為何從零開始？

有許多深度學(xué)習(xí)庫（Keras、TensorFlow和PyTorch等）可僅用幾行代碼構(gòu)建一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。然而，如果你真想了解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的底層運(yùn)作，建議學(xué)習(xí)如何使用Python或任何其他編程語言從零開始為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)編程。

不妨創(chuàng)建某個隨機(jī)數(shù)據(jù)集：

圖1. 為簡單起見，隨機(jī)數(shù)據(jù)集帶二進(jìn)制值

上面表格有五列：Person、X1、X2、X3和Y。1表示true，0表示false。我們的任務(wù)是創(chuàng)建一個能夠基于X1、X2和X3的值來預(yù)測Y值的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

我們將創(chuàng)建一個有1個輸入層、1個輸出層而沒有隱藏層的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。開始編程前，先不妨看看我們的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在理論上將如何執(zhí)行：

ANN理論

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種監(jiān)督式學(xué)習(xí)算法，這意味著我們?yōu)樗峁┖凶宰兞康妮斎霐?shù)據(jù)和含有因變量的輸出數(shù)據(jù)。比如在該示例中，自變量是X1、X2和X3，因變量是Y。

首先，ANN進(jìn)行一些隨機(jī)預(yù)測，將這些預(yù)測與正確的輸出進(jìn)行比較，計(jì)算出誤差（預(yù)測值與實(shí)際值之間的差）。找出實(shí)際值與傳播值之間的差異的函數(shù)名為成本函數(shù)（cost function）。這里的成本指誤差。我們的目標(biāo)是使成本函數(shù)最小化。訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本上是指使成本函數(shù)最小化。下面會介紹如何執(zhí)行此任務(wù)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分兩個階段執(zhí)行：前饋階段和反向傳播階段。下面詳細(xì)介紹這兩個步驟。

前饋

圖2

來源：單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，又叫Perceptron

在ANN的前饋階段，基于輸入節(jié)點(diǎn)中的值和權(quán)重進(jìn)行預(yù)測。如果看一下上圖中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，會看到數(shù)據(jù)集中有三個特征：X1、X2和X3，因此第一層（又叫輸入層）中有三個節(jié)點(diǎn)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重基本上是我們要調(diào)整的字符串，以便能夠正確預(yù)測輸出。請記住，每個輸入特性只有一個權(quán)重。

以下是在ANN的前饋階段所執(zhí)行的步驟：

第1步：計(jì)算輸入和權(quán)重之間的點(diǎn)積

輸入層中的節(jié)點(diǎn)通過三個權(quán)重參數(shù)與輸出層連接。在輸出層中，輸入節(jié)點(diǎn)中的值與對應(yīng)的權(quán)重相乘并相加。最后，偏置項(xiàng)b添加到總和。

為什么需要偏置項(xiàng)？

假設(shè)某個人有輸入值（0，0，0），輸入節(jié)點(diǎn)和權(quán)重的乘積之和將為零。在這種情況下，無論我們怎么訓(xùn)練算法，輸出都將始終為零。因此，為了能夠做出預(yù)測，即使我們沒有關(guān)于該人的任何非零信息，也需要一個偏置項(xiàng)。偏置項(xiàng)對于構(gòu)建穩(wěn)健的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言必不可少。

數(shù)學(xué)上，點(diǎn)積的總和：

X.W=x1.w1 + x2.w2 + x3.w3 + b

第2步：通過激活函數(shù)傳遞點(diǎn)積（X.W）的總和

點(diǎn)積XW可以生成任何一組值。然而在我們的輸出中，我們有1和0形式的值。我們希望輸出有同樣的格式。為此，我們需要一個激活函數(shù)（Activation Function），它將輸入值限制在0到1之間。因此，我們當(dāng)然會使用Sigmoid激活函數(shù)。

圖3. Sigmoid激活函數(shù)

輸入為0時(shí)，Sigmoid函數(shù)返回0.5。如果輸入是大正數(shù)，返回接近1的值。負(fù)輸入的情況下，Sigmoid函數(shù)輸出的值接近零。

因此，它特別適用于我們要預(yù)測概率作為輸出的模型。由于概念只存在于0到1之間，Sigmoid函數(shù)是適合我們這個問題的選擇。

上圖中z是點(diǎn)積X.W的總和。

數(shù)學(xué)上，Sigmoid激活函數(shù)是：

圖4. Sigmoid激活函數(shù)

總結(jié)一下到目前為止所做的工作。首先，我們要找到帶權(quán)重的輸入特征（自變量矩陣）的點(diǎn)積。接著，通過激活函數(shù)傳遞點(diǎn)積的總和。激活函數(shù)的結(jié)果基本上是輸入特征的預(yù)測輸出。

反向傳播

一開始，進(jìn)行任何訓(xùn)練之前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行隨機(jī)預(yù)測，這種預(yù)測當(dāng)然是不正確的。

我們先讓網(wǎng)絡(luò)做出隨機(jī)輸出預(yù)測。然后，我們將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出與實(shí)際輸出進(jìn)行比較。接下來，我們更新權(quán)重和偏置，并確保預(yù)測輸出更接近實(shí)際輸出。在這個階段，我們訓(xùn)練算法。不妨看一下反向傳播階段涉及的步驟。

第1步：計(jì)算成本

此階段的第一步是找到預(yù)測成本?？梢酝ㄟ^找到預(yù)測輸出值和實(shí)際輸出值之間的差來計(jì)算預(yù)測成本。如果差很大，成本也將很大。

我們將使用均方誤差即MSE成本函數(shù)。成本函數(shù)是找到給定輸出預(yù)測成本的函數(shù)。

圖5. 均方誤差

這里，Yi是實(shí)際輸出值，i是預(yù)測輸出值，n是觀察次數(shù)。

第2步：使成本最小化

我們的最終目的是微調(diào)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重，并使成本最小化。如果你觀察仔細(xì)，會了解到我們只能控制權(quán)重和偏置，其他一切不在控制范圍之內(nèi)。我們無法控制輸入，無法控制點(diǎn)積，無法操縱Sigmoid函數(shù)。

為了使成本最小化，我們需要找到權(quán)重和偏置值，確保成本函數(shù)返回最小值。成本越小，預(yù)測就越正確。

要找到函數(shù)的最小值，我們可以使用梯度下降算法。梯度下降可以用數(shù)學(xué)表示為：

圖6. 使用梯度下降更新權(quán)重

Error是成本函數(shù)。上面的等式告訴我們找到關(guān)于每個權(quán)重和偏置的成本函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，然后從現(xiàn)有權(quán)重中減去結(jié)果以得到新的權(quán)重。

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)給出了在任何給定點(diǎn)的斜率。為了找到成本是增加還是減少，給定權(quán)重值，我們可以找到該特定權(quán)重值的函數(shù)導(dǎo)數(shù)。如果成本隨重量增加而增加，導(dǎo)數(shù)將返回正值，然后將其從現(xiàn)有值中減去。

另一方面，如果成本隨重量增加而降低，將返回負(fù)值，該值將被添加到現(xiàn)有的權(quán)重值中，因?yàn)樨?fù)負(fù)得正。

在上面公式中，a名為學(xué)習(xí)速率，乘以導(dǎo)數(shù)。學(xué)習(xí)速率決定了我們的算法學(xué)習(xí)的速度。

我們需要對所有權(quán)重和偏置重復(fù)執(zhí)行梯度下降操作，直到成本最小化，并且成本函數(shù)返回的值接近零。

現(xiàn)在是實(shí)現(xiàn)我們迄今為止研究的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)候了。我們將用Python創(chuàng)建一個簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，有1個輸入層和1個輸出層。

使用numpy實(shí)現(xiàn)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

圖7

圖片來源：hackernoon.com

要采取的步驟：

1.定義自變量和因變量

2.定義超參數(shù)

3.定義激活函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

4.訓(xùn)練模型

5.做出預(yù)測

第1步：先創(chuàng)建自變量或輸入特征集以及相應(yīng)的因變量或標(biāo)簽。

#Independent variables

input_set = np.array（［［0，1，0］，

［0，0，1］，

［1，0，0］，

［1，1，0］，

［1，1，1］，

［0，1，1］，

［0，1，0］］）#Dependent variable

labels = np.array（［［1，

0，

0，

1，

1，

0，

1］］）

labels = labels.reshape（7，1） #toconvert labels to vector

我們的輸入集含有七個記錄。同樣，我們還創(chuàng)建了一個標(biāo)簽集，含有輸入集中每個記錄的對應(yīng)標(biāo)簽。標(biāo)簽是我們希望ANN預(yù)測的值。

第2步：定義超參數(shù)。

我們將使用numpy的random.seed函數(shù)，以便在執(zhí)行以下代碼時(shí)可以獲得同樣的隨機(jī)值。

接下來，我們使用正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)初始化權(quán)重。由于輸入中有三個特征，因此我們有三個權(quán)重的向量。然后，我們使用另一個隨機(jī)數(shù)初始化偏置值。最后，我們將學(xué)習(xí)速率設(shè)置為0.05。

np.random.seed（42）

weights = np.random.rand（3，1）

bias = np.random.rand（1）

lr = 0.05 #learning rate

第3步：定義激活函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：我們的激活函數(shù)是Sigmoid函數(shù)。

def sigmoid（x）：

return 1/（1+np.exp（-x））

現(xiàn)在定義計(jì)算Sigmoid函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。

def sigmoid_derivative（x）：

return sigmoid（x）*（1-sigmoid（x））

第4步：是時(shí)候訓(xùn)練ANN模型了。

我們將從定義輪次（epoch）數(shù)量開始。輪次是我們想針對數(shù)據(jù)集訓(xùn)練算法的次數(shù)。我們將針對數(shù)據(jù)訓(xùn)練算法25000次，因此epoch將為25000?？梢試L試不同的數(shù)字以進(jìn)一步降低成本。

for epoch in range（25000）：

inputs = input_set

XW = np.dot（inputs， weights）+ bias

z = sigmoid（XW）

error = z - labels

print（error.sum（））

dcost = error

dpred = sigmoid_derivative（z）

z_del = dcost * dpred

inputs = input_set.T

weights = weights - lr*np.dot（inputs， z_del）

for num in z_del：

bias = bias - lr*num

不妨了解每個步驟，然后進(jìn)入到預(yù)測的最后一步。

我們將輸入input_set中的值存儲到input變量中，以便在每次迭代中都保留input_set的值不變。

inputs = input_set

接下來，我們找到輸入和權(quán)重的點(diǎn)積，并為其添加偏置。（前饋階段的第1步）

XW = np.dot（inputs， weights）+ bias

接下來，我們通過Sigmoid激活函數(shù)傳遞點(diǎn)積。（前饋階段的第2步）

z = sigmoid（XW）

這就完成了算法的前饋部分，現(xiàn)在是開始反向傳播的時(shí)候了。

變量z含有預(yù)測的輸出。反向傳播的第一步是找到誤差。

error = z - labels

print（error.sum（））

我們知道成本函數(shù)是：

圖8

我們需要從每個權(quán)重方面求該函數(shù)的微分，這可以使用微分鏈?zhǔn)椒▌t（chain rule of differentiation）來輕松完成。我將跳過推導(dǎo)部分，但如果有人感興趣，請留言。

因此，就任何權(quán)重而言，成本函數(shù)的最終導(dǎo)數(shù)是：

slope = input x dcost x dpred

現(xiàn)在，斜率可以簡化為：

dcost = error

dpred = sigmoid_derivative（z）

z_del = dcost * dpred

inputs = input_set.T

weights = weight-lr*np.dot（inputs， z_del）

我們有z_del變量，含有dcost和dpred的乘積。我們拿輸入特征矩陣的轉(zhuǎn)置與z_del相乘，而不是遍歷每個記錄并拿輸入與對應(yīng)的z_del相乘。

最后，我們將學(xué)習(xí)速率變量lr與導(dǎo)數(shù)相乘，以加快學(xué)習(xí)速度。

除了更新權(quán)重外，我們還要更新偏置項(xiàng)。

for num in z_del：

bias = bias - lr*num

一旦循環(huán)開始，你會看到總誤差開始減小;訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，誤差將保留為很小的值。

-0.001415035616137969

-0.0014150128584959256

-0.0014149901015685952

-0.0014149673453557714

-0.0014149445898578358

-0.00141492183507419

-0.0014148990810050437

-0.0014148763276499686

-0.0014148535750089977

-0.0014148308230825385

-0.0014148080718707524

-0.0014147853213728624

-0.0014147625715897338

-0.0014147398225201734

-0.0014147170741648386

-0.001414694326523502

-0.001414671579597255

-0.0014146488333842064

-0.0014146260878853782

-0.0014146033431002465

-0.001414580599029179

-0.0014145578556723406

-0.0014145351130293877

-0.0014145123710998

-0.0014144896298846701

-0.0014144668893831067

-0.001414444149595611

-0.0014144214105213174

-0.0014143986721605849

-0.0014143759345140276

-0.0014143531975805163

-0.001414330461361444

-0.0014143077258557749

-0.0014142849910631708

-0.00141426225698401

-0.0014142395236186895

-0.0014142167909661323

-0.001414194059027955

-0.001414171327803089

-0.001414148597290995

-0.0014141258674925626

-0.0014141031384067547

-0.0014140804100348098

-0.0014140576823759854

-0.0014140349554301636

-0.0014140122291978665

-0.001413989503678362

-0.001413966778871751

-0.001413944054778446

-0.0014139213313983257

-0.0014138986087308195

-0.0014138758867765552

-0.0014138531655347973

-0.001413830445006264

-0.0014138077251906606

-0.001413785006087985

-0.0014137622876977014

-0.0014137395700206355

-0.0014137168530558228

-0.0014136941368045382

-0.0014136714212651114

-0.0014136487064390219

-0.0014136259923249635

-0.001413603278923519

-0.0014135805662344007

-0.0014135578542581566

-0.0014135351429944293

-0.0014135124324428719

-0.0014134897226037203

-0.0014134670134771238

-0.0014134443050626295

-0.0014134215973605428

-0.0014133988903706311

第5步：作出預(yù)測

是時(shí)候作出一些預(yù)測了。先用［1，0，0］試一下：

single_pt = np.array（［1，0，0］）

result = sigmoid（np.dot（single_pt， weights） + bias）

print（result）

輸出：

［0.01031463］

如你所見，輸出更接近0而不是1，因此分類為0。

不妨再用［0，1，0］試一下：

single_pt = np.array（［0，1，0］）

result = sigmoid（np.dot（single_pt， weights） + bias）

print（result）

輸出：

［0.99440207］

如你所見，輸出更接近1而不是0，因此分類為1。

結(jié)論

我們在本文中學(xué)習(xí)了如何使用numpy Python庫，從零開始創(chuàng)建一個很簡單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，只有1個輸入層和1個輸出層。該ANN能夠?qū)€性可分離數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。

如果我們有非線性可分離的數(shù)據(jù)，我們的ANN就無法對這種類型的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。下篇將介紹如何構(gòu)建這樣的ANN。