1、小波閾值處理基本理論

所謂閾值去噪簡(jiǎn)而言之就是對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，然后對(duì)分解后的系數(shù)進(jìn)行閾值處理，最后重構(gòu)得到去噪信號(hào)。該算法其主要理論依據(jù)是：小波變換具有很強(qiáng)的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠使信號(hào)的能量在小波域集中在一些大的小波系數(shù)中;而噪聲的能量卻分布于整個(gè)小波域內(nèi)。因此，經(jīng)小波分解后，信號(hào)的小波系數(shù)幅值要大于噪聲的系數(shù)幅值?？梢哉J(rèn)為，幅值比較大的小波系數(shù)一般以信號(hào)為主，而幅值比較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲。于是，采用閾值的辦法可以把信號(hào)系數(shù)保留，而使大部分噪聲系數(shù)減小至零。小波閾值收縮法去噪的具體處理過(guò)程為：將含噪信號(hào)在各尺度上進(jìn)行小波分解，設(shè)定一個(gè)閾值，幅值低于該閾值的小波系數(shù)置為0，高于該閾值的小波系數(shù)或者完全保留，或者做相應(yīng)的“收縮（shrinkage）”處理。最后將處理后獲得的小波系數(shù)用逆小波變換進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的信號(hào)。

2、閾值函數(shù)的選取

小波分解閾值去噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)超過(guò)和低于閾值的小波系數(shù)不同處理策略，是閾值去噪中關(guān)鍵的一步。設(shè)w表示小波系數(shù)，T為給定閾值，sign（*）為符號(hào)函數(shù)，常見(jiàn)的閾值函數(shù)有：

硬閾值函數(shù)：（小波系數(shù)的絕對(duì)值低于閾值的置零，高于的保留不變）

軟閾值函數(shù)：（小波系數(shù)的絕對(duì)值低于閾值的置零，高于的系數(shù)shrinkage處理）

式（3-8）和式（3-9）用圖像表示即為：

值得注意的是：

1）硬閾值函數(shù)在閾值點(diǎn)是不連續(xù)的，在下圖中已經(jīng)用黑線(xiàn)標(biāo)出。不連續(xù)會(huì)帶來(lái)振鈴，偽吉布斯效應(yīng)等。

2）軟閾值函數(shù)，原系數(shù)和分解得到的小波系數(shù)總存在著恒定的偏差，這將影響重構(gòu)的精度

同時(shí)這兩種函數(shù)不能表達(dá)出分解后系數(shù)的能量分布，半閾值函數(shù)是一種簡(jiǎn)單而經(jīng)典的改進(jìn)方案。見(jiàn)下圖：

3、閾值的確定

選取的閾值最好剛好大于噪聲的最大水平，可以證明的是噪聲的最大限度以非常高的概率低于（此閾值是Donoho提出的），其中根號(hào)右邊的這個(gè)參數(shù)（叫做sigma）就是估計(jì)出來(lái)的噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差（根據(jù)第一級(jí)分解出的小波細(xì)節(jié)系數(shù)，即整個(gè)det1絕對(duì)值系數(shù)中間位置的值），本文將用此閾值去處理各尺度上的細(xì)節(jié)系數(shù)，注意所謂全局閾值就是近似系數(shù)不做任何閾值處理外，其他均閾值處理。

4、閾值策略

5、一維信號(hào)的多級(jí)分解與重構(gòu)

以下算法如果用簡(jiǎn)單的文字描述，可是：先將信號(hào)對(duì)稱(chēng)拓延（matlab的默認(rèn)方式），然后再分別與低通分解濾波器和高通分解濾波器卷積，最后下采樣，最后可以看出最終卷積采樣的長(zhǎng)度為floor（n-1）/2+n，如果想繼續(xù)分解下去則繼續(xù)對(duì)低頻系數(shù)CA采取同樣的方式進(jìn)行分解。

6、matlab實(shí)現(xiàn)一維小波閾值去噪

1，核心庫(kù)函數(shù)說(shuō)明

1）wnoisest函數(shù)

作用：估計(jì)一維小波高頻系數(shù)中的噪聲偏差

這個(gè)估計(jì)值使用的是絕對(duì)值中間位置的值（估計(jì)的噪聲偏差值）除以0.6745（MedianAbsoluteDeviation/0.6745），適合0均值的高斯白噪聲

2）wavedec函數(shù)

一維信號(hào)的多尺度分解，將返回諸多細(xì)節(jié)系數(shù)和每個(gè)系數(shù)的長(zhǎng)度，在matlab中鍵入“docwavedec”具體功能一目了然

3）waverec函數(shù)

一維信號(hào)小波分解系數(shù)的重構(gòu)，將返回重構(gòu)后的信號(hào)在matlab中鍵入“docwaverec”具體功能一目了然，也可以鍵入“openwaverec”查看matlab具體是怎么做的。

4）wdencmp函數(shù)

這個(gè)函數(shù)用于對(duì)一維或二維信號(hào)的壓縮或者去噪，使用方法：

1［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘gbl’，X，‘wname’，N，THR，SORH，KEEPAPP）

2［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘lvd’，X，‘wname’，N，THR，SORH）

3［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘lvd’，C，L，‘wname’，N，THR，SORH）

wname是所用的小波函數(shù)，gbl（global的縮寫(xiě)）表示每層都采用同一個(gè)閾值進(jìn)行處理，lvd表示每層用不同的閾值進(jìn)行處理，N表示小波分解的層數(shù)，THR為閾值向量，對(duì)于格式（2）（3）每層都要求有一個(gè)閾值，因此閾值向量THR的長(zhǎng)度為N，SORH表示選擇軟閾值還是硬閾值（分別取為’s’和’h’），參數(shù)KEEPAPP取值為1時(shí)，則低頻系數(shù)不進(jìn)行閾值量化處理，反之，則低頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化。XC是消噪或壓縮后的信號(hào)，［CXC，LXC］是XC的小波分解結(jié)構(gòu)，PERF0和PERFL2是恢復(fù)和壓縮L^2的范數(shù)百分比，是用百分制表明降噪或壓縮所保留的能量成分。

3.代碼實(shí)現(xiàn)

clear;

%獲取噪聲信號(hào)

loadleleccum;

indx=1:3450;

noisez=leleccum（indx）;

%信號(hào)的分解

wname=‘db3’;

lev=3;

［c，l］=wavedec（noisez，lev，wname）;

%求取閾值

sigma=wnoisest（c，l，1）;%使用庫(kù)函數(shù)wnoisest提取第一層的細(xì)節(jié)系數(shù)來(lái)估算噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差

N=numel（noisez）;%整個(gè)信號(hào)的長(zhǎng)度

thr=sigma*sqrt（2*log（N））;%最終閾值

%全局閾值處理

keepapp=1;%近似系數(shù)不作處理

denoisexs=wdencmp（‘gbl’，c，l，wname，lev，thr，‘s’，keepapp）;

denoisexh=wdencmp（‘gbl’，c，l，wname，lev，thr，‘h’，keepapp）;

%作圖

subplot（311），

plot（noisez），title（‘原始噪聲信號(hào)’）;

subplot（312），

plot（denoisexs），title（‘matlab軟閾值去噪信號(hào)’）;

subplot（313），

plot（denoisexh），title（‘matlab硬閾值去噪信號(hào)’）;