1蒙特卡羅賭場(chǎng)

蒙特卡羅（Monte Carlo）是摩納哥公國(guó)（Principality of Monaco）的一座城市。摩納哥公國(guó)坐落在法國(guó)的東南方，總面積為2.02平方公里，是世界上第二小的國(guó)家，也是一個(gè)從地圖上看容易被忽略的國(guó)家。

摩納哥的位置非常小，不仔細(xì)看都發(fā)現(xiàn)不了

傍晚時(shí)分，靜謐的蒙特卡羅賭場(chǎng)

重新豪裝后的蒙特卡羅賭場(chǎng)吸引來(lái)了無(wú)數(shù)賭客，成為當(dāng)時(shí)有名的不夜城。

在蒙特卡羅賭場(chǎng)中，輪盤(pán)（Roulette）一直是最受歡迎的項(xiàng)目，因?yàn)橘€客一直覺(jué)得這種賭法有較大的獲勝機(jī)會(huì)。原來(lái)輪盤(pán)上有37個(gè)格子，其中有18紅格，18個(gè)黑格，1個(gè)綠格。賭客隨意押注紅格或者黑格。理論上說(shuō)，出現(xiàn)紅色的概率和黑格的概率是一樣的，一旦出現(xiàn)黑色的次數(shù)超過(guò)了5次，那都是一個(gè)非常小概率的事件，而在這種情況下很多賭徒會(huì)賭紅色，即執(zhí)行這類反方向的策略。

輪盤(pán)賭具

1913年的8月13日，賭客還是像往常一樣賭輪盤(pán)，其中有不少人拿著紙和筆不停記錄每次輪盤(pán)轉(zhuǎn)下來(lái)的結(jié)果。但就在當(dāng)天，輪盤(pán)上的小球連續(xù)26次落在了黑格上。而這樣事件發(fā)生的概率僅為0.00000149%（比中雙色球一等獎(jiǎng)的概率還小），這種情況可以說(shuō)幾乎不可能出現(xiàn)，但確確實(shí)實(shí)是出現(xiàn)了。賭徒因此損失了大量的財(cái)富，因?yàn)樗麄冨e(cuò)誤地認(rèn)為，先前結(jié)果的不平衡性一定導(dǎo)致后面出現(xiàn)相反的結(jié)果。

這或許就是人類思維和數(shù)據(jù)思維差異。實(shí)際上，每一次輪盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)都是獨(dú)立事件，前面一次小球停留的位置，和下一次小球停留的位置不會(huì)有任何關(guān)聯(lián)。無(wú)論小球停在紅色或者黑色的位置，都是隨機(jī)的，并不會(huì)受到之前結(jié)果的影響。

當(dāng)然，從更宏觀的角度來(lái)說(shuō)，無(wú)論賭局規(guī)則怎么變化，賭場(chǎng)必定要賺錢(qián)的。賭場(chǎng)精心設(shè)計(jì)各種規(guī)則的賭局，讓人們樂(lè)在其中的同時(shí)，賭場(chǎng)收取少許手續(xù)費(fèi)。正是這種少許的手續(xù)費(fèi)，讓賭場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者得以生存和擴(kuò)大，而賭客之間則進(jìn)行負(fù)和博弈，從長(zhǎng)期來(lái)看，賭客是虧損的。

2蒙特卡羅方法誕生

時(shí)間來(lái)到1946年，也是蒙特卡羅大賭場(chǎng)誕生的90周年。

烏拉姆急沖沖地把這個(gè)方法告訴給他的同事，著名數(shù)學(xué)家馮·諾依曼（John von Neumann），馮諾依曼確定這個(gè)方法是一個(gè)重大突破，并且很快在ENIAC（ENIAC是世界上最早期的計(jì)算機(jī)）電腦上完成了編程。

ENIAC，世界上最早期的電腦，可以占據(jù)一個(gè)超大房間

為了保密起見(jiàn)，需要給這個(gè)程序起一個(gè)名字。烏拉姆和馮諾依曼的同事，著名物理學(xué)家尼古拉斯·梅特羅波利斯（Nicholas Metropolis）提議名字取為Monte Carlo，以紀(jì)念蒙特卡羅大賭場(chǎng)，原因是烏拉姆的叔叔不了解概率，經(jīng)常在那里輸錢(qián)。

但這個(gè)蒙特卡羅方法（Monte Carlo Method）需要大量的隨機(jī)數(shù)，而真實(shí)的隨機(jī)數(shù)并沒(méi)有那么多，怎么辦呢？當(dāng)然在數(shù)學(xué)家們面前這不可能成為一個(gè)障礙，馮諾依曼順手解決了這個(gè)問(wèn)題，進(jìn)一步發(fā)展了隨機(jī)數(shù)生成器技術(shù)（Pseudorandom number generator, PRNG）。

隨后，蒙特卡羅方法被大量地用于曼哈頓計(jì)劃（Manhattan Project）中的各項(xiàng)計(jì)算和模擬，解決了大量以往確定性方法不能解決的計(jì)算問(wèn)題。20世紀(jì)50年代，在LANL實(shí)驗(yàn)室中被用于氫彈的研發(fā)，再往后開(kāi)始在各個(gè)領(lǐng)域被大規(guī)模地運(yùn)用，帶來(lái)了一場(chǎng)新的思想革命。人們發(fā)現(xiàn)，除了傳統(tǒng)確定性方法以外，原來(lái)還有一種有效的計(jì)算方法，叫蒙特卡羅方法。

曼哈頓計(jì)劃集中了大量?jī)?yōu)秀的科學(xué)家，利用核裂變反應(yīng)來(lái)研制原子彈，最后取得圓滿成功

3蒙特卡羅算法是怎么回事

事實(shí)上，蒙特卡羅方法非常簡(jiǎn)潔。我們用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明，如何用蒙特卡羅方法近似得到圓周率？

我們先設(shè)置一個(gè)1×1的空間，在這個(gè)空間中以點(diǎn)(0,0)為圓心，畫(huà)一個(gè)半徑為1的圓，在1×1空間中留下四分之一圓。

從理論上分析，在1×1的空間的空間中，有這樣的關(guān)系：

只要得到四分之一圓的面積與正方形的面積之比，所以可以知道圓周率是多少。

從蒙特卡羅方法的角度看，在1×1這個(gè)區(qū)間上可均勻地投放大量的點(diǎn)。這些點(diǎn)投到四分之一圓內(nèi)的概率，近似等于投到四分之一圓內(nèi)點(diǎn)的比例，即：

所以，我們可以通過(guò)計(jì)算點(diǎn)個(gè)數(shù)的方式，來(lái)近似得到圓周率的數(shù)值。

把大量的點(diǎn)投在1×1的空間中，計(jì)算落在圓弧內(nèi)的數(shù)量，以估算圓周率π

這種數(shù)點(diǎn)的方式雖然簡(jiǎn)單，但看起來(lái)不是那么靠譜，能否證明蒙特卡羅方法的有效性呢？

實(shí)際上已經(jīng)證明，隨著模擬次數(shù)N的增加，蒙特卡羅所得到的近似值與目標(biāo)值的誤差將以N-0.5的速度降低，結(jié)果將越來(lái)越精確（可用方差的定義展開(kāi)進(jìn)行證明）。

誤差隨著模擬次數(shù)的增加而不斷下降，速率為N-0.5

4蒙特卡羅算法的案例

隨著蒙特卡羅方法的成熟及更廣泛的使用，便出現(xiàn)了很多基于蒙特卡羅方法的新算法，用一個(gè)時(shí)髦的名詞就是：蒙特卡羅“硬分叉”了。

蒙特卡羅積分（Monte Carlo intergration）

在低維的情況下，用確定性的方法來(lái)計(jì)算積分效果非常好。但到高維的時(shí)候，一方面計(jì)算難度呈指數(shù)級(jí)增加，產(chǎn)生維數(shù)災(zāi)難（curse of dimensionality），另一方面在多維的情況下，邊界的確定非常困難，100維以上基本不可能用確定性方法來(lái)計(jì)算。

蒙特卡羅方法跳出了維數(shù)災(zāi)難的想法，提供了一個(gè)新的思路：在高維空間中產(chǎn)生大量的點(diǎn)，采用類似近似計(jì)算圓周率的方法，計(jì)算高維積分。使用蒙特卡羅方法，誤差將以N-0.5的速度降低，不管維數(shù)是多少，只要提升4倍數(shù)量的點(diǎn)，誤差將降低一半。因此蒙特卡羅方法非常適合運(yùn)用在高維的積分計(jì)算當(dāng)中。

如何計(jì)算小沙堆體積？用蒙特卡羅積分法即可

一個(gè)可愛(ài)的機(jī)器人，它會(huì)識(shí)別眼前的環(huán)境

在這個(gè)一維空間上，機(jī)器人通過(guò)前期的探索，已經(jīng)知道這個(gè)空間一共有3個(gè)外觀都是一樣的門(mén)，并記錄了門(mén)口的樣子。

問(wèn)題來(lái)了，機(jī)器人怎么確定自己在哪里呢？

Step 1：機(jī)器人在這個(gè)一維空間上隨機(jī)生成大量的粒子，每一個(gè)粒子分別代表一種位置的可能性（稍后將闡述實(shí)際含義）。

Step 2：機(jī)器人通過(guò)攝像頭發(fā)現(xiàn)自己站在一個(gè)門(mén)口前面。由于機(jī)器人已經(jīng)知道室內(nèi)地圖，知道門(mén)口具體在哪幾個(gè)位置，因此機(jī)器人重新分配所有粒子的權(quán)重，將室內(nèi)地圖門(mén)口所在位置范圍的粒子權(quán)重相應(yīng)提升上來(lái)。

Step 3：機(jī)器人根據(jù)權(quán)重分布，重新生成新的粒子。權(quán)重越大的地方獲得的粒子越多。

假設(shè)機(jī)器人繼續(xù)往前移動(dòng)一小段距離：

Step 4：機(jī)器人到了一個(gè)沒(méi)有門(mén)口的地方，同時(shí)所有的粒子跟隨著機(jī)器人移動(dòng)。

Step 5：機(jī)器人發(fā)現(xiàn)眼前沒(méi)有東西。由于機(jī)器人已經(jīng)知道室內(nèi)地圖，知道門(mén)口具體在哪幾個(gè)位置，因此機(jī)器人重新分配所有粒子的權(quán)重，將室內(nèi)地圖門(mén)口所在位置范圍的粒子權(quán)重相應(yīng)降低下來(lái)。

AlphaGo當(dāng)中的MCTS

元啟發(fā)式算法（Metaheuristic）

自從蒙特卡羅方法誕生后，元啟發(fā)式算法的發(fā)展才正式開(kāi)始。比如模擬退火算法（Simulated Annealing）、遺傳算法（Genetic Algorithm）、螞蟻算法（Ant Colony Optimization）等等，這些帶有隨機(jī)性的算法都是解決組合優(yōu)化問(wèn)題的好方法。

2006年NASA在ST5航天器上搭載了一個(gè)特別的天線，其形狀由進(jìn)化算法設(shè)計(jì)而成

在過(guò)去漫長(zhǎng)的歲月當(dāng)中，人們都認(rèn)為必須要經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗陀?jì)算，才能得到最后正確的答案。直到最近的數(shù)十年，隨著計(jì)算機(jī)的誕生，還有烏拉姆、馮諾依曼以及眾多理解蒙特卡羅方法的科學(xué)家的努力下，隨機(jī)性的運(yùn)用才逐漸走進(jìn)我們的視野。人們意想不到地發(fā)現(xiàn)隨機(jī)性是一個(gè)如此重要的思維，隨機(jī)性并非如想象中那樣是一個(gè)不好的事物，合理地利用隨機(jī)性，能夠幫助我們探索前所未有的世界。

蒙特卡羅方法的發(fā)明，是人類思維史上的一個(gè)重大突破。一個(gè)隨機(jī)性的構(gòu)想，打破了過(guò)去的思考空白區(qū)，開(kāi)啟了人類新的思維空間。