一、什么是微分算子符號？

描述線性系統(tǒng)的激勵函數(shù)和響應(yīng)函數(shù)間關(guān)系的微分方程，具有以下形式：

式中為時域中的微分算子符號，當(dāng)它們作用于某一時間函數(shù)時，該函數(shù)就要對時間變量t分別進(jìn)行一次和n此微分運算?，F(xiàn)在為了方便計算，

把微分算自符號用p來代表，即令：

把積分算子用1/p來代表，即令：

于是有：

利用這樣的符號，積分微分方程或微分方程就可以用較為簡化的形式寫出。

或者仿照代數(shù)方程把公共因子提出來的方法，還可以寫成：

在這里，雖然把微分算子符號p像代數(shù)量那樣處理，但是不要忘記它不是代數(shù)量。因此，例如

這樣的式子中，

并不是用來與函數(shù)x相乘的代數(shù)量，而它作為一個整體，是一個作用在函數(shù)x的運算符號，代表著一定的運算過程，即

利用算子符號把微分方程寫成代數(shù)方程的算子方程，于是就會自然地闡述這樣的一個問題，即代數(shù)方程中的運算規(guī)則在算子方程中是否適用？

對于這個問題的回答是：一般適用，但有例外。

例如，在代數(shù)方程中有關(guān)系

在算子方程中關(guān)系

是否也成立呢？只要加以運算檢驗，就可以證明這關(guān)系是成立的。證明如下

把這檢驗法加以推廣，不難得出結(jié)論，即由p的多項式所組成運算符號可以像代數(shù)式那樣進(jìn)行相乘和那樣因子分解。

再例如：

這里也像代數(shù)式中一樣，分子分母中的p可以消去。但是

這里分母和分子中的p一般就不能消去。這表明

也就是說，微分和積分的運算次序不能任意顛倒，兩種運算也不一定能抵消。同樣，若將式

兩邊積分，可得：x=y+c

其中c為積分常數(shù)。由此可見，在等式px=py，雙方的算子p一般也不好消去。

以上說明，代數(shù)量的運算規(guī)則對于算子符號一般也可以應(yīng)用，只是在分子分母中或等式兩邊中相同的算子符號卻不能隨便消去。

二、微分方程的算子形式和拉普拉斯變換式之間的是什么關(guān)系？

描述系統(tǒng)的輸入輸出的微分方程一般形式有：

把左右兩邊p的多項式分別記為D(p)和N(P)，則有

D(p)r(t)=N(P)e(t)

這一微分方程又可進(jìn)一步寫成

把p的分式N(p)/D(p)定義為轉(zhuǎn)移算子H(p)，即H(p)=N(p)/D(p)

于是，在時域中響應(yīng)函數(shù)與激勵函數(shù)之間的關(guān)系，就可用以下簡明的一般形式表示：r(t)=H(p)e(t)

當(dāng)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)時，激勵函數(shù)e(t)為零，就要解齊次方程

D(p)r(t)=0

當(dāng)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時，則要解非齊次方程

r(t)=H(p)e(t)

把微分方程的時域算子的形式與拉普拉斯的變換式相比較，將下式進(jìn)行拉普拉斯變換，得

把此等式左邊s得多項式記為D(s),右邊s得多項式記為N(s)，則有

D(s)R(s)=N(s)E(s)

或者R(s)=N(s)E(s)/D(s)=H(s)E(s)

其中H(s)=N(s)/D(s)為在復(fù)頻域中表示響應(yīng)函數(shù)和激勵函數(shù)之間關(guān)系的轉(zhuǎn)移函數(shù)。

當(dāng)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)時，激勵函數(shù)E(s)為零，D(s)R(s)=N(s)E(s)成為D(s)R(s)=0。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)由特征方程D(s)=0的根決定。

當(dāng)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時，只要將式R(s)=N(s)E(s)/D(s)=H(s)E(s)進(jìn)行拉普拉斯反變換即得。

把拉普拉斯的式子與算子形式的微分方程式相比較，就可以發(fā)現(xiàn)各對應(yīng)得關(guān)系式之間，具有完全相似得形式。

可以看到，

在拉普拉斯變換式中，R(s)、E(s)、H(s)等都是復(fù)頻率變量s的函數(shù)，H(s)E(s)即表示這兩個函數(shù)相乘。

而在算子形式的微分方程中，r(t)、e(t)都是時間函數(shù)，H(p)是時域中的運算符號，H(p)e(t)并不表示兩個函數(shù)相乘，而只表示對方程中的時間函數(shù)進(jìn)行某種特定的運算。

算子形式的微分方程和其拉普拉斯變換式之間的相似性，很自然會引起人們提出這樣的問題，即在求解系統(tǒng)的響應(yīng)時，是否也具備同樣的相似性？

或者說，能不能把拉普拉斯變換中的一套求解法搬過來用于時域中求解微分方程呢？

對于求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，回答是肯定的。

但是對于求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，除了兩者均以疊加原理為共同基礎(chǔ)外，在激勵函數(shù)的分解和系統(tǒng)單元激勵函數(shù)的響應(yīng)等具體形式上，時域分析法就不同于復(fù)頻率分析法，然而兩種分析法之間，又存在著密切的關(guān)系。

編輯：jq