上一篇文章我們解釋了交流電路中，能量在電阻或電容上來回流動(dòng)的概念，并正式介紹了「阻抗」的定義，以及用來計(jì)算阻抗的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)。

這一回我們要來看一些實(shí)際的電路，并試著運(yùn)用這些數(shù)學(xué)工具來分析。

現(xiàn)實(shí)世界中沒有純電路

上一回我們介紹了純電阻、純電容、純電感的阻抗在復(fù)數(shù)坐標(biāo)系上的樣子。純電阻的阻抗只有實(shí)部，沒有 j 項(xiàng)，因此畫出來的阻抗就是在 X 軸上向右延伸。

而在電感或是純電容的電路中，阻抗只有虛數(shù)項(xiàng) j 項(xiàng)，沒有實(shí)部，因此畫出來的阻抗就是在 Y 軸方向。向上為正的電抗，也就是電感性的電抗;向下為負(fù)的電抗，也就是電容性的電抗。

不純砍頭的蜂蜜也許有純的，但現(xiàn)實(shí)世界中的電路沒有純的這種事。你拿起一個(gè)電感接到電路中，除非繞成電感的線圈是用超導(dǎo)材料做的，否則電感多多少少都會(huì)有些電阻，即使很小。

因此，現(xiàn)實(shí)世界中的電感應(yīng)該是這個(gè)樣子的：

而它的阻抗就會(huì)是這樣：

我們來看看有實(shí)際零件數(shù)值的電路要怎么計(jì)算。假設(shè)電路中的電感是 1 mH、電阻是 10 ohm，交流電源仍然是 10 Vpp、100 Hz。

這里要特別強(qiáng)調(diào)一下，電阻的單位是奧姆(ohm)、電感的單位是亨利(Henry)、電容的單位是法拉(Farad)，但在實(shí)際的電路中，我們常用到的電感數(shù)值范圍可能是千分之一甚至百萬分之一亨利，因此會(huì)用 mH(千分之一亨利)或是百萬分之一亨利(uH)這樣的單位表示。

電容數(shù)值也是類似的狀況，我們很常用 pF(10 的負(fù) 12 次方法拉)或是 uF(10 的負(fù) 6 次方法拉)，絕少直接用到 F 這么大的單位。

這個(gè)電路中，電感和電阻加起來的阻抗就是：

我們把這個(gè)結(jié)果畫到復(fù)數(shù)坐標(biāo)系上，看起來就是這個(gè)樣子：

在真實(shí)世界中，由于幾乎不可能有純電感或純電容的理想電路存在，大部分的情況下我們要分析的都是這樣復(fù)數(shù)阻抗。

不純的相位差

我們這幾次在探討的主題都是「電容或電感性負(fù)載會(huì)讓交流電路中的電壓和電流產(chǎn)生相位差」。在上面這個(gè)電路中，電壓和電流之間的關(guān)系是什么呢?

我們先來看相位差。

根據(jù)之前討論的，純電阻性負(fù)載在交流電路中不會(huì)造成電壓和電流的相位差，因此電壓和電流之間的相位差就是 0。畫在復(fù)數(shù)坐標(biāo)系上，就是在實(shí)數(shù)的那條在線。

純電感性負(fù)載會(huì)造成電壓超前電流四分之一個(gè)弦波周期，用角度來算的話，一個(gè)周期是 360 度，四分之一周期就是 90 度，畫在復(fù)數(shù)坐標(biāo)系上，就是一條與實(shí)數(shù)軸呈 90 度夾角的線，也就是虛數(shù)軸。

聰明的讀者可能已經(jīng)想到，上圖中「阻抗」那個(gè)箭頭與實(shí)數(shù)軸的夾角，是否就是這個(gè)電路中電壓超前電流的相位角呢?

沒錯(cuò)，就是這樣。這也是為什么我們要用這樣的數(shù)學(xué)符號(hào)以及復(fù)數(shù)坐標(biāo)系來分析交流電路的原因。我們可以用很簡單的幾何來求出電路運(yùn)作的特性。

要求圖中的標(biāo)示「相位差」的那個(gè)角度

如果我們將這樣的相位差畫在圖上，看起來就像是這樣(先別管振幅的單位)：

圖中藍(lán)色是電壓波形、橘色是電流波形。在這個(gè)電路中，電壓超前電流 3.59 度。3.59 度是一個(gè)相對(duì)來說蠻小的角度，因此可以看到電壓和電流波形幾乎重迭在一起，只有一個(gè)很小的相位差。

我們之前用過簡化版的容抗、感抗公式來計(jì)算交流電路中電流的峰值。現(xiàn)在我們要來看看在實(shí)際的電路中要怎么計(jì)算。

在復(fù)數(shù)平面上畫出來的那個(gè)「阻抗」的箭頭，它與水平軸的夾角代表了電壓與電流的相位差，而它的長度其實(shí)就代表了這整個(gè)阻抗的「大小」，英文用 magnitude 這個(gè)字，符號(hào)常用 Z。什么是大小呢?它就像電阻一樣，在同樣的電壓之下，阻抗越大，電流就越小;阻抗越小，電流就越大。

這個(gè)箭頭的長度就是三角形的斜邊，我們可以很容易用已知的兩個(gè)邊長(電阻大小與感抗大小)來求 SQRT(就是開根號(hào)的函數(shù))：

復(fù)數(shù)阻抗同樣遵循奧姆定律 V = IR，因此拿峰值電壓除以這個(gè)阻抗的大小，就可以得到電流的峰值大小。

如果把電流和電壓畫在同一個(gè)圖上，看起來就是這樣：

從剛剛的計(jì)算過程我們可以發(fā)現(xiàn)，由于電抗的部分只有 0.628j ohm，相對(duì)于電阻的 10 ohm 來說很小，這是因?yàn)椴还苁窃谟?jì)算相位差還是在計(jì)算阻抗的大小時(shí)，電抗部分的貢獻(xiàn)都很有限，整個(gè)電路的特性仍然是由電阻在主導(dǎo)。

不過電抗的公式中有一項(xiàng) f，表示電抗的大小會(huì)受到訊號(hào)頻率的影響，但電阻不會(huì)，電阻就是電阻，它在 1 Hz 時(shí)是 1 ohm 的話，到了 1 KHz 時(shí)還是 1 ohm，這個(gè)現(xiàn)象會(huì)給交流電路帶來很多復(fù)雜且有趣的特性…

小結(jié)

這一回我們利用實(shí)際的電路，示范了如何用阻抗的復(fù)數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)來計(jì)算阻抗的角度所造成的電壓電流相位差，以及阻抗的大小所決定的峰值電流。

下一回，我們要將「頻率」這個(gè)因素考慮進(jìn)去，繼續(xù)探討復(fù)數(shù)阻抗在交流電路中的許多有趣特性。

審核編輯：湯梓紅