我們看到，相加后的新圖像，原圖像像素點(diǎn)100與90亮度只相差10，現(xiàn)在是110與90，亮度相差20了，對(duì)比度顯然增強(qiáng)了，尤其是圖像中物體的輪廓和邊緣，與背景大大加強(qiáng)了區(qū)別，這就是用梯度來(lái)增強(qiáng)圖像的原理。

上面只是說(shuō)了x方向，y方向是一樣的。那么能否將x方向和y方向的梯度結(jié)合起來(lái)呢？當(dāng)然是可以的。x方向和y方向上的梯度可以用如下式子表示在一起：

這里又是平方，又是開(kāi)方的，計(jì)算量比較大，于是一般用絕對(duì)值來(lái)近似平方和平方根的操作，來(lái)降低計(jì)算量：

我們來(lái)計(jì)算一下月球圖像的x方向和y方向結(jié)合的梯度圖像，以及最后的增強(qiáng)圖像。