反饋理論

基本的反饋電路如圖1所示，其中E是誤差電壓，β是反饋系數(shù)，A是前向增益。公式1和2支配電路的特性。

（1）VOUT=EA

（2）E=VIN-βVOUT

精度公式（公式3）和閉環(huán)增益公式（公式4）是靠公式1和2的合并得到的。

（3）E/VIN=1/（1+Aβ）

（4）VOUT/VIN=A/（1+Aβ）

在兩個(gè)公式中的量A被稱為環(huán)路增益，它在反饋電路中有特殊意義。環(huán)路增益決定了用公式4所表示的反饋電路的穩(wěn)定性（當(dāng)A＝－1時(shí)，出現(xiàn)不穩(wěn)定或振蕩），并且決定著由公式3所表示的精度。精度和穩(wěn)定度是逆向相關(guān)的，即穩(wěn)定性隨著精度的增加而降低，反之亦然。

在電壓輸入端接地（電流輸入打開）的情況下計(jì)算環(huán)路增益，這樣，輸入信號(hào)及其插入點(diǎn)（加上或減去輸入）對(duì)環(huán)路增益就不會(huì)有影響。這就意味著對(duì)于同相、反相或是差動(dòng)運(yùn)算放大器電路來說，環(huán)路增益都是一樣的。圖2中表示出三種運(yùn)算放大器電路，而對(duì)于所有三種電路的環(huán)路增益都由公式5給出：

（5）Aβ=aRG/（RF+RG）

參數(shù)“a”是運(yùn)算放大器的開環(huán)增益，不應(yīng)把它同基本反饋電路（見圖1）中的前向增益“A”相混淆。運(yùn)算放大器的開環(huán)增益a隨著頻率升高而降低，并把它包含在前向增益A中；從而誤差隨頻率而增加，像公式3所表示的那樣。

公式6是公式4的對(duì)數(shù)形式，并把它繪制在圖3中。

（6）20log（VOUT/VIN）=20log（1+Aβ）

公式6的曲線假定在前向增益中包含一個(gè)極點(diǎn)，于是前向增益以－20dB/十倍頻程的斜率傾斜。如果在前向增益中包含更多的極點(diǎn)，則曲線傾斜得更快。閉環(huán)增益保持恒定，直到與前向增益曲線相交為止，然后它跟隨前向增益曲線以－1的斜率（－20dB/十倍頻程）下降。

閉環(huán)增益在圖3所示曲線的視在交點(diǎn)處下降－3dB，但我們決不能讓工作點(diǎn)靠近交點(diǎn)，因?yàn)樵诮稽c(diǎn)頻率處誤差太大。正如公式6所定義的那樣，圖3中曲線之間的差值是20log（1＋Aβ），環(huán)路增益的β部分不隨頻率的改變而變化，因?yàn)樗?a target="_blank">電阻性的（至少在本例中），但是運(yùn)算放大器的增益包含一個(gè)極點(diǎn)是使它成為增益下滑的主要原因。調(diào)整輸入信號(hào)為1V，使誤差電壓歸一化為E＝1/（1＋Aβ）；于是，在這些情況下，環(huán)路增益決定著由放大器增益的降低而引起的誤差。

圖4表示的是TLV247X運(yùn)算放大器的開環(huán)增益曲線，這是一幅運(yùn)算放大器的典型開環(huán)增益特性曲線，設(shè)法使這條曲線與數(shù)據(jù)表的規(guī)范聯(lián)系起來，我們就能計(jì)算差動(dòng)電壓增益（DVG）的直流截距。數(shù)據(jù)表中所給出的典型DVG曲線沒有表示出低頻數(shù)據(jù)，因而我們必須在曲線的直流截距處改造曲線。

從圖4我們可以看出在100Hz處的DVG約為87dB，曲線線性部分的斜率為－20dB/十倍頻程（－6dB/倍頻程）；于是，如果倒退一個(gè)十倍頻程到10Hz，則DVG為87＋20＝107dB。如果再倒退一個(gè)倍頻程到5Hz，則DVG為107＋6＝113dB。在直流情況下，在數(shù)據(jù)表上把信號(hào)差模電壓放大倍數(shù)（AVD）規(guī)定為116dB的典型值。

這兩種規(guī)范配合得相當(dāng)好是因?yàn)樵?Hz下DVG＝113dB，所以我們就認(rèn)為運(yùn)算放大器開環(huán)增益的數(shù)據(jù)表典型值等于116dB。AVD可保證的最小規(guī)范為90dB，從而為了把圖4轉(zhuǎn)變成保用的曲線，應(yīng)使典型曲線下降116dB－90dB＝26dB-即在f＝10Hz的情況下，107－26＝81dB。在表1中給出了新曲線的數(shù)據(jù)：

同相運(yùn)算放大器

同相的閉環(huán)增益為：

（7）VOUT/VIN=A/（1+Aβ）=a/［1+aRG/（RF+RG）］

當(dāng)把運(yùn)算放大器用于同相電路組態(tài)時(shí)，前向增益A等于運(yùn)算放大器的開環(huán)增益a。在公式8中，針對(duì)下列條件：閉環(huán)增益為2（6dB）、輸入信號(hào)是10Hz以及20log（a）＝81dB來計(jì)算20log（1＋Aβ），用公式9來計(jì)算誤差，且20log（1＋Aβ）＝20 log（1＋aβ）：

（8）20log（1+aβ）=20log（a）-20log（VOUT/VIN）=81dB-6dB=75dB

（9）E=1/（1+aβ）=1/10dB/20

對(duì)于10Hz的輸入信號(hào)，如果把閉環(huán)增益改變?yōu)?0（20dB），那么20log（1＋Aβ）＝61dB，而誤差為0.89mV。由于當(dāng)閉環(huán)增益增加時(shí)環(huán)路增益降低，所以誤差E會(huì)隨著閉環(huán)增益的增加而增加。當(dāng)把閉環(huán)增益維持在20dB且輸入信號(hào)的頻率增加到1000Hz時(shí)，誤差增加到89.1mV。由于運(yùn)算放大器的增益隨著頻率的增加而降低，該誤差會(huì)隨著信號(hào)頻率的增加而增加。如果把示波器的探頭跨接在運(yùn)算放大器的兩個(gè)輸入端上，觀察到的差動(dòng)電壓是誤差電壓，并且人們能觀察到當(dāng)信號(hào)頻率增加時(shí)，誤差電壓也是增加的。

反相運(yùn)算放大器

反相閉環(huán)增益為：

（10）VOUT/VIN=A/（1+Aβ）=（-aRF）/（RF+RG）/［1+aRG/（RF+RG）］

反相運(yùn)算放大器電路的前向增益不等于運(yùn)算放大器的開環(huán)增益，而是通過增益設(shè)置電阻的組合來加以修改。當(dāng)閉環(huán)增益是2（6dB）時(shí)，RF＝2RG，電路的前向增益A為：

|A|=|aRF/（RF+RG）|=|ax2RG/（2RG+RG）|=2a/3（11）

在f＝10Hz的情況下，運(yùn)算放大器的開環(huán)增益為：

（12）a=1081/20=104.05

把開環(huán)增益按三分之二的系數(shù)降低，以得到前向增益：

（13）A=2a/3=2（11220.2）/3=7480.1

然后把前向增益換算成dB數(shù)：

A=20log（7480.1）=77.48dB （14）

用公式15代替公式6，這里用2倍（6dB）的閉環(huán)增益和10Hz的輸入信號(hào)來計(jì)算20log（1＋Aβ）：

20log（1+Aβ）=77.48dB-6dB

=71.48dB （15）

誤差以下式給出：

（16）E=1/（1+Aβ）=1/10dB/20=1071.48/20=1/3749.7=0.266mV

因?yàn)橥ㄟ^閉環(huán)增益前向增益被降低了，所以反相運(yùn)算放大器的誤差（在同樣的閉環(huán)增益和輸入信號(hào)頻率下）要比同相運(yùn)算放大器的誤差更大。對(duì)于閉環(huán)增益為10（20dB而RF＝10RG），且輸入信號(hào)為10Hz的情形，用下述公式來計(jì)算誤差：

|A|=|aRF/（RF+RG）|=|ax10RG/（10RG+RG）|=10a/11（17）

A=10a/11=10（11220.2）/11=10200.2（18）

A=20log（10200.2）=80.17dB （19）

20log（1+Aβ）=80.17dB-20dB

=60.17dB （20）

（21）E=1/（1+Aβ）=1/10dB/20=1060.17/20=1/1019.8=0.98mV

所以，誤差又隨著閉環(huán)增益的增加而增加，同時(shí)當(dāng)輸入信號(hào)的頻率增加時(shí)，誤差也會(huì)增加。

測量

誤差電壓在低頻下是很難測量的，因?yàn)樵诘皖l下這些電壓非常低，因而誤差的測量要在高頻下進(jìn)行。當(dāng)兩個(gè)誤差的測量隔開十倍頻程時(shí)，它們應(yīng)當(dāng)存在20dB的電壓差。在這類測量中，應(yīng)使測量儀器保持在最小數(shù)量上，以便能很容易地重做這些測量。

把所研究的運(yùn)算放大器接成如圖2a所示的反相放大器，同時(shí)使增益為1（RF＝RG），把輸入電壓設(shè)為1V，并且從反相輸入端到地來測量這個(gè)電壓，被測的誤差電壓在fIN＝10kHz時(shí)為E＝2.83mV；而在fIN＝100kHz時(shí)為E＝28.3mV。可見，頻率增大10倍時(shí)，其誤差電壓相差10倍，因而前向增益曲線的斜率是－20dB/十倍頻程。得到正確的斜率表明誤差測量多半是正確的，公式22在100kHz的輸入頻率下計(jì)算量（1＋Aβ）：

（1+Aβ）=1/E=1/0.0283=35.33（22）

對(duì)公式22取對(duì)數(shù)得公式23：

20log（35.33）=31dB （23）

對(duì)于非常大的A值，VOUT/VIN＝1/β。當(dāng)β＝1并且A非常大時(shí)，公式6簡化為公式24：

（24）20log（A）=20log（1+Aβ）=31dB

公式25把前向增益與運(yùn)算放大器的增益相聯(lián)系：

（25） A=aRF/（RF+RG）=aRF/（RF+RF）=a/2

（26）a=2A=6dB+31dB=37dB

由數(shù)據(jù)表曲線、計(jì)算以及測量而得到運(yùn)算放大器開環(huán)增益（fIN＝100kHz）的三個(gè)值，這些值在表2中給出：

測量的數(shù)據(jù)支持?jǐn)?shù)據(jù)表典型曲線要比最壞（最保險(xiǎn)）情況計(jì)算的數(shù)據(jù)支持好得多。有一些運(yùn)算放大器測得的誤差電壓其范圍從32mV到26mV，則這批運(yùn)算放大器具有比額定增益高得多的增益（高10dB），由于這不是總有的情形，所以使用表1中給出的最壞情況的規(guī)范進(jìn)行設(shè)計(jì)是慎重的。

結(jié)論

第一條結(jié)論是誤差在輸入信號(hào)頻率較高的情況下增加，這是因?yàn)樵陔妷悍答佭\(yùn)算放大器中，增益帶寬是不變的。

第二條結(jié)論是同相電路組態(tài)比反相電路組態(tài)有較低的誤差，并且這種誤差的差別在低的閉環(huán)增益下更大。

第三條結(jié)論是用單運(yùn)算放大器構(gòu)成的差動(dòng)放大器電路中的誤差，對(duì)于反相和同相輸入來說是不同的，這個(gè)差別導(dǎo)致一些共模輸入電壓以差動(dòng)誤差電壓的形式饋通到輸出。在單運(yùn)放的差動(dòng)放大器中反相和同相輸入阻抗是不同的，于是這一點(diǎn)連同單運(yùn)算放大器的誤差放大作用，阻礙了實(shí)際應(yīng)用中單運(yùn)放差動(dòng)放大器的使用，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)使用多運(yùn)放差動(dòng)放大器或測量放大器。

存在著與放大器的增益a相關(guān)的相位移，而為了清楚起見，這些計(jì)算出來的結(jié)果忽略了那些相位移，由忽略這個(gè)反饋相位移而引入的誤差是很小的，并且除了在相交點(diǎn)附近（圖3）外，通常是可忽略的。然而在相交點(diǎn)的誤差是很大的，以至于很少有人讓運(yùn)放工作在那個(gè)位置。

編輯：jq