幾個(gè)網(wǎng)紅問題

之前的文章介紹了Buck在模擬控制中，常見的PWM調(diào)制與對(duì)應(yīng)的控制方式：

談及控制必有環(huán)路，而提到環(huán)路則會(huì)條件反射想到小信號(hào)建模。 《模擬電子技術(shù)》就曾詳細(xì)介紹三極管/ MOSFET組成的放大電路其大小信號(hào)分析，對(duì)以Buck為代表的開關(guān)電源來說同理，有小信號(hào)模型也必然有大信號(hào)模型，那么：

筆者曾在大四研一入門建模的階段被這些問題困擾，本文想繼續(xù)圍繞模擬控制的Buck電路，不引入任何公式，以綜述性質(zhì)討論它們的答案。

大信號(hào)與小信號(hào)的關(guān)系

觀察一條曲線函數(shù)f(x)，位于該曲線上有一點(diǎn)(X0,Y0)，可在該點(diǎn)求取微分作切線，從而實(shí)現(xiàn)局部的線性化，得到一條在X0處附近，小擾動(dòng)范圍內(nèi)和原先曲線等效的直線。

實(shí)際的開關(guān)變換器系統(tǒng)，包含多個(gè)狀態(tài)變量和輸入輸出，遠(yuǎn)比一元函數(shù)復(fù)雜，但穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)和大小信號(hào)的內(nèi)涵是類似的。 一元函數(shù)曲線上每個(gè)點(diǎn)相當(dāng)于每個(gè)穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)，x在曲線上大幅移動(dòng)相當(dāng)于跨越多個(gè)穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)的變工作點(diǎn)過程，而x停在X0處附近作小信號(hào)擾動(dòng)，從而局部線性化，恰相當(dāng)于在某個(gè)穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)附近注入小信號(hào)擾動(dòng)的輸入，從而求取對(duì)應(yīng)輸出的，線性化的小信號(hào)模型。

由此回答 問題1和2 ，按某穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)局部線性化得到的小信號(hào)模型設(shè)計(jì)的環(huán)路，嚴(yán)格來說只能適用于該穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)附近的穩(wěn)定性與動(dòng)態(tài)分析，并不能用于電路有大幅波動(dòng)，使得工作點(diǎn)偏離從而連續(xù)跨越多個(gè)穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)的情況 ，如大擺幅動(dòng)態(tài)，零狀態(tài)啟機(jī)等工況，主要原因在于不同工作點(diǎn)的小信號(hào)模型可能完全不同，使用同一套控制環(huán)路參數(shù)，可能導(dǎo)致部分工作點(diǎn)附近的動(dòng)態(tài)表現(xiàn)遠(yuǎn)不及預(yù)期，甚至不穩(wěn)定而發(fā)散。 這些情況應(yīng)當(dāng)使用大信號(hào)模型處理。

然而，為了避免處理大信號(hào)這樣的非線性系統(tǒng)， 實(shí)際工程中只要參數(shù)設(shè)計(jì)得合理，負(fù)反饋控制系統(tǒng)本身就有一定的“魯棒性”，且功率主電路的非線性并不十分強(qiáng)烈，使用同一套環(huán)路參數(shù)穿越多個(gè)工作點(diǎn)往往也是可行的，雖然一定不是最優(yōu)的。

開關(guān)變換器的模型特點(diǎn)

針對(duì)我們最熟悉的線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)，經(jīng)典控制理論基于拉氏變換和頻率特性傳遞函數(shù)的形式，提供了大量的分析工具，如波特圖和穩(wěn)定裕量判據(jù)等。 開關(guān)變換器是非線性，時(shí)變，高階，離散，病態(tài)的系統(tǒng)，尤其非線性和時(shí)變這兩大特點(diǎn)，阻礙了經(jīng)典控制理論模型的建立和使用，必須找到辦法逐一解決。

傳統(tǒng)平均模型及其缺陷

如下展示了傳統(tǒng)的開關(guān)平均模型求取大信號(hào)模型和小信號(hào)模型手法及對(duì)應(yīng)關(guān)系。

以Buck為例，為了把主電路中非線性的開關(guān)網(wǎng)絡(luò)直接平均化，會(huì)要求滿足“低頻”假設(shè)和“小紋波”假設(shè)。 電路中看不到開關(guān)頻率及諧波及其邊頻帶的任何信息，從而移除開關(guān)動(dòng)作造成的非線性影響。

這種平均思想的代價(jià)也是顯而易見的：線性化后的頻率特性無法反應(yīng)高頻（開關(guān)頻率附近）的特征。 由于環(huán)路的帶寬遠(yuǎn)離開關(guān)頻率，設(shè)計(jì)者對(duì)高頻特性并不關(guān)心，這種假設(shè)是完全可以接受的。

需要注意，Buck類型的變換器，包含的非線性開關(guān)網(wǎng)絡(luò)是最容易平均簡(jiǎn)化為線性模型的，也導(dǎo)致了Buck類平均模型導(dǎo)出的小信號(hào)模型與穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)無關(guān)，其他拓?fù)鋭?shì)必會(huì)更加復(fù)雜。

上述均是針對(duì)功率主電路中的非線性開關(guān)網(wǎng)絡(luò)的，并未包含PWM調(diào)制器的處理。 除非是一個(gè)完全由方波發(fā)生器產(chǎn)生PWM而開環(huán)運(yùn)行，一個(gè)閉環(huán)控制的環(huán)路必包含PWM調(diào)制器的模型。

下圖描述了“基于平均值的比較行為”的PWM調(diào)制器，這種最基本的調(diào)制方式可直接對(duì)應(yīng)到單電壓環(huán)模式/平均電流模式。 圖中紅色信號(hào)verr為補(bǔ)償器的輸出作為調(diào)制波，藍(lán)色信號(hào)為開關(guān)頻率的載波vsaw。

當(dāng)調(diào)制波verr緩慢變化（頻率較低）時(shí)，PWM調(diào)制器被建模為一個(gè)純比例環(huán)節(jié)是完全合理的。 該環(huán)節(jié)配合主電路的平均模型，結(jié)合補(bǔ)償器，一起組成了傳統(tǒng)平均法完整的閉環(huán)環(huán)路。

然而，當(dāng)調(diào)制波verr快速變化（頻率較高）時(shí)，PWM調(diào)制器的輸出與調(diào)制波輸入的時(shí)刻相關(guān)，系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)，難以用傳遞函數(shù)描述。

為了方便推導(dǎo)小信號(hào)模型，假設(shè)調(diào)制波verr近似為低頻信號(hào)，故而PWM調(diào)制器和整個(gè)系統(tǒng)可當(dāng)作時(shí)不變系統(tǒng)處理，這便是平均模型成立的 “時(shí)不變”假設(shè) 。

需要注意， “時(shí)不變”假設(shè)是閉環(huán)環(huán)路進(jìn)一步限制傳統(tǒng)平均模型的有效頻率范圍的核心因素 ，相比非線性的開關(guān)網(wǎng)絡(luò)，它會(huì)在更低的頻率處體現(xiàn)出平均模型的失準(zhǔn)。

由此回答 問題3 ，當(dāng)實(shí)測(cè)頻率特性時(shí)，注入的擾動(dòng)輸入頻率較高時(shí)，PWM調(diào)制器的時(shí)變特性會(huì)導(dǎo)致依據(jù)傳統(tǒng)平均模型求得的小信號(hào)模型，在fsw以內(nèi)并不高的頻率處開始，Phase曲線和實(shí)際相比已經(jīng)失準(zhǔn)，導(dǎo)致環(huán)路的設(shè)計(jì)只能被限制在相對(duì)低頻的位置。

因此，使用傳統(tǒng)平均模型指導(dǎo)環(huán)路設(shè)計(jì)時(shí)，穿越頻率一般被限制在開關(guān)頻率的約1/10~1/5處。 另一方面，實(shí)際的開關(guān)變換器系統(tǒng)環(huán)路很多是類二階系統(tǒng)，這個(gè)位置的帶寬設(shè)計(jì)也是幫助實(shí)現(xiàn)充足相位裕量的權(quán)衡之舉。

若找到適用于時(shí)變系統(tǒng)的建模方法，最后的小信號(hào)模型便可解除低頻有效的限制，如上圖中的“多頻率模型”。

同樣的，如果能找到突破“低頻”，“小紋波”，“小信號(hào)”三個(gè)假設(shè)的其他建模方法，自然可以提高建模的精確度。 下一節(jié)將將要介紹這些多樣的建模方法。

解析法建模的分類和舉例

除了適用于計(jì)算機(jī)仿真的數(shù)值計(jì)算建模手法，回答問題4，從理論角度通過解析法建模主要有以下手段。

除了最經(jīng)典的開關(guān)平均模型，最常見的應(yīng)當(dāng)是離散采樣迭代模型 ，離散模型遵循了PWM調(diào)制器作為采樣保持器的本質(zhì)，不必拘泥于滿足平均模型的“低頻”“小紋波”“小信號(hào)”等所有假設(shè)，能 求解精準(zhǔn)的大信號(hào)非線性動(dòng)力學(xué)行為模型 ，并還原出1/2*fsw頻率處的小信號(hào)模型。 它和平均模型的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下。

建模方法的發(fā)展歷史

選取部分被引量較高的、有代表性的建模方法，按時(shí)間線羅列如下。

選取具有較強(qiáng)主觀性，僅供參考，如有遺漏還請(qǐng)包涵

大信號(hào)穩(wěn)定性和小信號(hào)穩(wěn)定性

既然我們可以借助離散模型，建立精準(zhǔn)的動(dòng)力學(xué)行為模型，利用非線性系統(tǒng)的分析手段，勢(shì)必可以發(fā)現(xiàn)開關(guān)變換器更多的動(dòng)態(tài)運(yùn)行規(guī)律。

和線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義不同，非線性系統(tǒng)存在多個(gè)平衡態(tài)（包含平衡點(diǎn)或周期平衡態(tài)），其 穩(wěn)定性一般指平衡態(tài)的局部穩(wěn)定性 （可進(jìn)一步明確局部的范圍有多大），可用如下方法判斷：

• 平衡點(diǎn)：李雅普諾夫Lyapunov穩(wěn)定性
• 周期平衡態(tài)：龐加萊Poincare穩(wěn)定性

回答 問題5 ， DC-DC開關(guān)變換器，其非線性的大信號(hào)模型，平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，類似于穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)，線性化后小信號(hào)模型的穩(wěn)定性，區(qū)別在于 非線性的大信號(hào)可以借助李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造進(jìn)一步明確局部的范圍大小，而不僅僅是小信號(hào)模型中模糊的"附近"。

非線性系統(tǒng)的大信號(hào) 失去平衡態(tài)后，其動(dòng)力學(xué)行為可用分岔與混沌理論進(jìn)行解釋和預(yù)測(cè) ，典型的分岔行為有：

• 霍普夫hoph分岔，不期望的周期平衡態(tài)，也就是“極限環(huán)”低頻振蕩
• 倍周期分岔，也就是次諧波振蕩

如下給出了發(fā)生低頻振蕩，和次諧波振蕩的波形實(shí)例。

在失穩(wěn)之前直到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，小信號(hào)模型依然有效，可以預(yù)測(cè)臨界穩(wěn)定的條件。

在失穩(wěn)之后，意味著不能穩(wěn)定在該穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)，小信號(hào)模型失效，在大信號(hào)上可能表現(xiàn)為低頻振蕩（霍普夫hoph分岔）或次諧波振蕩（倍周期分岔），以及其他更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

通過對(duì)小信號(hào)模型臨界穩(wěn)定的具體特征進(jìn)行識(shí)別，可以在一定程度上預(yù)測(cè)失穩(wěn)以后的行為。 但其充要條件必須嚴(yán)格來自于分岔與混沌理論的推導(dǎo)，極少文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行嚴(yán)格證明。

• 如下為小信號(hào)波特圖，預(yù)測(cè)Buck電壓模式控制中，低頻振蕩（霍普夫hoph分岔）臨界條件（Kp足夠大）的實(shí)例。

• 如下為小信號(hào)波特圖，預(yù)測(cè)Buck峰值電流控制中，次諧波振蕩（倍周期分岔）臨界條件（D=0.5）的實(shí)例。