相信做硬件的朋友對模擬濾波器設(shè)計(jì)并不陌生，給出一個(gè)規(guī)格指標(biāo)，都可以依據(jù)濾波器設(shè)計(jì)軟件就可以設(shè)計(jì)出符合設(shè)計(jì)要求的濾波器。但是模擬濾波器參數(shù)是如何確定的？假設(shè)我們要一個(gè)線性衰減的濾波器該如何設(shè)計(jì)？假如我們要實(shí)現(xiàn)一個(gè)濾波器設(shè)計(jì)軟件應(yīng)該掌握哪些知識(shí)？

前言

本期目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)模擬無源濾波器綜合和仿真軟件，并且集成在小程序中。

除了常用濾波器外，最終目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)特定形狀的頻率響應(yīng)曲線，如線性衰減補(bǔ)償曲線，并且可以使用實(shí)際元器件實(shí)現(xiàn)。另外一旦掌握了濾波器設(shè)計(jì)方法，那么我們可以更進(jìn)一步，將實(shí)際器件模型考慮進(jìn)去，從而可以自動(dòng)設(shè)計(jì)更為接近實(shí)際頻率響應(yīng)的濾波器。

要實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)是有挑戰(zhàn)的，其中之一就是如何依據(jù)頻率響應(yīng)來求復(fù)數(shù)域的傳輸曲線，然后由傳輸函數(shù)求取特定網(wǎng)絡(luò)的具體數(shù)值。

所以這里將此事情分為如下步驟進(jìn)行：

1. 掌握階梯網(wǎng)絡(luò)綜合方法
2. 實(shí)現(xiàn)濾波器電路仿真(mini js無源電路仿真引擎)
3. 實(shí)現(xiàn)巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)(由傳輸函數(shù)得到實(shí)際元器件值)
4. 搭建起小程序基本程序框架(發(fā)布第一實(shí)用版本)
5. 實(shí)現(xiàn)切比雪夫，貝塞爾，橢圓濾波器設(shè)計(jì)
6. 實(shí)現(xiàn)不同衰減類型的濾波器設(shè)計(jì)(LPF,BPF,HPF,BRF)
7. 實(shí)現(xiàn)線性衰減補(bǔ)償濾波器設(shè)計(jì)
8. 實(shí)際電路參數(shù)設(shè)計(jì)和優(yōu)化
9. 全通濾波器，移相網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)

模擬無源濾波器發(fā)展史

濾波器的歷史最早可以追溯到1890年代，當(dāng)時(shí)有線電話被發(fā)明并廣泛應(yīng)用，遠(yuǎn)距離空中架設(shè)通訊線纜的需求非常迫切，但是人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)電話線纜長度增加后線路損耗迅速增加，導(dǎo)致語音出現(xiàn)嚴(yán)重失真。解決辦法正是“Pupin線圈/加載線圈”發(fā)明人普平(Mihajlo Pupin, 1858.10-1935.3)于1899年所提出的增加線路電感的辦法，即每隔一段距離增加一個(gè)電感從而改善電話傳輸質(zhì)量。

若站在上帝視角看待當(dāng)時(shí)的問題就是傳輸語音信號的雙絞線寄生電容太大，阻抗非常低，導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)電話線驅(qū)動(dòng)能力不足，整個(gè)電路相當(dāng)于一個(gè)巨大的RC濾波器，信號迅速衰減，當(dāng)在線纜中插入Pupin線圈，情況就不同了，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)阻抗變高，源可以很容易的驅(qū)動(dòng)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，帶寬變高，通話質(zhì)量得到大幅改善，據(jù)文獻(xiàn)介紹性能可提升6000倍。這項(xiàng)技術(shù)也因此讓Pupin名利雙收 。

赫維賽德(Oliver Heaviside,1850.3-1925.2),對，就是那個(gè)將20多個(gè)麥克斯韋的方程組改為4個(gè)方程組的神人，1876年他提出并推導(dǎo)了電報(bào)方程(也就是將傳輸線劃分為小段的RLC梯形網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) )，并且使用了微分算子用來計(jì)算電路，通過計(jì)算提出了需要在傳輸線上加電感來減小失真，但是這個(gè)增加電感的想法由于種種原因并沒有得到實(shí)施，也沒有申請專利，他在傳輸線上增加電感這一騷操作要比普平的早7年，這也為后續(xù)AT&T關(guān)于加載電感的專利之爭埋下了伏筆。赫維賽德可能脾氣比較古怪，AT&T公司本來給他拋出橄欖枝要收了他的專利并且給他一大筆錢，但是被他拒絕了，赫維賽德一生貧窮，即使在晚年他還需要靠親戚的救濟(jì)來維持生活。

坎貝爾(George Ashley Campbell, 1870.11-1954.11)在AT&T工作，并繼續(xù)研究Pupin線，并且一直挑戰(zhàn)Pupin的專利(要知道AT&T是購買了pupin的專利權(quán)，但是由于赫維賽德的文章是在Pupin申請之前所發(fā)表，所以按美國專利法實(shí)際Pupin的專利是無效的，關(guān)于加載電感是有一段權(quán)利之爭的，詳見 )，并且完善Pupin線的理論，在工作中他發(fā)現(xiàn)Pupin線有一個(gè)非常陡峭的截止頻率，并且可以用這個(gè)特性來濾除信號的諧波，這里他已經(jīng)將加載線當(dāng)成了濾波器來使用了。但是一個(gè)問題是到底每隔多少距離就插入一個(gè)多大的電感能讓傳輸距離達(dá)到最遠(yuǎn)。1910年坎貝爾就發(fā)明了鏡像法來計(jì)算濾波器參數(shù)的方法，并且在商業(yè)上取得了成功。這個(gè)時(shí)期的研究拉開了濾波器設(shè)計(jì)的序幕，并且很多概念到現(xiàn)在還在使用，比如使用了梯形網(wǎng)絡(luò)(ladder network)，不同的濾波器類型：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器 。

坎貝爾的濾波器設(shè)計(jì)方法也叫定k濾波器(Constant k filter)，這種濾波器也是最簡單的濾波器，濾波器就是一個(gè)傳輸線的等效，是由相同的T型或PI型節(jié)組成，其中的k表示傳輸線的特征阻抗，定k表示組成這個(gè)濾波器節(jié)處的阻抗處處相等 。

佐貝爾(Otto Julius Zobel, 1887.10-1970.1)發(fā)展了濾波器的設(shè)計(jì)方法，他也是在AT&T工作，1920年發(fā)現(xiàn)了坎貝爾的濾波器具有恒定阻抗特性 ，并且發(fā)明了m推演型濾波器(m-derived filter)，這種濾波器和定k濾波器一樣可以使用了鏡像法分析 ，這個(gè)濾波器引入了一個(gè)參數(shù)m，不同參數(shù)濾波器特性會(huì)不同，在1923年佐貝爾對之前結(jié)果進(jìn)行了系統(tǒng)理論分析，這種分析方法是從中間節(jié)點(diǎn)(mid-shunt)的阻抗和定k阻抗相同的方式來進(jìn)行推導(dǎo)，故后人將此方法叫做m推演型濾波器 。

前面濾波器分析和設(shè)計(jì)都是基于傳輸線來設(shè)計(jì)，即假設(shè)濾波器階數(shù)為無窮，然后分析一個(gè)濾波器節(jié)(L節(jié)或PI節(jié)或T節(jié))的性質(zhì)來進(jìn)行設(shè)計(jì)，其中的訣竅就是保證每個(gè)節(jié)前后阻抗匹配(鏡像阻抗匹配)，這樣m推演型濾波器(截止特性不好，過渡帶好)就可以和定k濾波器(截止特性好，過渡帶不好)隨意組合而不會(huì)出現(xiàn)失配，從而豐富了濾波器的設(shè)計(jì) 。

但是鏡像法設(shè)計(jì)濾波器缺陷也是非常明顯：

1. 濾波器的推導(dǎo)都是在匹配狀態(tài)下進(jìn)行的，實(shí)際情況可能更加復(fù)雜，源和負(fù)載阻抗可能不匹配，這種情況下鏡像法設(shè)計(jì)將會(huì)失效;
2. 由于推導(dǎo)過程也假設(shè)了阻抗在整個(gè)頻段內(nèi)是不變的，即阻抗不會(huì)隨頻率變化而變化，但是實(shí)際上阻抗會(huì)隨著頻率變化而變化，尤其是接近過渡帶的地方，反射嚴(yán)重，頻響的peaking會(huì)比較大;
3. 通帶內(nèi)的紋波也沒有得到很好的描述，只有一個(gè)傳播常數(shù)(propagation constant)來描述插損，在鏡像法設(shè)計(jì)中始終假設(shè)濾波器通帶是平坦的，實(shí)際設(shè)計(jì)中非常關(guān)心通帶紋波的情況;

達(dá)林頓(Sidney Darlington, 1906.7-1997.10)，沒錯(cuò)就是那個(gè)發(fā)明達(dá)林頓管的達(dá)林頓發(fā)展了電路網(wǎng)絡(luò)理論，并且對濾波器分析理論進(jìn)一步發(fā)展。1939年提出了鏡像參數(shù)分析法的概念，并提出了使用插入損耗法來分析濾波器電路的新方法 ，這一分析方法開啟了嶄新的現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)綜合理論。

巴特沃斯(Stephen Butterworth, 1885.8-1958.10)是英國物理學(xué)家，發(fā)明了巴特沃斯濾波器，相關(guān)文章1930年發(fā)表于《無線電工程》雜志上 。他定義了一個(gè)多項(xiàng)式 ，工作的目的是使用電路去逼近這個(gè)多項(xiàng)式，巴特沃斯僅僅給出了2階和4階的計(jì)算，高階實(shí)現(xiàn)方式是使用多級，中間插入放大器來隔離前后級，從而可以很巧妙的避免使用復(fù)雜的計(jì)算，設(shè)計(jì)出符合最平坦響應(yīng)濾波器，最后他還給出了各種不同類型的濾波器設(shè)計(jì)表格，巴特沃斯的工作可謂是開創(chuàng)性的，同時(shí)也是第一個(gè)設(shè)計(jì)有源濾波器的人。

卡爾(Wilhelm Cauer, 1900.6-1945.4)是德國數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，濾波器界扛把子的存在，之前的濾波器設(shè)計(jì)工作如果說是慣性制導(dǎo)，卡爾的工作可以說是做到了濾波器精確打擊的效果，他用其扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底解決了濾波器綜合中的種種難題。卡爾在1926年的博士論文中就提出了網(wǎng)絡(luò)綜合的相關(guān)問題，做了很多鋪墊性的工作，其中他提出了網(wǎng)絡(luò)綜合的三個(gè)主要任務(wù)：

• 傳遞函數(shù)的可實(shí)現(xiàn)性(realizability)
• 找到實(shí)現(xiàn)所需響應(yīng)的近似(approximation)
• 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的實(shí)現(xiàn)與等價(jià)(realization and equivalence)

這些工作都是圍繞著單端口阻抗進(jìn)行，這是由于卡爾找到了由阻抗函數(shù)直接導(dǎo)出電路的方法，也就是我們現(xiàn)在一直在使用的連分式展開法將阻抗表達(dá)式和梯形網(wǎng)絡(luò)元器件值聯(lián)系在一起。他擯棄了之前鏡像設(shè)計(jì)，系統(tǒng)性的解決了濾波器的設(shè)計(jì)，他首先提出使用切比雪夫來進(jìn)行近似(1930-1931)，后來又使用橢圓函數(shù)來進(jìn)行近似(1933)，這樣既可以控制通帶紋波又可以控制阻帶紋波，現(xiàn)在我們通常所說的切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器實(shí)際上都是卡爾發(fā)明的，有的地方將橢圓濾波器也叫卡爾濾波器。由于歷史原因卡爾的命運(yùn)卻是悲慘的，他在二戰(zhàn)柏林淪陷期間被蘇聯(lián)士兵所殺害，年僅45歲。

本文主要研究無源濾波器，其他關(guān)于有源濾波器的部分見參考文獻(xiàn) .

濾波器設(shè)計(jì)發(fā)展時(shí)間線

濾波器設(shè)計(jì)發(fā)展時(shí)間線和重大歷史事件對比：

階梯網(wǎng)絡(luò)綜合方法

階梯網(wǎng)絡(luò)綜合的方法是由傳遞函數(shù)H(w)得到和功率的關(guān)系，功率和反射有關(guān)系，反射和輸入阻抗有關(guān)系，輸入阻抗和階梯結(jié)構(gòu)有關(guān)系，最后得到H(w)和階梯結(jié)構(gòu)的關(guān)系 。

以上是對階梯網(wǎng)絡(luò)的總結(jié)，后續(xù)會(huì)對其中的原理進(jìn)行推導(dǎo)分析。

PS: 封面圖給出了復(fù)平面巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布情況：