一 IIR濾波器的特點(diǎn)及設(shè)計(jì)方法

1. IIR濾波器的特點(diǎn)

我們已經(jīng)詳細(xì)闡述了兩種類型的濾波器——FIR濾波器及IIR濾波器的概念及區(qū)別

看下圖也可以，兩種濾波器的差異，一目了然。

圖1

2. IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法

先思考一個(gè)問題，我們前面學(xué)到的FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法，能不能應(yīng)用于IIR濾波器？如果能，那該多好啊！

很可惜，答案是否定的。FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法，完全、一丁點(diǎn)也不適用IIR濾波器。為什么呢？FIR濾波器的單位沖激響應(yīng) h(n) 是有限長的，h(n)就是其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)（分子多項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)榉帜笧?）。而IIR濾波器則完全不同，它的h(n) 是無限長的，其數(shù)值與系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)（分子多項(xiàng)式系數(shù)、分母多項(xiàng)式系數(shù)）沒有直接的對應(yīng)關(guān)系。

也就是說，這兩種濾波器的設(shè)計(jì)思路是完全不同的。

我們回顧一下，F(xiàn)IR濾波器的設(shè)計(jì)，是從不可物理實(shí)現(xiàn)的理想濾波器出發(fā)，從理想濾波器的單位沖激響應(yīng)出發(fā)（窗函數(shù)法）、或者從其頻率響應(yīng)出發(fā)（頻率取樣法），進(jìn)行處理，得到可物理實(shí)現(xiàn)的FIR濾波器。其設(shè)計(jì)過程，更側(cè)重用到數(shù)字信號處理的一些基本理論（如時(shí)頻域的對應(yīng)關(guān)系、頻譜泄露、混疊等概念）。

而IIR濾波器設(shè)計(jì)，則是更側(cè)重?cái)?shù)學(xué)的角度，用一些形狀合適的數(shù)學(xué)函數(shù)，通過調(diào)節(jié)函數(shù)中的某些參數(shù)，來直接逼近濾波器的幅度函數(shù)，使其滿足性能指標(biāo)的要求。其目標(biāo)依然是確定系統(tǒng)函數(shù)H(s)分子分母多項(xiàng)式的階數(shù)以及系數(shù)，也就是圖1中的各個(gè)ai和bi。

IIR的設(shè)計(jì)方法有兩種：

第一種方法，稱為“模擬原型法”，又稱為“間接設(shè)計(jì)法”。先設(shè)計(jì)模擬原型濾波器H(s)，再利用模擬系統(tǒng)數(shù)字化的方法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H(z)，如果轉(zhuǎn)換？是我們本章的學(xué)習(xí)重點(diǎn)。

第二種方法，稱為“計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法”，又稱為“直接設(shè)計(jì)法”。是利用優(yōu)化技術(shù)，借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行大量迭代運(yùn)算，在某種最優(yōu)化準(zhǔn)則下逼近所需要的頻率響應(yīng)。這其實(shí)是個(gè)數(shù)學(xué)問題。我們這里不多費(fèi)口舌。

我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)“模擬原型法”。

2. 模擬原型法的設(shè)計(jì)步驟

第一步：根據(jù)實(shí)際需求，確定數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。

所謂實(shí)際需求，也就是對哪些頻段的頻率成分需要濾除（即阻帶），哪些頻段需要保留（即通帶）。以及濾除的干凈程度（阻帶最小衰減）、保留的不損失程度（通帶最大衰減）。

這兩個(gè)衰減，通常以dB為單位。而通帶和阻帶的截止頻率（或稱為邊沿頻率）通常是“模擬頻率”，所以我們設(shè)計(jì)濾波器的第一步，就是需要將“模擬頻率"，轉(zhuǎn)換為“數(shù)字域頻率”，公式如下：

這是學(xué)習(xí)數(shù)字信號處理的基礎(chǔ)，默認(rèn)大家已經(jīng)掌握了哈。

第二步：設(shè)計(jì)模擬原型濾波器

為什么叫“原型”，因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)是設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，所以這里設(shè)計(jì)的模擬濾波器只是一個(gè)中間存在，故而稱為“原型”。

既然是設(shè)計(jì)模擬濾波器，通帶、阻帶當(dāng)然要以模擬頻率來表示，所以我們首先面臨一個(gè)疑問：數(shù)字濾波器的通帶阻帶是以數(shù)字域頻率來表示的，與模擬原型濾波器的通帶阻帶（模擬角頻率來表征的）有何對應(yīng)關(guān)系呢？

這個(gè)疑問，我們先放一放，后面會解決的，這也是本章的一個(gè)重要知識點(diǎn)。

第三步：轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器

如何轉(zhuǎn)換？是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。我們將重點(diǎn)學(xué)習(xí)兩種轉(zhuǎn)換方法，分別稱為“沖激響應(yīng)不變法”和“雙線性變換法”。