自上世紀(jì)八十年代發(fā)現(xiàn)量子霍爾效應(yīng)以來，人們逐漸認(rèn)識到了一種新物相---拓?fù)湎嗟拇嬖?，這種奇異的物相能使系統(tǒng)免于材料缺陷和無序的干擾，它所具備的魯棒特性使得拓?fù)鋺B(tài)在信息傳輸與量子計算領(lǐng)域產(chǎn)生了巨大的潛在應(yīng)用價值。對拓?fù)湎嗟难芯侩m然始于電子系統(tǒng)，但是近年來這一概念已經(jīng)被拓展到了幾乎所有物理學(xué)分支，如光學(xué)、聲學(xué)、力學(xué)、電路和自旋電子學(xué)等。

拓?fù)淅碚撝写嬖谥环N非常重要的對應(yīng)關(guān)系，即所謂的體邊對應(yīng)：體能帶的性質(zhì)決定邊界態(tài)（表面態(tài)）的屬性。傳統(tǒng)的n維拓?fù)浣^緣體具有n-1維拓?fù)溥吔鐟B(tài)（表面態(tài)），被稱為一階拓?fù)浣^緣體，如圖1（a）所示。有趣的是，近兩三年來，拓?fù)浣^緣體的定義被推廣到了高階情形，即所謂的高階拓?fù)浣^緣體。和普通（一階）絕緣體所不同的是，高階拓?fù)浣^緣體允許n-2甚至n-3維拓?fù)溥吔鐟B(tài)的存在，如圖1（b）和1（c）所示。對高階拓?fù)湎嗟目坍嬓枰柚谝恍┬碌耐負(fù)洳蛔兞?，如體極化、格林函數(shù)零點(diǎn)和貝里相等。

圖1：不同類型的拓?fù)浣^緣體。不同維度下，一階（a）、二階（b）和三階（b）拓?fù)浣^緣體及拓?fù)溥吔鐟B(tài)特點(diǎn)。

在經(jīng)典的磁性系統(tǒng)中，自旋波（或磁振子）和磁孤子（如疇壁、渦旋、斯格明子等）代表了兩種重要的激發(fā)。類似于電子和光，磁振子和磁孤子也能作為載體實(shí)現(xiàn)對信息的操控、傳輸和處理，基于它們的器件具有高密度、低能耗和非易失等傳統(tǒng)電子器件所無法企及的優(yōu)勢。但是一般的自旋電子器件容易受到材料中不可避免的缺陷和無序的影響，尋找磁性材料中的拓?fù)湎嘤型蔀榻鉀Q這一問題的關(guān)鍵。2010年磁振子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)揭開了人們研究磁振子拓?fù)湎嗟男蚰?，最近人們又發(fā)現(xiàn)磁孤子陣列的集體振蕩在一定的條件下也能表現(xiàn)出拓?fù)湫再|(zhì)，基于磁振子和磁孤子晶體（或超材料）的拓?fù)浣^緣體和半金屬吸引了越來越多研究者的關(guān)注。

在此領(lǐng)域，電子科技大學(xué)電子學(xué)院、電子薄膜與集成器件國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室嚴(yán)鵬教授課題組已經(jīng)取得了一系列前期重要成果［Phys. Rev. Lett. 124， 217204 （2020）; Phys. Rev. Lett. 121， 197201 （2018）; Phys. Rev. Res. 2， 022028（R） （2020）; Phys. Rev. Applied 13， 064058 （2020）; Phys. Rev. B 98， 180407（R） （2018）; npj Comput. Mater. 5， 107 （2019）; Nano Lett. 20， 7566 （2020）］。最近，嚴(yán)鵬教授課題組應(yīng)邀在物理學(xué)綜述期刊《物理報道》（Physics Reports）上在線發(fā)表長篇綜述文章《經(jīng)典磁性系統(tǒng)中的拓?fù)浣^緣體和半金屬》（“Topological insulators and semimetals in classical magnetic systems”）。李志雄博士為該論文的第一作者，嚴(yán)鵬教授為通訊作者，曹云姍副教授參與了指導(dǎo)。電子科大為該工作的唯一完成單位。該綜述文章詳細(xì)介紹了近十年來磁性系統(tǒng)中對磁振子和磁孤子拓?fù)湎嗟难芯楷F(xiàn)狀，包括磁振子霍爾效應(yīng)、拓?fù)浯耪褡咏^緣體和半金屬、拓?fù)浯耪褡悠骷?、磁孤子系統(tǒng)中的（高階）拓?fù)湎嗟?，同時也指出了本領(lǐng)域面臨的挑戰(zhàn)與機(jī)遇。

圖2：（a）一維渦旋、斯格明子和疇壁晶體示意圖。（b）一維疇壁晶體結(jié)構(gòu)對應(yīng)的能帶。（c）邊界態(tài)波函數(shù)強(qiáng)度的空間分布。（d）二維渦旋呼吸型蜂巢陣列。（e）系統(tǒng)的相圖。（f）高階拓?fù)溥吔鐟B(tài)（角態(tài)）的波函數(shù)強(qiáng)度分布。

對磁振子的拓?fù)湎嗟难芯恐饕梢詺w結(jié)為如下方向：（1）基于不同晶格類型的拓?fù)浯耪褡咏^緣體；（2）不同微觀機(jī)制導(dǎo)致的磁振子非平庸拓?fù)湎?，如由于反演對稱破缺導(dǎo)致的Dzyaloshinskii-Moriya 相互作用、磁偶極相互作用和磁性結(jié)構(gòu)等；（3）狄拉克和外爾磁振子；（4）磁振子與聲子耦合形成的拓?fù)浯耪褡訕O化子；（5）高階拓?fù)浯耪褡?；?）基于磁振子的拓?fù)渥孕骷?，如磁振?a target="_blank">二極管、磁振子分束器、磁振子干涉儀和磁振子邏輯門等。磁孤子作為磁性系統(tǒng)中的另一種重要激發(fā)，其拓?fù)湎嗟难芯窟€相對較少。對于一維磁孤子（以疇壁為例）系統(tǒng) ［如圖2（a）所示］，通過調(diào)節(jié)磁孤子之間的間距，系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)一階拓?fù)湎?，圖2（b）給出了有限大小系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)帶隙中存在明顯的簡并模式，這些模式正是局域振蕩的拓?fù)溥吔鐟B(tài)，如圖2（c）所示。如果考慮二維磁孤子（如渦旋）系統(tǒng) ［這里以呼吸型蜂巢結(jié)構(gòu)為例，如圖2（d）所示］，通過調(diào)節(jié)兩個幾何參數(shù)d1和d2，系統(tǒng)可以在平凡相、一階拓?fù)湎嗪透唠A拓?fù)湎嘀g變換，相圖如圖2（e）所示。圖2（f）畫出了系統(tǒng)處于高階拓?fù)湎鄷r對應(yīng)的拓?fù)浣菓B(tài)模式。總的來說，磁學(xué)系統(tǒng)中高階拓?fù)湎嗟难芯窟€處在非常初級的階段，很多相關(guān)的科學(xué)問題亟待解決。

圖3：（a）呼吸型kagome高階拓?fù)潆娐?。（b）在某個頂點(diǎn)引入次近鄰相互作用，從而打破手征對稱性。（c）實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果（虛線和實(shí)線分別表示沒有和有次近鄰相互作用）。

值得一提的是，呼吸型晶體中出現(xiàn)的高階拓?fù)湎嗔隳苣Ｒ话闶軓V義手征對稱性的保護(hù)，這一性質(zhì)可以通過實(shí)驗(yàn)上引入次近鄰相互作用打破系統(tǒng)手征對稱性，進(jìn)而測量零能模是否有漂移來檢驗(yàn)。但是，要在凝聚態(tài)系統(tǒng)中人為的引入次近鄰相互作用是非常困難的，幸運(yùn)的是近幾年發(fā)展的拓?fù)潆娐废到y(tǒng)能方便地解決這一問題（次近鄰相互作用可以通過接入電容或電感來實(shí)現(xiàn)）。圖3（a）畫出了一種高階拓?fù)潆娐纺Ｐ停ê粑蚹agome晶格），在某一個頂點(diǎn)上通過連接額外的電容從而破壞系統(tǒng)的手征對稱性，如圖3（b）所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明當(dāng)系統(tǒng)手征對稱性被打破時，高階拓?fù)溥吔鐟B(tài)的頻率相比具有手征對稱性時有了明顯的偏移 ［如圖3（c）所示］，這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果很好的證實(shí)了手征對稱性保護(hù)拓?fù)淞隳苣５睦碚摗?/p>

圖4：磁孤子拓?fù)浣^緣體和半金屬。（a）磁孤子陣列中一階和高階拓?fù)浣^緣相以及外爾半金屬相的典型特點(diǎn)。（b）磁孤子系統(tǒng)中拓?fù)溥吔鐟B(tài)的探測原理：通過測量入射和出射的磁振蕩模式反推邊界態(tài)頻譜。

圖4（a）畫出了磁孤子系統(tǒng)中拓?fù)浣^緣相（包括一階和高階）和外爾半金屬相的典型特點(diǎn)，而磁孤子系統(tǒng)中拓?fù)溥吔鐟B(tài)的探測可以通過如下方案實(shí)現(xiàn)：體態(tài)模式和邊界態(tài)模式發(fā)生相互作用后，通過分析入射和出射的磁振蕩模式來推斷邊界態(tài)的信息（基于能量-動量守恒原理），如圖4（b）所示。對磁性系統(tǒng)中拓?fù)湎嗟幕A(chǔ)研究不但能揭示和理解這些有趣的拓?fù)湮锢恚瑫r還能為將來設(shè)計受拓?fù)浔Ｗo(hù)的自旋電子器件提供重要的參考和建議。該綜述文章能為更好的設(shè)計基于磁振子和磁孤子的拓?fù)潆娮悠骷覝?zhǔn)方向和理清思路。

該項(xiàng)工作得到了國家自然科學(xué)基金和中國博士后科學(xué)基金的資助。
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