拓撲學，英文為 Topology，最初是幾何學的一個分支。通常的幾何學是研究平面或幾何體上點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質(zhì)；拓撲學對研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和位置關系都不關心，而是研究幾何形狀在連續(xù)形變下的不變性，即“拓撲不變性”和“拓撲等價性”等內(nèi)容。

在通常的平面幾何和立體幾何中，兩個圖形等價，是要求兩個圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)等操作能夠完全重合；在拓撲學里所研究的圖形，大小、形狀都可以改變，但是表面的點、線的結(jié)合關系、順序關系應該保持不變。如圖1，粉色的圖形通過連續(xù)的變形可以從球逐漸變成雞蛋、表面凹陷的球、類似鴨舌帽的圖形等。

在幾何拓撲的基礎上，通過幾何的微分形式研究體系的整體性質(zhì)就是微分拓撲，其包含兩個核心概念：底流形和纖維叢。流形是歐幾里德空間的一個子集，這個子集不一定是平直的，可以是一個平面、一個球面等幾何形狀。

底流形，顧名思義就相當于我們選取的一個基底空間。纖維，就是定義在基底空間上的可參數(shù)化的空間。例如，向量空間等，而纖維叢就是基底空間與纖維空間的乘積空間。例如，二維平面可以看成是兩個一維平面的乘積，圓柱面可以看作是圓圈和一維直線空間的乘積。纖維叢的一個形象比喻就是一把卷發(fā)梳：底流形是梳柄，而纖維則是上面的一根根梳齒。

微分拓撲已在物理研究中發(fā)揮重要的作用。例如，高能物理中的規(guī)范反常和引力反常，凝聚態(tài)物理中的整數(shù)量子霍爾效應，分數(shù)電荷等，都與各種物理空間中的拓撲性質(zhì)相關。

拿一個二維體系的電子結(jié)構(gòu)舉例：在二維體系中，考慮周期性邊界條件，其動量空間張成了輪胎面狀的布里淵區(qū)（底流形），布里淵區(qū)內(nèi)所有占據(jù)態(tài)的布洛赫波函數(shù)以及布里淵區(qū)就構(gòu)成了纖維叢，可以借助微分幾何的概念來刻畫材料電子結(jié)構(gòu)的拓撲性質(zhì)。

“拓撲”與磁性的第一次結(jié)合是整數(shù)量子霍爾效應

1980年，Von Klitzing等發(fā)現(xiàn)二維電子氣在極低溫條件下，隨著外加磁場的增強，霍爾電導不再隨磁場連續(xù)變化，而是呈現(xiàn)出一個個量子化的平臺，如圖3所示。因此項研究，Von Klitzing獲得了1985年的諾貝爾物理學獎。

在量子霍爾效應體系中，材料的邊界上會形成一些貫穿能隙的邊界態(tài)，邊界態(tài)的數(shù)目對應于陳數(shù)（一種拓撲數(shù)）。D.Thouless最早利用微分拓撲中的陳數(shù)解釋了量子霍爾電導平臺的穩(wěn)定性，他也因為這一工作獲得了2016年的諾貝爾物理學獎。

從2005年開始，拓撲學的知識在固體物理中得到了廣泛的應用。Kane和 Mele等在研究二維石墨烯時最早提出了“拓撲絕緣體”的概念。二維拓撲絕緣體，又稱量子自旋霍爾效應絕緣體，是一種全新的量子物態(tài)，它的體態(tài)是絕緣的，但是在邊界上存在拓撲保護的、能夠?qū)щ姷倪吔鐟B(tài)。

如圖4所示，量子自旋霍爾邊界態(tài)具有重要的“自旋過濾”特性：在邊界上，自旋向上的電子都向右運動，而自旋向下的電子向左傳播，彼此互不干擾，可以有效抑制“背散射”。因此，量子自旋霍爾效應體系在微納尺度是無電阻的理想導體。

“拓撲”與磁性的第二次結(jié)合是量子反常霍爾效應的實現(xiàn)

量子反?；魻栃煌诹孔踊魻栃漠a(chǎn)生不依賴于外加磁場而由材料本身的磁化產(chǎn)生。早在1988年，Haldane就提出了一種在六角晶格中實現(xiàn)這種無外加磁場的量子霍爾效應的理論模型，由此他也分享了2016年的諾貝爾物理學獎。

2013年，薛其坤院士團隊在實驗上首次觀測到了量子反常霍爾效應，該工作獲得了國家自然科學一等獎，其本人也獲得了2020年度的菲列茲·倫敦獎，成為首個獲得這一榮譽的中國科學家。

2011年，隨著對拓撲絕緣體的深入研究，人們又發(fā)現(xiàn)了拓撲半金屬：它的能隙為零，費米面是孤立的點或者閉合的線。拓撲半金屬是不同于拓撲絕緣體的一類新的拓撲量子態(tài)。根據(jù)節(jié)點的簡并狀況及在動量空間中的分布，拓撲半金屬可以細分為外爾半金屬（WSM）、狄拉克半金屬（DSM）和節(jié)點線半金屬（NLSM）等。

如圖5所示，前兩種半金屬的費米面是動量空間中幾個孤立的費米點，而NLSM中的費米面是一維的閉合環(huán)線。與拓撲絕緣體一樣，拓撲半金屬也有許多新奇的物性，包括動量空間中的磁單極子、費米弧、外爾異常和負磁阻效應等。

“拓撲”與磁性的第三次結(jié)合是磁性拓撲半金屬

2011年，萬賢剛等最早預言了燒綠石結(jié)構(gòu)的反鐵磁處于一種外爾半金屬相。隨后，徐剛等發(fā)現(xiàn)了尖晶石結(jié)構(gòu)中鐵磁態(tài)的三維拓撲半金屬 HgCr2Se4。自此，越來越多的磁性Weyl半金屬材料相繼提出，包括Heusler化合物、Kagome層狀材料和蜂窩狀晶格材料等。

與此同時，對于磁性Dirac半金屬材料的研究也獲得廣泛關注，包括CuMnAs、EuCd2As2等材料體系被相繼提出。磁性NLSM體系包括層狀的Fe3GeTe2和LaCl等。

這里我們選取EuCd2As2體系作為磁性拓撲半金屬的例子，簡單介紹其新穎的拓撲物性。EuCd2As2是一種具有層間反鐵磁結(jié)構(gòu)的狄拉克半金屬，在費米能級上只存在一對狄拉克點，如圖6所示。

通過調(diào)整磁矩方向，在EuCd2As2中還可以實現(xiàn)軸子絕緣體等新奇拓撲物態(tài)——在其某些表面上可以打開表面態(tài)的能隙，實現(xiàn)半整數(shù)量子霍爾效應、拓撲磁電效應、軸子極化激元等物理現(xiàn)象。EuCd2As2的發(fā)現(xiàn)為研究拓撲相變和新型反鐵磁拓撲物態(tài)提供了一個理想平臺。

相比于非磁拓撲材料，磁性拓撲材料最大的優(yōu)勢就是通過外加磁場可以有效調(diào)控磁性拓撲材料的磁化方向，從而實現(xiàn)不同拓撲態(tài)之間的拓撲相變。例如，外加磁場可以實現(xiàn)磁性拓撲半金屬到“量子反常霍爾態(tài)”、軸子絕緣體的轉(zhuǎn)變。

這些拓撲轉(zhuǎn)變可以巨大地改變材料的物理性質(zhì)，可以用來設計拓撲電子學器件。除了電學、磁學方面的新奇物性，磁性拓撲材料在光學等其他領域也有應用，包括實現(xiàn)拓撲磁光效應、用于宇宙暗物質(zhì)探測等。

與拓撲相關的研究還包括高階拓撲絕緣體、非厄米系統(tǒng)中的拓撲態(tài)、磁性-超導材料異質(zhì)結(jié)中的拓撲超導態(tài)等。這些前沿研究具有廣泛而深遠的戰(zhàn)略意義。其中，拓撲與磁性的結(jié)合尤為重要。一方面它可以提升我國的科研創(chuàng)新能力，另一方面相關量子現(xiàn)象的探測和調(diào)控研究將為新一代自旋電子器件、量子通信、拓撲量子計算機等領域打下堅實的理論基礎和材料基礎。

來源：《大學科普》“理論物理”科普專題

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