文章從實際出發(fā)，講述了什么是傅里葉變換，它的理論基礎以及Numpy和OpenCV實現(xiàn)傅里葉和逆傅里葉變換，并最終用高通濾波和低通濾波的示例。

1. 什么是傅里葉變換及其基礎理論

1.1傅里葉變換

圖像處理一般分為直接對圖像內(nèi)的像素進行處理的空間域處理和頻率域處理。

空間域處理主要劃分為灰度變換和空間濾波兩種形式。

灰度變換是對圖像內(nèi)的單個像素進行處理，比如調(diào)節(jié)對比度和處理閾值等。

空間濾波涉及圖像質(zhì)量的改變，例如圖像平滑處理?？臻g域處理的計算簡單方便，運算速度更快。

頻率域處理是先將圖像變換到頻率域，然后在頻率域?qū)D像進行處理，最后再通過反變換將圖像從頻率域變換到空間域。

1.2基礎理論

時間差，在傅里葉變換里就是相位。相位表述的是與時間差相關(guān)的信息。

在圖像處理過程中，傅里葉變換就是將圖像分解為正弦分量和余弦分量兩部分，即將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻域。

數(shù)字圖像經(jīng)過傅里葉變換后，得到的頻域值是復數(shù)。因此，顯示傅里葉變換的結(jié)果需要使用實數(shù)圖像（real image）加虛數(shù)圖像（complex image），或者幅度圖像（magnitude image）加相位圖像（phase image）的形式。因為幅度圖像包含了原圖像中我們所需要的大部分信息，所以在圖像處理過程中，通常僅使用幅度圖像。

如果希望先在頻域內(nèi)對圖像進行處理，再通過逆傅里葉變換得到修改后的空域圖像，就必須同時保留幅度圖像和相位圖像。對圖像進行傅里葉變換后，會得到圖像中的低頻和高頻信息。低頻信息對應圖像內(nèi)變化緩慢的灰度分量。高頻信息對應圖像內(nèi)變化越來越快的灰度分量，是由灰度的尖銳過渡造成的。

傅里葉變換的目的，就是為了將圖像從空域轉(zhuǎn)換到頻域，并在頻域內(nèi)實現(xiàn)對圖像內(nèi)特定對象的處理，然后再對經(jīng)過處理的頻域圖像進行逆傅里葉變換得到空域圖像。

2. Numpy實現(xiàn)傅里葉和逆傅里葉變換

2.1Numpy實現(xiàn)傅里葉變換

Numpy模塊中的fft2（）函數(shù)可以實現(xiàn)圖像的傅里葉變換。

Numpy提供的實現(xiàn)傅里葉變換的函數(shù)是numpy.fft.fft2（），它的語法格式是：

返回值 = numpy.fft.fft2（原始圖像）

參數(shù)“原始圖像”的類型是灰度圖像，函數(shù)的返回值是一個復數(shù)數(shù)組（complex ndarray）。經(jīng)過該函數(shù)的處理，就能得到圖像的頻譜信息。此時，圖像頻譜中的零頻率分量位于頻譜圖像（頻域圖像）的左上角。

為了便于觀察，通常會使用numpy.fft.fftshift（）函數(shù)將零頻率成分移動到頻域圖像的中心位置。函數(shù)numpy.fft.fftshift（）的語法格式是：

返回值=numpy.fft.fftshift（原始頻譜）

為了顯示為圖像，需要將它們的值調(diào)整到［0， 255］的灰度空間內(nèi)，使用的公式為：

像素新值=20*np.log（np.abs（頻譜值））

用Numpy實現(xiàn)傅里葉變換，觀察得到的頻譜圖像。

import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
img=cv2.imread('./img/hand1.png',0)f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift)) plt.subplot(121) plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original') plt.axis('off') plt.subplot(122) plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray') plt.title('result') plt.axis('off') plt.show()

2.2 實現(xiàn)逆傅里葉變換

注意： 如果在傅里葉變換過程中使用了numpy.fft.fftshift（）函數(shù)移動零頻率分量，那么在逆傅里葉變換過程中，需要先使用numpy.fft.ifftshift（）函數(shù)將零頻率分量移到原來的位置，再進行逆傅里葉變換

函數(shù)numpy.fft.ifftshift（）是numpy.fft.fftshift（）的逆函數(shù)，其語法格式為：

調(diào)整后的頻譜 = numpy.fft.ifftshift（原始頻譜）

numpy.fft.ifft2（）函數(shù)可以實現(xiàn)逆傅里葉變換，返回空域復數(shù)數(shù)組。

它是numpy.fft.fft2（）的逆函數(shù)，該函數(shù)的語法格式為：

返回值=numpy.fft.ifft2（頻域數(shù)據(jù)）

函數(shù)numpy.fft.ifft2（）的返回值仍舊是一個復數(shù)數(shù)組（complex ndarray）。

逆傅里葉變換得到的空域信息是一個復數(shù)數(shù)組，需要將該信息調(diào)整至［0， 255］灰度空間內(nèi)，使用的公式為：

iimg = np.abs（逆傅里葉變換結(jié)果）

在Numpy內(nèi)實現(xiàn)傅里葉變換、逆傅里葉變換，觀察逆傅里葉變換的結(jié)果圖像。

import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f)
ishift = np.fft.ifftshift(fshift) iimg = np.fft.ifft2(ishift) 
iimg = np.abs(iimg)  plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray') plt.title('iimg'), plt.axis('off') plt.show()

2.3高通濾波示例

一幅圖像內(nèi)，同時存在著高頻信號和低頻信號。

低頻信號對應圖像內(nèi)變化緩慢的灰度分量。例如，在一幅大草原的圖像中，低頻信號對應著顏色趨于一致的廣袤草原。高頻信號對應圖像內(nèi)變化越來越快的灰度分量，是由灰度的尖銳過渡造成的。如果在上面的大草原圖像中還有一頭獅子，那么高頻信號就對應著獅子的邊緣等信息。

濾波器能夠允許一定頻率的分量通過或者拒絕其通過，按照其作用方式可以劃分為低通濾波器和高通濾波器。

允許低頻信號通過的濾波器稱為低通濾波器。低通濾波器使高頻信號衰減而對低頻信號放行，會使圖像變模糊。允許高頻信號通過的濾波器稱為高通濾波器。高通濾波器使低頻信號衰減而讓高頻信號通過，將增強圖像中尖銳的細節(jié)，但是會導致圖像的對比度降低。

傅里葉變換可以將圖像的高頻信號和低頻信號分離。通過對圖像的頻域處理，可以實現(xiàn)圖像增強、圖像去噪、邊緣檢測、特征提取、壓縮和加密等操作。

在Numpy內(nèi)對圖像進行傅里葉變換，得到其頻域圖像。然后，在頻域內(nèi)將低頻分量的值處理為0，實現(xiàn)高通濾波。最后，對圖像進行逆傅里葉變換，得到恢復的原始圖像。

import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) rows, cols = img.shape crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0 ishift = np.fft.ifftshift(fshift) iimg = np.fft.ifft2(ishift) iimg = np.abs(iimg) plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray') plt.title('iimg'), plt.axis('off') plt.show()

3.OpenCV實現(xiàn)傅里葉和逆傅里葉變換及低通濾波示例

3.1 OpenCV實現(xiàn)傅里葉變換

OpenCV提供了函數(shù)cv2.dft（）和cv2.idft（）來實現(xiàn)傅里葉變換和逆傅里葉變換

函數(shù)cv2.dft（）的語法格式為：

返回結(jié)果=cv2.dft（原始圖像，轉(zhuǎn)換標識）

在使用該函數(shù)時，需要注意參數(shù)的使用規(guī)范：對于參數(shù)“原始圖像”，要首先使用np.float32（）函數(shù)將圖像轉(zhuǎn)換成np.float32格式?！稗D(zhuǎn)換標識”的值通常為“cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT”，用來輸出一個復數(shù)陣列。

函數(shù)cv2.dft（）返回的結(jié)果與使用Numpy進行傅里葉變換得到的結(jié)果是一致的，但是它返回的值是雙通道的，第1個通道是結(jié)果的實數(shù)部分，第2個通道是結(jié)果的虛數(shù)部分。

經(jīng)過函數(shù)cv2.dft（）的變換后，得到了原始圖像的頻譜信息。此時，零頻率分量并不在中心位置，為了處理方便需要將其移至中心位置，可以用函數(shù)numpy.fft.fftshift（）實現(xiàn)。

例如，如下語句將頻譜圖像dft中的零頻率分量移到頻譜中心，得到了零頻率分量位于中心的頻譜圖像dftshift。

dftShift = np.fft.fftshift（dft）

經(jīng)過上述處理后，頻譜圖像還只是一個由實部和虛部構(gòu)成的值。要將其顯示出來，還要做進一步的處理才行。

函數(shù)cv2.magnitude（）可以計算頻譜信息的幅度。該函數(shù)的語法格式為：

返回值=cv2.magnitude（參數(shù)1，參數(shù)2）

參數(shù)1：浮點型x坐標值，也就是實部。參數(shù)2：浮點型y坐標值，也就是虛部，它必須和參數(shù)1具有相同的size

函數(shù)cv2.magnitude（）的返回值是參數(shù)1和參數(shù)2的平方和的平方根，公式為：

得到頻譜信息的幅度后，通常還要對幅度值做進一步的轉(zhuǎn)換，以便將頻譜信息以圖像的形式展示出來。簡單來說，就是需要將幅度值映射到灰度圖像的灰度空間［0， 255］內(nèi)，使其以灰度圖像的形式顯示出來。

這里使用的公式為：

result = 20*np.log(cv2.magnitude(實部，虛部))

import numpy as np import cv2 img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) print(dft) dftShift = np.fft.fftshift(dft) print(dftShift) result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :,0], dftShift[:, :,1])) #兩個參數(shù)，需要拆分通道print(result)

import numpy as np import cv2 import matplotlib.pyplot as plt
img=cv2.imread('./img/hand1.png',0)dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dftShift = np.fft.fftshift(dft) result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :,0], dftShift[:, :,1])) plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray') plt.title('result'), plt.axis('off') plt.show()

3.2實現(xiàn)逆傅里葉變換

在OpenCV中，使用函數(shù)cv2.idft（）實現(xiàn)逆傅里葉變換，該函數(shù)是傅里葉變換函數(shù)cv2.dft（）的逆函數(shù)。其語法格式為：

返回結(jié)果=cv2.idft（原始數(shù)據(jù)）

對圖像進行傅里葉變換后，通常會將零頻率分量移至頻譜圖像的中心位置。如果使用函數(shù)numpy.fft.fftshift（）移動了零頻率分量，那么在進行逆傅里葉變換前，要使用函數(shù)numpy.fft.ifftshift（）將零頻率分量恢復到原來位置。

注意： 在進行逆傅里葉變換后，得到的值仍舊是復數(shù)，需要使用函數(shù)cv2.magnitude（）計算其幅度。

用OpenCV函數(shù)對圖像進行傅里葉變換、逆傅里葉變換，并展示原始圖像及經(jīng)過逆傅里葉變換后得到的圖像。

import numpy as np import cv2 import matplotlib.pyplot as plt
img=cv2.imread('./img/hand1.png',0)dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dftShift = np.fft.fftshift(dft)
ishift=np.fft.ifftshift(dftShift)iImg = cv2.idft(ishift) iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1]) # 計算幅度plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') plt.title('inverse'), plt.axis('off') plt.show()

3.3低通濾波示例

在一幅圖像內(nèi)，低頻信號對應圖像內(nèi)變化緩慢的灰度分量。圖像進行低通濾波后會變模糊

實現(xiàn)的中間步驟

rows， cols = img.shape crow， ccol = int（rows/2） ， int（cols/2） mask = np.zeros（（rows， cols，2）， np.uint8） # 二維的原因，有實部和虛部 mask［crow-30:crow+30， ccol-30:ccol+30，：］ = 1

然后，將其與頻譜圖像進行運算，實現(xiàn)低通濾波。這里采用的運算形式是：

fShift = dftShift*mask

使用函數(shù)cv2.dft（）對圖像進行傅里葉變換，得到其頻譜圖像。然后，在頻域內(nèi)將其高頻分量的值處理為0，實現(xiàn)低通濾波。最后，對圖像進行逆傅里葉變換，得到恢復的原始圖像。

import numpy as np import cv2 import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dftShift = np.fft.fftshift(dft)
rows, cols = img.shape crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) mask = np.zeros((rows, cols,2), np.uint8) #兩個通道，與頻域圖像匹配 mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30,:] = 1 fShift = dftShift*mask ishift = np.fft.ifftshift(fShift) iImg = cv2.idft(ishift) iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1])
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') plt.title('inverse'), plt.axis('off') plt.show()

審核編輯：郭婷