正是包括兩位菲爾茲獎獲得者在內(nèi)四位數(shù)學(xué)家的堅持，才得以證明了一個堪稱「加性組合學(xué)圣杯」的猜想，其中 AI 輔助證明起到了不可磨滅的作用。

12 月 5 日，著名數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎獲得者陶哲軒在社交網(wǎng)絡(luò)宣布：對多項式 Freiman-Ruzsa 猜想（PFR）的證明進行形式化的 Lean4 項目成功完成，并且耗時僅三周時間，其依賴圖的全部節(jié)點都帶上了「可愛的綠色陰影」。

Lean 編譯器也報告該猜想符合標(biāo)準(zhǔn)公理，可以說這是計算機和 AI 輔助證明的一項巨大成功。

但多項式 Freiman-Ruzsa 猜想究竟是什么？為什么對該猜想的證明不僅是一個數(shù)學(xué)問題，而且對計算機科學(xué)也很重要？量子雜志近日報道了這項成就不凡的數(shù)學(xué)證明及其令人驚嘆的形式化工作，并在文中對多項式 Freiman-Ruzsa 猜想的提出和證明歷程進行了梳理與科普。

總結(jié)起來：四位著名數(shù)學(xué)家（包括兩位菲爾茲獎獲得者）證明了一個堪稱「加性組合學(xué)圣杯」的猜想。在一個月的時間內(nèi)，陶哲軒領(lǐng)導(dǎo)的一個松散的合作團隊通過計算機輔助證明進行了驗證。

下面就進入他們的故事吧。

在一個隨機選取的數(shù)值集合中，加法可能會如野火蔓延，勢不可擋。

對于這樣一個集合，如果將其中每兩個數(shù)加起來，就會得到一個新的列表并且其中所含的數(shù)值將遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于一開始的集合。如果一開始的集合有 10 個隨機數(shù)，那么新的列表（稱為和集）會有大約 50 個元素。如果一開始是 100 個隨機數(shù)，那么和集中可能會有大約 5000 個元素；而如果初始有 1000 個數(shù)，那么和集會有 50 萬個數(shù)。

但如果初始集合有結(jié)構(gòu)，則和集中的數(shù)會少得多。假設(shè)有另一個包含 10 個數(shù)的集合：這些數(shù)都是 2 到 20 之間的偶數(shù)。由于不同的一對數(shù)可能會得到相同的求和結(jié)果（比如 10+12=8+14=6+16），因此和集只會有 19 個數(shù)，而非 50 個。當(dāng)初始集合變得越來越大時，這一差異也會越來越顯著。一個由 1000 個數(shù)構(gòu)成的結(jié)構(gòu)化列表的和集可能僅會有 2000 個數(shù)。

1960 年代，數(shù)學(xué)家 Gregory Freiman 開始研究和集較小的集合，以探究加法和集合結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系 —— 這是定義加性組合學(xué)（additive combinatorics）這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個關(guān)鍵聯(lián)系。Freiman 取得了出色的進展，他證明：一個和集較小的集合必然被包含在一個更大的集合內(nèi)并且這個更大集合的元素具有高度規(guī)則的模式。但自那以后，這一領(lǐng)域就停滯不前了?！窮reiman 最初的證明非常難以理解，以至于沒人能真正確定它到底是不是正確的。因此它沒有產(chǎn)生應(yīng)有的影響。」法蘭西公學(xué)院和劍橋大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Timothy Gowers 說，他也是一位菲爾茲獎獲得者，「但后來 Imre Ruzsa 突然出現(xiàn)了?！?/span>

Ruzsa 在 1990 年代通過兩篇論文用一套優(yōu)雅的新論證重新證明了 Freiman 定理。幾年之后，一位頗具影響力的匈牙利數(shù)學(xué)家 Katalin Marton（已于 2019 年去世）探究了一個問題：小的和集能夠揭示出原始集合的結(jié)構(gòu)的哪些方面？她替換了該集合中出現(xiàn)的元素的類型與數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)找尋的結(jié)構(gòu)的類型，并認(rèn)為這能讓數(shù)學(xué)家提取出更多信息。Marton 的猜想與證明系統(tǒng)、編碼理淪和密碼學(xué)存在關(guān)聯(lián)，并且在加性組合學(xué)領(lǐng)域具有崇高的地位。

Katalin Marton

她的猜想「感覺是我們之前無法理解的最基本的東西之一?！古＝虼髮W(xué)數(shù)學(xué)家 Ben Green 說，「它就是我關(guān)心的很多事情的基礎(chǔ)。」

Green 與 Gowers、加利福尼亞大學(xué)圣迭戈分校的 Freddie Manners 以及加利福尼亞大學(xué)洛杉磯分校的一位菲爾茲獎獲得者陶哲軒（Terence Tao）組成了一個團隊。以色列數(shù)學(xué)家和博主 Gil Kalai 將其稱為 A-team，也即數(shù)學(xué)家精英團隊。他們在 11 月 9 日發(fā)布的論文《On a conjecture of Marton》中證明了該猜想的一個版本。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2311.05762.pdf

未參與該研究的萊斯大學(xué)數(shù)學(xué)家 Nets Katz 描述說這份證明「簡單直接得堪稱美麗」，并且「多少算是完全出乎意料」。

然后陶哲軒開始通過 Lean 來形式化該證明。Lean 是一種可幫助數(shù)學(xué)家驗證定理的編程語言。不過幾周時間，他就成功完成了。12 月 5 日星期二一早，陶哲軒宣布 Lean 已經(jīng)完成對該猜想的證明，并且沒有任何 sorry。sorry 是 Lean 中一個標(biāo)準(zhǔn)陳述，表示計算機無法驗證某個特定步驟。這是自 2021 年以來這樣的證明工具最亮眼的成就，并成為了數(shù)學(xué)家編寫證明的方式的轉(zhuǎn)折點，也就是開始以計算機能理解的方式編寫證明。Gowers 說：如果這些工具變得很容易，能讓數(shù)學(xué)家輕松使用，那么它們就可能替代往往耗時漫長且繁重艱巨的同行評審過程。

這一證明的組分已經(jīng)醞釀了數(shù)十年時間。Gowers 在 2000 年代構(gòu)想了它的前幾步。但還要另外 20 年，Kalai 所稱的領(lǐng)域「圣杯」才得以證明。

群

為了理解 Marton 猜想，熟悉群（group）的概念會很有幫助。簡單來說，群是由集合和運算構(gòu)成的數(shù)學(xué)對象。這里我們假設(shè)有整數(shù)集（一個包含無限個數(shù)的集合）和加法運算。我們每次將兩個整數(shù)相加，便會得到另一個整數(shù)。加法也服從其它一些群運算規(guī)則，比如結(jié)合律，也就是可以交換運算的順序：3 + (5 + 2) = (3 + 5) + 2.

在一個群內(nèi)，你有時候可以找到滿足該群所有性質(zhì)的較小集合。舉個例子，任意兩個偶數(shù)相加會得到另一個偶數(shù)。偶數(shù)本身就是一個群，這讓其成為了整數(shù)的子群（subgroup）。而奇數(shù)卻不一樣，它并非一個子群。如果你將兩個奇數(shù)加到一起，則會得到一個偶數(shù) —— 這不在原來的集合中。但只需讓每個偶數(shù)都加 1，便能得到所有奇數(shù)。像這樣的有移位（shift）的子群稱為陪集（coset）。陪集并不具備子群的所有性質(zhì)，但它又能保留子群在許多方面的的結(jié)構(gòu)。舉個例子，奇數(shù)和偶數(shù)一樣是均勻分布的。

Timothy Gowers

Marton 猜想如果有一個由群元素組成的集合 A，其和集并不比 A 本身大很多，那么就會存在某個具有一個特殊性質(zhì)的子群 G。對 G 執(zhí)行幾次移位可以得到一些陪集，而這些陪集組合起來就會包含原始集合 A。此外，她認(rèn)為陪集的數(shù)量并不會比和集的大小增長更快 —— 她相信這應(yīng)該是一個多項式關(guān)系，而非遠(yuǎn)遠(yuǎn)更快的指數(shù)級增長。

這個研究方向聽起來可能好像就是為了滿足好奇心，似乎沒什么實際用途。但由于它和一個了解子群的總體結(jié)構(gòu)的簡單測試（將集合中的兩個元素加起來會發(fā)生什么？）有關(guān)，所以對數(shù)學(xué)家和計算機科學(xué)家來說就非常重要了。當(dāng)計算機科學(xué)家想要使得加密消息一次只能被解碼一部分時，也會遇到這個想法的廣義版本。它也會出現(xiàn)在概率可檢驗證明（probabilistically checkable proof）中 —— 這種證明形式讓計算機科學(xué)家可以通過檢驗少量孤立的信息來執(zhí)行驗證。

對于上述的每種情況，你只需要研究一個結(jié)構(gòu)中的一些點，就能得出與一個更大更高層結(jié)構(gòu)有關(guān)的結(jié)論；比如只需解碼一個長消息中的少量比特或驗證一個復(fù)雜證明的一小部分。

牛津大學(xué)的 Tom Sanders（他以前是 Gowers 的學(xué)生，現(xiàn)在是 Gowers 的同事）說：「你要么可以假設(shè)一切都是一個群的一個大子集，要么可以從許多附加巧合的存在中得到你想要的一切。這兩種觀點都很有用。」

Ruzsa 在 1999 年發(fā)表了 Marton 猜想，并充分說明了她的貢獻和成就?！杆毩⒂谖液?Freiman 得出了這個猜想，而且可能先于我們?！顾f，「也因此，在我和她交談過之后，我決定用她的名字來命名這個猜想?！贡M管如此，數(shù)學(xué)家現(xiàn)在還是將其稱為多項式 Freiman-Ruzsa 猜想，簡稱 PFR。

零和一

和許多數(shù)學(xué)對象一樣，群也有很多不同的形式。Marton 猜測她的猜想對所有群都成立。這一點還有待證明。這篇新論文證明其對某一特定類型的群成立，這類群的元素是 (0, 1, 1, 1, 0) 這樣的二進制數(shù)列表。由于計算機的工作過程就基于二進制，因此這個群對計算機科學(xué)至關(guān)重要。但它也對加性組合學(xué)很有用?！杆拖袷且粋€玩具設(shè)置，你可以在其中玩耍，嘗試各種東西?！筍anders 說，「這里的代數(shù)操作起來比非負(fù)整數(shù)（whole number）容易太多了。」

陶哲軒

這些列表的長度是固定的，而且每一位都要么為 0，要么為 1。這樣的兩個列表相加就是將一個列表的每一項與另一列表的對應(yīng)項相加，規(guī)則包括 1 + 1 = 0。那么 (0, 1, 1, 1, 0) + (1, 1, 1, 1, 1) = (1, 0, 0, 0, 1)。PFR 試圖搞清楚：如果一個集合算不上是子群，但具有某些類似群的特征，那么這個集合看起來會是什么樣。

為了更清楚地說明 PFR，請想象一下你有一個二元列表構(gòu)成的集合 A?，F(xiàn)在從 A 中取出每一對元素并相加。所得到的和可構(gòu)成 A 的和集，記為 A+A。如果 A 中的元素是隨機選取的，那么大部分的和都彼此不同。如果 A 有 k 個元素，那就意味著和集有 k2/2 個元素。當(dāng) k 很大時（比如 1000），k2/2 就會比 k 大很多。但如果 A 是一個子群，那么 A+A 的每個元素都在 A 中，這就意味著 A+A 的大小和 A 本身是一樣的。

PFR 考慮的集合不是隨機的，但也不是子群。在這些集合中，A+A 的元素數(shù)量會有些小，比如 1 萬或 10 萬。加利福尼亞大學(xué)圣迭戈分校的計算機科學(xué)家 Shachar Lovett 說：「當(dāng)你的結(jié)構(gòu)概念比僅僅作為精確的代數(shù)結(jié)構(gòu)豐富得多時，這真的會很有用?！?/span>

就數(shù)學(xué)家所知，所有服從這一性質(zhì)的集合「都相當(dāng)接近于真正的子群?！固照苘幷f，「這是一個直覺認(rèn)識，也就是沒有其它類型的假群存在?！笷reiman 在其原研究成果中證明了這一命題的一個版本。1999 年時，Ruzsa 將 Freiman 定理從整數(shù)擴展到了二元列表設(shè)置。他證明，當(dāng) A+A 的元素數(shù)量是 A 的大小的常數(shù)倍時，A 必定被包含在一個子群內(nèi)。

但 Ruzsa 定理需要子群非常巨大才行。Marton 的見解是假定 A 不是包含在一個巨大的子群中，而是可以包含在一個子群的多項式數(shù)量的陪集中并且這個子集不大于原始集合 A。

好想法看一眼就知道

千年之交那段時間，Gowers 在研究與包含均勻相間的字符串的集合相關(guān)的另一問題時看到了 Ruzsa 對 Freiman 定理的證明。「我就需要這樣的東西，差不多就是從有關(guān)一個特定集合的松散得多的信息中獲取結(jié)構(gòu)化信息?！笹owers 說，「我非常幸運，就在那不久前，Ruzsa 剛給出這個美不勝收的證明?！?/span>

Freddie Manners

Gowers 開始著手嘗試證明該猜想的多項式版本。他的想法是先從和集相對較小的集合 A 開始，然后逐漸操作 A，將其變成一個子群。如果他能證明所得子群與原始集合 A 相似，他就可以輕松斷定這個猜想是正確的。Gowers 將這個想法分享給了自己的同事，但沒人能將其轉(zhuǎn)化成完整的證明。盡管 Gowers 的策略能成功處理一些情況，但在其它情況中，這種操作卻會讓 A 更加遠(yuǎn)離多項式 Freiman-Ruzsa 猜想的預(yù)期結(jié)論。

最終，該領(lǐng)域放棄了這一思路。2012 年，Sanders 幾乎證明了 PFR。但他需要的移位子群的數(shù)量高于多項式水平，盡管只高一點點。Gowers 說，「一旦他做到了，就意味著這事件變得不那么緊迫了，但這仍然是一個我非常喜歡的好問題?！?/span>

但 Gowers 的想法依然留存在他同事的記憶和硬盤中。「那是一個真正的好想法?！笹reen 說，他也曾是 Gowers 的學(xué)生，「好想法看一眼就知道?！菇衲晗募?，Green、Manners 和陶哲軒終于將 Gowers 的想法從煉獄中解放了出來。

在決定研究已有 20 年歷史的 Gowers 想法之前，Green、陶哲軒和 Manners 的合作成果已經(jīng)可以羅列 37 頁之長。在 6 月 23 日的論文《Sumsets and entropy revisited》中，他們成功使用了概率論中的「隨機變量」概念來探測具有小和集的集合的結(jié)構(gòu)。通過這種切換，該團隊可以更巧妙地操作集合?！柑幚黼S機變量在某種程度上比處理集合要簡單得多?！筂anners 說，「對于隨機變量，我可以稍微調(diào)整其中一個概率，而這就可能會給我一個更好的隨機變量。」

從這個概率角度入手，Green、Manners 和陶哲軒可以不用再面對一個集合的元素數(shù)量，而是可以去衡量一個隨機變量中所包含的信息，這個量被稱為熵（entropy）。對加性組合學(xué)來說，熵并不是新東西。事實上，陶哲軒在 2000 年代末就嘗試過推廣這一概念。但還沒有人試過將其用于多項式 Freiman-Ruzsa 猜想。Green、Manners 和陶哲軒發(fā)現(xiàn)它很強。但他們?nèi)匀徊荒茏C明該猜想。

Ben Green

當(dāng)這個研究團隊仔細(xì)研究他們的新成果時，他們意識到終于建立了一個可讓 Gowers 那蟄伏的想法重獲新生的環(huán)境。如果使用集合的熵來衡量集合的大小，而不是元素數(shù)量，則其技術(shù)細(xì)節(jié)可能會好處理得多?！改骋粫r刻我們意識到，比起我們當(dāng)時正在嘗試的思路，這些來自 Tim 的 20 年前的舊想法實際上更可能有效。」陶哲軒說，「于是我們把 Tim 帶回了這個項目。然后所有的碎片都出人意料地很好地拼合在了一起?！?/span>

盡管如此，在給出完整的證明前，還有很多細(xì)節(jié)要處理。「我們四個人都還各自忙著其它事，這是有點愚蠢的?！筂anners 說，「你希望發(fā)表這個偉大的結(jié)果并且告訴全世界，但你實際上還依然必須要去寫期中報告?！棺罱K，這個團隊堅持了下來，并于 11 月 9 日發(fā)表了論文。他們證明，如果 A+A 不大于 A 的大小的 k 倍，那么可通過一個不大于 A 的子群的不超過 k12 移位而將 A 覆蓋其中。這個移位的數(shù)量很可能非常大。但這是一個多項式，不會隨 k 的增大而指數(shù)級增長；而如果 k 在指數(shù)中就會這樣。

幾天之后，陶哲軒開始形式化該證明。他以協(xié)作的方式運行了這個形式化項目，使用了版本控制軟件包 GitHub 來協(xié)調(diào)來自全球 25 個志愿者的貢獻。他們使用了一種名為 Blueprint 的工具。這個工具是巴黎薩克雷大學(xué)數(shù)學(xué)家 Patrick Massot 開發(fā)的，可用于協(xié)調(diào)組織將陶哲軒所說的「數(shù)學(xué)式英語」翻譯成計算機代碼的工作。Blueprint 的功能有很多，其中之一是創(chuàng)建一張圖表來描述證明中涉及的各種邏輯步驟。一旦圖中所有氣泡都變成陶哲軒所說的「可愛的綠色陰影」，這個團隊就算完工了。

對 PFR 猜想的證明的依賴圖，其中方框是定義，橢圓是定理和引理，全部背景都是綠色說明該證明已經(jīng)完全形式化

他們發(fā)現(xiàn)論文中存在一些非常小的拼寫錯誤 —— 在一條網(wǎng)絡(luò)消息中，陶哲軒指出：「這個項目中與數(shù)學(xué)最相關(guān)的部分的形式化是相對簡單直接的，但技術(shù)上『顯而易見』的步驟反而耗時最長?！?/span>

Marton 在她的著名猜想得到證明的幾年前去世了，但這個證明幫助彰顯了她在熵和信息論領(lǐng)域的畢生成就。「當(dāng)使用這個熵框架進行研究，而不是我之前嘗試的框架時，一切都好了很多?！?/span>