下面我們將鏡頭切到袁記菜館。

小二：掌柜的，最近大家都在忙著種樹，說是要保護環(huán)境。

老板娘：樹 ？ 咱們店有呀，前幾年種的那棵葡萄樹，不是都結果子了嗎？就數(shù)你吃的最多。

小兒：這...

大家應該猜到，咱們今天要嘮啥了。

之前給大家介紹了鏈表，棧，哈希表 等數(shù)據(jù)結構

今天咱們來看一種新的數(shù)據(jù)結構，樹。

PS：本篇文章內容較基礎，對于沒有學過數(shù)據(jù)結構的同學會有一些幫助，如果你已經(jīng)學過的話，也可以復習一下，查缺補漏，后面會繼續(xù)更新這個系列。

樹

我們先來看下百度百科對樹的定義

樹是 n （n 》= 0） 個節(jié)點的有限集。n = 0 時 我們稱之為空樹， 空樹是樹的特例。

在任意一棵非空樹中：

有且僅有一個特定的節(jié)點稱為根（Root）的節(jié)點

當 n 》 1 時，其余節(jié)點可分為 m （m 》 0）個互不相交的有限集 T1、T2、....Tm，其中每一個集合本身又是一棵樹，并且稱為根的子樹。

我們一起來拆解一下上面的兩句話，到底什么是子樹呢？見下圖

樹

例如在上面的圖中

有且僅有一個特定的節(jié)點稱為根節(jié)點，也就是上圖中的橙色節(jié)點。

當節(jié)點數(shù)目大于 1 時，除根節(jié)點以外的節(jié)點，可分為 m 個互不相交的有限集 T1，T2.。..。...Tm。

例如上圖中，我們將根節(jié)點以外的節(jié)點，分為了 T1 （2，3，4，5，6，7），T2（8，9）兩個有限集。

那么 T1 （綠色節(jié)點）和 T2（藍色節(jié)點）就是根節(jié)點（橙色節(jié)點）的子樹。

我們拆解之后發(fā)現(xiàn)，我們上圖中的例子符合樹的要求，另外不知道大家有沒有注意到這個地方。

除根節(jié)點以外的節(jié)點，可分為 m 個互不相交的有限集。

那么這個互不相交又是什么含義呢？見下圖。

我們將 （A） ， （B） ， （C） ， （D） 代入上方定義中發(fā)現(xiàn)，（A） ， （B） 符合樹的定義，（C）， （D） 不符合，這是因為 （C） ， （D） 它們都有相交的子樹。

好啦，到這里我們知道如何辨別樹啦，下面我們通過下面兩張圖再來深入了解一下樹。

主要從節(jié)點類型，節(jié)點間的關系下手。

這里節(jié)點的高度和深度可能容易記混，我們代入到現(xiàn)實即可。

我們求物體深度時，從上往下測量，求高度時，從下往上測量，節(jié)點的高度和深度也是如此。

二叉樹

我們刷題時遇到的就是二叉樹啦，下面我們一起來了解一下二叉樹

二叉樹前提是一棵樹，也就是需要滿足我們樹的定義的同時，還需要滿足以下要求

每個節(jié)點最多有兩個子節(jié)點，分別是左子節(jié)點和右子節(jié)點。

注意我們這里提到的是最多，所以二叉樹并不是必須要求每個節(jié)點都有兩個子節(jié)點，也可以有的僅有一個左子節(jié)點，有的節(jié)點僅有一個右子節(jié)點。

下面我們來總結一下二叉樹的特點

每個節(jié)點最多有兩棵子樹，也就是說二叉樹中不存在度大于 2 的節(jié)點，節(jié)點的度可以為 0，1，2。

左子樹和右子樹是有順序的，有左右之分。

假如只有一棵子樹 ，也要區(qū)分它是左子樹還是右子樹

好啦，我們已經(jīng)了解了二叉樹的特點，那我們分析一下，下圖中的樹是否滿足二叉樹定義，共有幾種二叉樹。

上圖共為 5 種不同的二叉樹，在二叉樹的定義中提到，二叉樹的左子樹和右子樹是有順序的，所以 B，C 是兩個不同的二叉樹，故上圖為 5 種不同的二叉樹。

特殊的二叉樹

下面我們來說幾種比較特殊的二叉樹，可以幫助我們刷題時，考慮到特殊情況。

滿二叉樹

滿二叉樹：在一棵二叉樹中，所有分支節(jié)點都存在左子樹和右子樹，并且所有的葉子都在同一層，這種樹我們稱之為滿二叉樹。見下圖

我們發(fā)現(xiàn)只有 （B） 符合滿二叉樹的定義，我們發(fā)現(xiàn)其實滿二叉樹也為完全二叉樹的一種。

完全二叉樹

完全二叉樹：葉子結點只能出現(xiàn)在最下層和次下層，且最下層的葉子結點集中在樹的左部。

哦！我們可以這樣理解，除了最后一層，其他層的節(jié)點個數(shù)都是滿的，而且最后一層的葉子節(jié)點必須靠左。

下面我們來看一下這幾個例子

上面的幾個例子中，（A）（B）為完全二叉樹，（C）（D）不是完全二叉樹

斜二叉樹

這個就很好理解啦，斜二叉樹也就是斜的二叉樹，所有的節(jié)點只有左子樹的稱為左斜樹，所有節(jié)點只有右子樹的二叉樹稱為右斜樹。

諾，下面這倆就是。

另外還有 一些二叉樹的性質， 比如第 i 層至多有多少節(jié)點，通過葉子節(jié)點求度為 2 的節(jié)點， 通過節(jié)點樹求二叉樹的深度等， 這些是考研?？嫉闹R， 就不在這里進行贅述，需要的同學可以看一下王道或者天勤的數(shù)據(jù)結構， 上面描述的很具體， 并附有證明過程。

好啦，我們已經(jīng)了解了二叉樹，那么二叉樹如何存儲呢？

如何存儲二叉樹

二叉樹多采用兩種方法進行存儲，基于數(shù)組的順序存儲法和基于指針的二叉鏈式存儲法

我們在之前說過的堆排序中，其中對堆的存儲采用的則是順序存儲法，具體細節(jié)可以看這篇文章

一個破堆排我搞了 4 個動畫？

這里我們再來回顧一下如何用數(shù)組存儲完全二叉樹。

我們首先看根節(jié)點，也就是值為 1 的節(jié)點，它在數(shù)組中的下標為 1 ，它的左子節(jié)點，也就是值為 4 的節(jié)點，此時索引為 2，右子節(jié)點也就是值為 2 的節(jié)點，它的索引為 3。

我們發(fā)現(xiàn)其中的關系了嗎？

數(shù)組中，某節(jié)點（非葉子節(jié)點）的下標為 i ， 那么其左子節(jié)點下標為 2*i（這里可以直接通過相乘得到左孩子， 也就是為什么空出第一個位置， 如果從 0 開始存，則需要 2i+1 才行）， 右子節(jié)點為 2i+1，其父節(jié)點為 i/2 。既然我們完全可以根據(jù)索引找到某節(jié)點的 左子節(jié)點 和右子節(jié)點，那么我們用數(shù)組存儲是完全沒有問題的。

但是，我們再考慮一下這種情景，如果我們用數(shù)組存儲斜樹時會出現(xiàn)什么情況？

通過 2*i 進行存儲左子節(jié)點的話，如果遇到斜樹時，則會浪費很多的存儲空間，這樣顯然是不合適的，

所以說當存儲完全二叉樹時，我們用數(shù)組存儲，無疑是最省內存的，但是存儲斜樹時，則就不太合適。

所以我們下面介紹一下另一種存儲結構，鏈式存儲結構。

因為二叉樹的每個節(jié)點， 最多有兩個孩子， 所以我們只需為每個節(jié)點定義一個數(shù)據(jù)域，兩個指針域即可

val 為節(jié)點的值， left 指向左子節(jié)點， right 指向右子節(jié)點。

下面我們對樹 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 使用鏈式存儲結構進行存儲，即為下面這種情況。

二叉鏈表的節(jié)點結構定義代碼

public class BinaryTree {

int val;

BinaryTree left;

BinaryTree right;

BinaryTree（） {}

BinaryTree（int val） { this.val = val; }

BinaryTree（int val， BinaryTree left， BinaryTree right） {

this.val = val;

this.left = left;

this.right = right;

}

}

另外我們在刷題的時候， 可以自己實現(xiàn)一下數(shù)據(jù)結構， 加深我們的理解， 提升基本功， 而且面試考的也越來越多。

好啦，下面我們說一下樹的遍歷，

下面我會用動圖的形式進行描述，很容易理解， 我也會為大家總結對應的題目，歡迎各位閱讀。

遍歷二叉樹

二叉樹的遍歷指從根節(jié)點出發(fā)，按照某種次序依次訪問二叉樹的所有節(jié)點，使得每個節(jié)點都被訪問且訪問一次。

我們下面介紹二叉樹的幾種遍歷方法及其對應的題目， 前序遍歷， 中序遍歷 ， 后序遍歷 ， 層序遍歷 。

前序遍歷

前序遍歷的順序是， 對于樹中的某節(jié)點，先遍歷該節(jié)點，然后再遍歷其左子樹，最后遍歷其右子樹。

只看文字有點生硬， 下面我們直接看動畫吧

前序遍歷

測試題目： leetcode 144. 二叉樹的前序遍歷

代碼實現(xiàn)（遞歸版）

class Solution {

public List《Integer》 preorderTraversal（TreeNode root） {

List《Integer》 arr = new ArrayList《》（）;

preorder（root，arr）;

return arr;

}

public void preorder（TreeNode root，List《Integer》 arr） {

if （root == null） {

return;

}

arr.add（root.val）;

preorder（root.left，arr）;

preorder（root.right，arr）;

}

}

時間復雜度 ： O（n） 空間復雜度 ： O（n） 為遞歸過程中棧的開銷，平均為 O（logn），但是當二叉樹為斜樹時則為 O（n）

為了控制文章篇幅， 二叉樹的迭代遍歷形式， 會在下篇文章進行介紹。

中序遍歷

中序遍歷的順序是， 對于樹中的某節(jié)點，先遍歷該節(jié)點的左子樹， 然后再遍歷該節(jié)點， 最后遍歷其右子樹

繼續(xù)看動畫吧， 如果有些遺忘或者剛開始學數(shù)據(jù)結構的同學可以自己模擬一下執(zhí)行步驟。

中序遍歷

測試題目： leetcode 94 題 二叉樹的中序遍歷

代碼實現(xiàn)（遞歸版）

class Solution {

public List《Integer》 inorderTraversal（TreeNode root） {

List《Integer》 res = new ArrayList《》（）;

inorder（root， res）;

return res;

}

public void inorder （TreeNode root， List《Integer》 res） {

if （root == null） {

return;

}

inorder（root.left， res）;

res.add（root.val）;

inorder（root.right， res）;

}

}

時間復雜度 ： O（n） 空間復雜度 ： O（n）

后序遍歷

后序遍歷的順序是，對于樹中的某節(jié)點， 先遍歷該節(jié)點的左子樹， 再遍歷其右子樹， 最后遍歷該節(jié)點。

后序遍歷

測試題目： leetcode 145 題 二叉樹的后序遍歷

代碼實現(xiàn)（遞歸版）

class Solution {

public List《Integer》 postorderTraversal（TreeNode root） {

List《Integer》 res = new ArrayList《》（）;

postorder（root，res）;

return res;

}

public void postorder（TreeNode root， List《Integer》 res） {

if （root == null） {

return;

}

postorder（root.left， res）;

postorder（root.right， res）;

res.add（root.val）;

}

}

時間復雜度 ： O（n） 空間復雜度 ： O（n）

層序遍歷

顧名思義，一層一層的遍歷。

比如剛才那棵二叉樹的層序遍歷序列即為 1 ~ 9.

二叉樹的層序， 這里我們需要借助其他數(shù)據(jù)結構來實現(xiàn)， 我們思考一下， 我們需要對二叉樹進行層次遍歷， 從上往下進行遍歷， 我們可以借助什么數(shù)據(jù)結構來幫我們呢 ？

我們可以利用隊列先進先出的特性，使用隊列來幫助我們完成層序遍歷， 具體操作如下

讓二叉樹的每一層入隊， 然后再依次執(zhí)行出隊操作，

對該層節(jié)點執(zhí)行出隊操作時， 需要將該節(jié)點的左孩子節(jié)點和右孩子節(jié)點進行入隊操作，

這樣當該層的所有節(jié)點出隊結束后， 下一層也就入隊完畢，

不過我們需要考慮的就是， 我們需要通過一個變量來保存每一層節(jié)點的數(shù)量。

這樣做是為了防止， 一直執(zhí)行出隊操作， 使輸出不能分層，

測試題目： leetcode 102 二叉樹的層序遍歷

題目代碼

class Solution {

public List《List《Integer》》 levelOrder（TreeNode root） {

List《List《Integer》》 res = new ArrayList《》（）;

if （root == null） {

return res;

}

//入隊 root 節(jié)點，也就是第一層

Queue《TreeNode》 queue = new LinkedList《》（）;

queue.offer（root）;

while （！queue.isEmpty（）） {

List《Integer》 list = new ArrayList《》（）;

int size = queue.size（）;

for （int i = 0; i 《 size; ++i） {

TreeNode temp = queue.poll（）;

//孩子節(jié)點不為空，則入隊

if （temp.left ！= null） queue.offer（temp.left）;

if （temp.right ！= null） queue.offer（temp.right）;

list.add（temp.val）;

}

res.add（list）;

}

return res;

}

}

時間復雜度：O（n） 空間復雜度：O（n）

大家如果吃透了二叉樹的層序遍歷的話，可以順手把下面幾道題目解決掉，思路一致，甚至都不用拐彎

leetcode 107. 二叉樹的層序遍歷 II

leetcode 103. 二叉樹的鋸齒形層序遍歷上面兩道題僅僅是多了翻轉

leetcode 199. 二叉樹的右視圖

leetcode 515. 在每個樹行中找最大值

leetcode 637. 二叉樹的層平均值

這三道題，僅僅是加了一層的一些操作

leetcode 116 填充每個節(jié)點的下一個右側

leetcode 117 填充每個節(jié)點的下一個右側2

這兩個題對每一層的節(jié)點進行鏈接即可，兩道題目代碼一致

大家可以去順手解決這些題目，但是也要注意一下其他解法，把題目吃透。不要為了數(shù)目而刷題，好啦，今天的節(jié)目就到這里啦，我們下期見！

原文標題：把二叉樹揉碎（一）

文章出處：【微信公眾號：算法與數(shù)據(jù)結構】歡迎添加關注！文章轉載請注明出處。

責任編輯：haq