1、已知一維運(yùn)動(dòng)的粒子在態(tài) 中坐標(biāo) 和動(dòng)量 的平均值分別為 和 ，求在態(tài) 中 和 的平均值。（20分）
2、一體系服從薛定諤方程
???
? （1）指出這體系的所有守恒量（不必證明）
? （2）求基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。（20分）
3、設(shè) 時(shí)氫原子處在狀態(tài)
???
? （1）求此體系能量的平均值，
? （2）求體系處在 態(tài)的幾率，
? （3）求波函數(shù)隨時(shí)間的變化。
4、一維諧振子受到微擾 作用，在粒子數(shù)表象中
?
（1）用微擾論，求能量修正值至二級(jí)，
（2）求能量的準(zhǔn)確值，并與微擾論給出的結(jié)果比較。（20分）
5、設(shè) 和 滿足對(duì)易關(guān)系 ，體系的哈密頓為
???????
? （2）問 要滿足何種條件， 才厄密？
? （2）求體系的能量。

??????? 2004年

1、質(zhì)量為 的粒子處在寬度為 的一維無限深勢(shì)阱中，設(shè)在時(shí)刻 粒子的狀態(tài)為
????? 是能量為 歸一化本征函數(shù)， 為已知常數(shù)，求
? （1）在時(shí)刻 時(shí)，測量能量，結(jié)果小于 的幾率，
? （2）在時(shí)刻 時(shí)，能量 和 的平均值，
? （3）時(shí)刻為 的波函數(shù) ，
? （4）如果在 態(tài)測量能量，所得結(jié)果為 ，問粒子處于何種狀態(tài)？
2、設(shè)氫原子處于 態(tài)，求
? （1）勢(shì)能 的平均值，
? （2） 為軌道角動(dòng)量，求算符 的平均值 。
???? （已知 ）（30分）
3、一質(zhì)量為 的粒子在三維勢(shì)場 中運(yùn)動(dòng)，式中 是常數(shù)， 為小量
? （1）用微擾論求基態(tài)能量至二級(jí)修正，
? （2）用簡并微擾論求相對(duì)于第一激發(fā)態(tài)的能級(jí)至一級(jí)修正。（30分）
4、兩個(gè)自旋為 的粒子組成的體系由哈密頓量 描述，其中 分別是它們的 分量， 為常數(shù)，求該哈密頓量的所有能級(jí)。（35分）
5、考慮兩個(gè)具有同樣頻率 的振子，哈密頓量為?????
? 記 相應(yīng)于本征值 和 的本征態(tài)為 ，零點(diǎn)能可略。在兩個(gè)振子具有相互作用后，其哈密頓量為
??????
?? 為正實(shí)數(shù)，因?yàn)橛邢嗷プ饔茫?不是H的本征態(tài)
? （1）求 的本征值
? （2）設(shè)體系在 時(shí)，處在 態(tài)，求 時(shí)的態(tài)矢量
? （3）求在 時(shí)，體系出現(xiàn)在 態(tài)的幾率。（25分）
解：本征矢