Christopher J. Fisher

確定系統(tǒng)傾斜或傾斜的一種常用方法是對陀螺儀的輸出進(jìn)行積分。雖然這種方法很簡單，但隨著積分周期的增加，與零偏置穩(wěn)定性相關(guān)的誤差會迅速加劇，即使在器件靜止時也會導(dǎo)致明顯的旋轉(zhuǎn)。

在某些應(yīng)用中，系統(tǒng)隨時間推移的凈加速度或力是重力，加速度計(jì)可用于測量傾斜或傾斜的靜態(tài)角度。此類應(yīng)用包括游戲、數(shù)碼相機(jī)中的水平檢測以及工業(yè)和醫(yī)療應(yīng)用中的設(shè)備航向檢測。

使用加速度計(jì)進(jìn)行傾角感應(yīng)的基本假設(shè)是，唯一的加速度刺激是與重力相關(guān)的加速度刺激。實(shí)際上，可以對信號輸出進(jìn)行信號處理，以去除輸出信號中的高頻成分，因此可以容忍一些交流加速度。

傾角傳感使用重力矢量及其在加速度計(jì)軸上的投影來確定傾斜角度。由于重力是直流加速度，因此任何導(dǎo)致額外直流加速度的力都會損壞輸出信號并導(dǎo)致計(jì)算錯誤。直流加速度的來源包括車輛以恒定速率加速的時間段和在加速度計(jì)上引起向心加速度的旋轉(zhuǎn)裝置。此外，通過重力旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)會導(dǎo)致明顯的交流加速度，因?yàn)橹亓υ诟信d趣軸上的投影會發(fā)生變化。在計(jì)算傾角之前對加速度信號進(jìn)行任何濾波都會影響輸出穩(wěn)定到新靜態(tài)值的速度。

本應(yīng)用筆記討論了將加速度計(jì)輸出轉(zhuǎn)換為傾斜角的基本原理。本討論包括如何計(jì)算單軸、雙軸或三軸解決方案的理想傾角。此外，還包括一些有關(guān)校準(zhǔn)的基本信息，以減少失調(diào)和靈敏度不匹配造成的誤差。

傾斜/傾斜計(jì)算

單軸傾斜計(jì)算

在只需要在有限角度和分辨率略顯粗糙的范圍內(nèi)進(jìn)行傾角檢測的應(yīng)用中，可以使用單軸設(shè)備（或多軸設(shè)備的單軸）。

例如，在圖 1 中，單個軸（本例中的 x 軸）通過重力旋轉(zhuǎn)。由于此方法僅使用單個軸并且需要重力矢量，因此僅當(dāng)設(shè)備的方向使x軸始終位于重力平面中時，計(jì)算的傾斜角度才是準(zhǔn)確的。圍繞其他軸的任何旋轉(zhuǎn)都會減小 x 軸上的加速度大小，并導(dǎo)致計(jì)算的傾斜角出現(xiàn)誤差。

圖1.用于傾斜傳感的單軸。

參考基本三角函數(shù)，重力矢量在 x 軸上的投影產(chǎn)生的輸出加速度等于加速度計(jì) x 軸與地平線之間角度的正弦。地平線通常被視為與重力矢量正交的平面。對于重力的理想值為 1 g，輸出加速度為

使用單軸解決方案時，請注意，傾角計(jì)算的靈敏度（即輸入中某些變化的輸出變化）隨著地平線和 x 軸之間的角度增加而降低，當(dāng)角度接近 ±0° 時接近 90。這可以從圖2中看到，其中輸出加速度（以g為單位）與傾斜角的關(guān)系圖。接近±90°時，傾斜角度的較大變化會導(dǎo)致輸出加速度的微小變化。

圖2.單軸傾角檢測的輸出加速度與傾斜角度的關(guān)系。

由于傾角計(jì)算是以數(shù)字方式完成的，因此輸出加速度表示為每最低有效位（LSB）或代碼的恒定加速度，該加速度可從模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）或直接從數(shù)字輸出部分獲得。由于輸出分辨率是恒定加速度，因此以傾斜度為單位的分辨率是可變的，最佳分辨率接近 0°，最差分辨率為 ±90°。

圖3和圖4顯示了1°和0.25°傾斜角步長的增量靈敏度。增量靈敏度是輸出變化，以mg表示，每個傾斜角度步長，或

其中：
N 是當(dāng)前角度。
P 是步長。

圖3.1° 步長的增量傾斜靈敏度。

圖4.0.25°步長的增量傾斜靈敏度。

這些曲線可用于在測量輸出加速度時確定所需的最小分辨率，以滿足整個應(yīng)用范圍內(nèi)所需的傾斜分辨率。例如，設(shè)計(jì)的最大步長為 1°，對于 ±8° 的范圍，至少需要 63 mg/LSB 的分辨率。同樣，要在 ±0 范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn) 25.63° 的最大步長，需要至少 2 mg/LSB 的分辨率。請注意，如果存在足夠的抖動，則可以使用過采樣來實(shí)現(xiàn)更好的分辨率。

由于加速度計(jì)的輸出在重力旋轉(zhuǎn)時遵循正弦關(guān)系，因此使用反正弦函數(shù)完成從加速度到角度的轉(zhuǎn)換。

其中傾角 θ 以弧度為單位。

如果需要較窄的傾斜范圍，可以使用線性近似代替反正弦函數(shù)。線性近似與小角度的正弦近似有關(guān)。

其中傾角 θ 以弧度為單位。

傾斜角的線性近似中可以包含一個額外的比例因子 k，如果允許誤差增加，則允許增加近似的有效范圍。

其中傾角 θ 以弧度為單位。

度數(shù)的轉(zhuǎn)換是通過將公式 5 的結(jié)果乘以 （180/π） 來完成的。圖 5 顯示了使用正弦反函數(shù)和 k 等于 1 的線性近似之間的比較。隨著傾角大小的增加，線性近似開始失效，計(jì)算的角度偏離實(shí)際角度。

圖5.用于傾角計(jì)算的正弦反函數(shù)和線性近似的比較.

由于計(jì)算的角度與實(shí)際傾斜角作圖，因此線性近似值似乎在末端附近彎曲。這是因?yàn)榫€性近似值僅在與輸出加速度相比時才是線性的，如圖2所示，輸出加速度的行為與實(shí)際傾斜角度的增加相似。但是，反正弦函數(shù)應(yīng)產(chǎn)生與實(shí)際傾斜角一對一的輸出，導(dǎo)致計(jì)算的角度在與實(shí)際傾斜角繪制時為直線。

例如，如果傾斜感測的所需分辨率為1°，則±0.5°的誤差是可以接受的，因?yàn)樗陀谟?jì)算的舍入誤差。如果繪制實(shí)際傾角與計(jì)算的傾角之間的誤差，k等于1，如圖6所示，則線性近似的有效范圍僅為±20°。如果調(diào)整比例因子以使誤差最大化，但保持在計(jì)算舍入限制內(nèi)，則線性近似的有效范圍將增加到大于 ±30°。

圖6.計(jì)算不同比例因子的角度誤差。

雙軸傾斜計(jì)算

單軸傾角檢測的一個限制是需要高分辨率ADC或數(shù)字輸出來實(shí)現(xiàn)大范圍的有效傾角，如圖3和圖4所示。另一個限制是單軸測量無法提供 360° 測量，因?yàn)樵?N° 傾角處產(chǎn)生的加速度與在 180° ? N° 傾角處產(chǎn)生的加速度相同。對于某些應(yīng)用，這是可以接受的，但對于需要更高分辨率或能夠區(qū)分完整360°弧的傾斜角度的應(yīng)用，需要第二個軸（如圖7所示）或第二個傳感器。如果使用第二個傳感器，則應(yīng)使其方向應(yīng)使第二個傳感器的傳感軸與第一個傳感器的傳感軸正交。

圖7.用于傾斜傳感的兩個軸。

在確定傾斜角度時包括第二個軸有三個主要好處。以下各節(jié)將介紹這些好處。

恒定靈敏度

使用第二個軸的第一個主要好處是由于軸的正交性。與單軸解決方案一樣，x 軸檢測到的加速度與傾斜角的正弦成正比。由于正交性，y軸加速度與傾角的余弦成正比（見圖8）。當(dāng)一個軸的增量靈敏度降低時，例如當(dāng)該軸上的加速度接近 +1 g 或 ?1 g 時，另一個軸的增量靈敏度會增加。

圖8.雙軸傾角檢測的輸出加速度與傾角的關(guān)系。

將測量的加速度轉(zhuǎn)換為傾角的一種方法是計(jì)算 x 軸的反正弦和 y 軸的反余弦，類似于單軸解。但是，更簡單、更有效的方法是使用兩個值的比率，這將導(dǎo)致以下結(jié)果：

其中傾角 θ 以弧度為單位。

與單軸示例不同，使用兩個軸的比率來確定傾斜角度使得確定增量靈敏度非常困難。相反，在給定所需的傾斜分辨率的情況下，確定所需的最小加速度計(jì)分辨率更有用。假設(shè)一個軸的增量靈敏度隨著另一個軸的降低而增加，最終結(jié)果是有效的增量靈敏度大致恒定。這意味著選擇具有足夠分辨率的加速度計(jì)，以便在一個角度上實(shí)現(xiàn)所需的傾斜步長，對于所有角度來說都足夠了。

為了確定加速度計(jì)的最低必要分辨率，檢查公式6以確定分辨率限制在哪里。由于每個軸的輸出依賴于傾斜角的正弦或余弦，并且每個函數(shù)的傾斜角度相同，因此最小可分角對應(yīng)于最小可分加速度。

如圖3和圖4所示，正弦函數(shù)在0°附近的變化率最大，可以表明余弦函數(shù)在這一點(diǎn)上的變化率最小。因此，在 y 軸上的加速度變化之前，可以識別由于傾斜度變化而導(dǎo)致的 x 軸上的加速度變化。因此，系統(tǒng)接近 0° 的分辨率主要取決于 x 軸的分辨率。為了檢測P°的傾角變化，加速度計(jì)必須能夠檢測到大約

圖 9 可用于確定所需傾斜步長所需的最小加速度計(jì)分辨率或最大加速度計(jì)比例因子。請注意，加速度計(jì)分辨率的提高與加速度計(jì)比例因子的降低以及檢測輸出加速度較小變化的能力相對應(yīng)。因此，在選擇具有適當(dāng)分辨率的加速度計(jì)時，比例因子應(yīng)小于圖 9 中所示的預(yù)期傾斜步長限制。

圖9.所需傾角分辨率的最小加速度計(jì)分辨率減少了對平面對齊的依賴性。

減少對重力平面對齊的依賴

使用至少兩個軸的第二個主要好處是，與單軸解決方案不同，單軸解決方案在x軸以外的任何軸上的傾斜都可能導(dǎo)致顯著誤差，使用第二個軸可以測量準(zhǔn)確的值，即使存在第三個軸的傾斜度。這是因?yàn)橛行г隽快`敏度與感興趣軸上的重力和方根 （RSS） 值成正比。

當(dāng)重力完全包含在 xy 平面中時，在這些軸上檢測到的加速度的 RSS 值理想情況下等于 1 g。如果在 xz 或 yz 平面中存在傾斜，則重力引起的總加速度會降低，這也降低了有效的增量靈敏度。這反過來又增加了給定加速度計(jì)分辨率的傾斜步長，但仍能提供準(zhǔn)確的測量。傾角計(jì)算得出的角度對應(yīng)于 xy 平面中的旋轉(zhuǎn)。

如果系統(tǒng)足夠傾斜，使得xy平面中由于重力引起的加速度非常小，則傾斜角步長將太粗而無法使用;因此，建議限制 XZ 或 YZ 平面中的傾斜度。

完整的 360° 傾斜感應(yīng)

使用第二軸的第三個主要好處是能夠區(qū)分每個象限并測量整個 360° 弧的角度。如圖 10 所示，每個象限都有與 x 軸和 y 軸加速度相關(guān)的不同符號組合。

圖 10.用于象限檢測的傾斜角度和加速度符號。

反正切函數(shù)在象限 I 中返回一個值，如果操作數(shù) A刪除/一個Y，輸出，是積極的;如果操作數(shù)為負(fù)數(shù)，則反切函數(shù)返回象限 IV 中的值。由于象限 II 中的操作數(shù)為負(fù)數(shù)，因此當(dāng)角度位于該象限中時，應(yīng)在計(jì)算結(jié)果中添加 180° 的值。由于象限 III 中的操作數(shù)為正數(shù)，因此當(dāng)角度位于該象限中時，應(yīng)從計(jì)算結(jié)果中減去 180° 的值。計(jì)算角度的正確象限可以通過檢查每個軸上測量的加速度符號來確定。

三軸傾斜計(jì)算

當(dāng)引入第三個軸時，可以在一個完整的球體中確定傳感器的方向。矩形 （x， y， z） 到球形 （ρ， θ， φ） 轉(zhuǎn)換的經(jīng)典方法可用于將 xy 平面中的傾斜角度 θ 和從重力矢量 φ 的傾斜角度與每個軸上測量的加速度相關(guān)聯(lián)，如下所示：

假設(shè)唯一測量的加速度是由重力引起的，公式10中操作數(shù)的分母可以用常數(shù)代替，理想情況下為1，因?yàn)楫?dāng)唯一的加速度是重力時，所有軸的RSS值都是恒定的。角度如圖 11 所示，其中圖 11c 僅顯示 xy 平面中的 θ，圖 11d 顯示 φ 作為 z 軸和重力矢量之間的角度。

圖 11.球面坐標(biāo)系的角度。

由于三軸法方程與單軸和雙軸方法方程相似，三軸解的分析與單軸和雙軸方法組合的分析相同。θ的測量得益于兩個正交軸的比值，所需的傾角分辨率需要最小加速度計(jì)分辨率，如公式8所示。

φ的測量對應(yīng)于單軸解決方案的傾角測量，以及確定所需范圍內(nèi)特定傾角分辨率所需的最小加速度計(jì)分辨率的方法。不同之處在于，使用反余弦函數(shù)來確定φ，當(dāng)φ為 90° 時會產(chǎn)生最大增量靈敏度，而在 0° 和 180° 時會產(chǎn)生最小增量靈敏度。

公式3中用余弦代替正弦，可以生成類似于圖4和圖2的曲線。需要注意的是，雖然θ的范圍是?180°到+180°，但φ的范圍只有0°到180°。φ的負(fù)角度會導(dǎo)致 θ 的角度變?yōu)樨?fù)。

使用三個軸進(jìn)行傾角檢測的另一種方法是從參考位置單獨(dú)確定加速度計(jì)每個軸的角度。參考位置被視為設(shè)備的典型方向，其中 x 軸和 y 軸位于地平線平面（0 g 場），z 軸與地平線正交（1 g 場）。如圖 12 所示，其中 θ 表示地平線與加速度計(jì) x 軸之間的角度，ψ表示地平線與加速度計(jì) y 軸之間的角度，φ為重力矢量與 z 軸之間的角度。當(dāng)在 x 軸和 y 軸上的初始位置為 0 以及 z 軸上的初始位置為 1 g 時，所有計(jì)算的角度均為 0°。

圖 12.用于獨(dú)立傾角傳感的角度。

基本三角函數(shù)可用于顯示可以使用公式11、公式12和公式13計(jì)算傾斜角度。

公式13中操作數(shù)的明顯反轉(zhuǎn)是由于初始位置為1 g場。如果需要將地平線作為 z 軸的參考，則可以反轉(zhuǎn)操作數(shù)。正角表示加速度計(jì)的相應(yīng)正軸指向地平線上方，而負(fù)角度表示軸指向地平線下方。

由于使用了反切函數(shù)和加速度比，因此雙軸示例中提到的好處適用，即有效增量靈敏度是恒定的，并且可以精確測量單位球面周圍所有點(diǎn)的角度。

失調(diào)和靈敏度失配誤差校準(zhǔn)

本應(yīng)用筆記中的分析是在假設(shè)使用理想加速度計(jì)的情況下進(jìn)行的。這對應(yīng)于沒有0 g偏移且具有完美靈敏度（模擬傳感器表示為mV/g或數(shù)字傳感器為LSB/g）的器件。盡管傳感器經(jīng)過修整，但這些設(shè)備本質(zhì)上是機(jī)械的，這意味著系統(tǒng)組裝后零件上的任何靜態(tài)應(yīng)力都可能影響偏移和靈敏度。這與工廠校準(zhǔn)的限制相結(jié)合，可能會導(dǎo)致超出應(yīng)用允許限制的誤差。

失調(diào)誤差的影響

為了演示誤差有多大，首先想象一個具有完美靈敏度但在 x 軸上偏移為 50 mg 的 dua-laxis 解決方案。在 0° 時，x 軸讀數(shù)為 50 m g，y 軸讀數(shù)為 1 g。計(jì)算出的角度為 2.9°，導(dǎo)致誤差為 2.9°。在±180°時，x軸將報(bào)告50 m g，而y軸將報(bào)告-1 g。這將導(dǎo)致計(jì)算的角度和誤差為-2.9°。對于此示例，計(jì)算角度與實(shí)際角度之間的誤差如圖 13 所示。與系統(tǒng)所需的精度相比，失調(diào)引起的誤差可能不僅很大，而且可能會發(fā)生變化，因此難以簡單地校準(zhǔn)誤差角度。當(dāng)包含多個軸的偏移時，這變得更加復(fù)雜。

圖 13.計(jì)算出加速度計(jì)偏移引起的角度誤差。

靈敏度失配誤差的影響

在雙軸傾角檢測應(yīng)用中，加速度計(jì)靈敏度導(dǎo)致的主要誤差成分是當(dāng)目標(biāo)軸之間存在靈敏度差異時（與單軸解決方案相反，在單軸解決方案中，實(shí)際靈敏度與預(yù)期靈敏度之間的任何偏差都會導(dǎo)致誤差）。由于使用了x軸和y軸的比率，因此如果靈敏度相同，則大部分誤差將被消除。

作為加速度計(jì)靈敏度不匹配影響的示例，假設(shè)使用具有完美偏移微調(diào)、y 軸完美靈敏度和 x 軸 +5% 靈敏度的雙軸解決方案。這意味著在 1 g 字段中，y 軸報(bào)告 1 g，而 x 軸報(bào)告 1.05 g。圖14顯示了由于這種靈敏度不匹配而導(dǎo)致的計(jì)算角度誤差。與偏移誤差類似，加速度計(jì)靈敏度不匹配引起的誤差在整個旋轉(zhuǎn)范圍內(nèi)變化，因此在計(jì)算傾角后難以補(bǔ)償誤差。通過改變 y 軸靈敏度進(jìn)一步偏斜失配會導(dǎo)致更大的誤差。

圖 14.由于加速度計(jì)靈敏度不匹配而導(dǎo)致的角度誤差計(jì)算。

基本校準(zhǔn)技術(shù)

當(dāng)失調(diào)和靈敏度不匹配引起的誤差結(jié)合在一起時，誤差可能會變得非常大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出傾斜檢測應(yīng)用中的可接受限值。為了減少此誤差，應(yīng)校準(zhǔn)偏移和靈敏度，并使用校準(zhǔn)的輸出加速度來計(jì)算傾斜角度。當(dāng)包括偏移和靈敏度的影響時，加速度計(jì)輸出如下：

其中：
AOOFF 是偏移誤差，單位為 g。
增益是加速度計(jì)的增益，理想情況下為1。
AACTUAL 是作用在加速度計(jì)上的實(shí)際加速度和所需值，以 g 為單位。

一個簡單的校準(zhǔn)方法是假設(shè)增益為1并測量失調(diào)。然后，此校準(zhǔn)將系統(tǒng)的精度限制為靈敏度的未校準(zhǔn)誤差。簡單的校準(zhǔn)方法可以通過將目標(biāo)軸放入0 g場中并測量輸出來完成，輸出等于偏移。然后，在處理信號之前，應(yīng)從加速度計(jì)的輸出中減去該值。這通常被稱為無轉(zhuǎn)彎或單點(diǎn)校準(zhǔn)，因?yàn)樵O(shè)備的典型方向?qū)?x 軸和 y 軸置于 0 g 視場中。如果使用三軸設(shè)備，則 z 軸應(yīng)至少包括一個轉(zhuǎn)彎或第二個點(diǎn)。

更準(zhǔn)確的校準(zhǔn)方法是每個感興趣的軸使用兩個點(diǎn)（對于三軸設(shè)計(jì)，最多六個點(diǎn)）。當(dāng)將軸放入 +1 g 和 ?1 g 場時，測量輸出如下：

其中偏移量 AOFF 以 g 為單位。

這兩個點(diǎn)可用于確定失調(diào)和增益，如下所示：

其中 +1 g 和 ?1 g 測量值 A+1g 和 A?1g 以 g 為單位。

這種類型的校準(zhǔn)還有助于最大限度地減少跨軸靈敏度影響，因?yàn)樵趯δ繕?biāo)軸進(jìn)行測量時，正交軸處于0 g視場中。這些值的使用方法是：首先從加速度計(jì)測量中減去偏移，然后將結(jié)果除以增益。

其中 AOUT 和 AOFF 在 g 中。

公式15至公式19中AOF和增益的計(jì)算假設(shè)加速度值A(chǔ)+1g和A?1g以g為單位。如果使用以mg為單位的加速度，則公式17中AOF的計(jì)算保持不變，但公式18中的增益計(jì)算應(yīng)除以1000，以考慮單位的變化。

審核編輯：郭婷