圖2.4 m×n位不帶符號的陣列乘法器邏輯圖

　　2.不帶符號的陣列乘法器
　　
　　設有兩個不帶符號的二進制整數(shù)：
　　
　　A=a_m-1…a₁a₀　
　　B=b_n-1…b₁b₀
　　
　　它們的數(shù)值分別為a和b，即

???

在二進制乘法中，被乘數(shù)A與乘數(shù)B相乘，產(chǎn)生m＋n位乘積P：
　　
　　P=p_m+n-1…p₁p₀
　　
　　乘積P 的數(shù)值為

???
　　
　　
　　實現(xiàn)這個乘法過程所需要的操作和人們的習慣方法非常類似：
　　
　　
　　
　　上述過程說明了在m位乘n位不帶符號整數(shù)的陣列乘法中，“加法—移位”操作的被加數(shù)矩陣。每一個部分乘積項(位積)a_ib_j叫做一個被加數(shù)。
　　
　　這m×n個被加數(shù){a_ib_j|0≤i≤m-1和0≤j≤n-1}
　　
　　可以用m×n個“與”門并行地產(chǎn)生。顯然，設計高速并行乘法器的基本問題，就在于縮短被加數(shù)矩陣中每列所包含的1的加法時間。

這種乘法器要實現(xiàn)n位×n位時，需要n(n-1)個全加器和n²個“與”門。該乘法器的總的乘法時間可以估算如下：
　　
　　令T_a為“與門”的傳輸延遲時間，T_f為全加器(FA)的進位傳輸延遲時間，假定用2級“與非”邏輯來實現(xiàn)FA的進位鏈功能，那么我們就有：
　　
　　T_a = T_f = 2T
　　
　　從演示中可知，最壞情況下延遲途徑，即是沿著矩陣P4垂直線和最下面的一行。因而得n位×n位不帶符號的陣列乘法器總的乘法時間為：
　　
　　t_m=T_a+(n-1)×6T＋(n-1)×T_f　
　　=2T＋(n-1)×6T＋(n-1)×2T=(8n-6)T　　　　　(2.27)
　　
　　[例16] 已知兩個不帶符號的二進制整數(shù)A=11011，B=10101，求每一部分乘積項a_ib_j的值與p₉p₈……p₀的值。
　　
　　[解:]

???
　　a₄b₀=1 a₃b₀=1 a₂b₀=0 a₁b₀=1 a₀b₀=1　　
　　a₄b₁=0 a₃b₁=0 a₂b₁=0 a₁b₁=0 a₀b₁=0
　　a₄b₂=1 a₃b₂=1 a₂b₂=0 a₁b₂=1 a₀b₂=0　
　　a₄b₃=0 a₃b₃=0 a₂b₃=0 a₁b₃=0 a₀b₃=0
　　a₄b₄=1 a₃b₄=1 a₂b₄=0 a₁b₄=1 a₀b₄=1
　
　　P=p₉p₈p₇p₆p₅p₄p₃p₂p₁p₀=1000110111(567₁₀)

3.帶符號的陣列乘法器
　　
　　(1) 對2求補器電路
　　
　　我們先來看看算術運算部件設計中經(jīng)常用到的求補電路。一個具有使能控制的二進制對2求補器電路圖，其邏輯表達式如下：
　　
　　C_-1=0，　 C_i=a_i+C_i-1
　　
　　a_i*=a_i⊕EC_i-1，　　　0≤i≤n
　　
　　在對2求補時，要采用按位掃描技術來執(zhí)行所需要的求補操作。令A=an…a1a0是給定的(n＋1)為帶符號的數(shù)，要求確定它的補碼形式。進行求補的方法就是從數(shù)的最右端a0開始，，由右向左，直到找出第一個“1”，例如ai=1， 0≤i≤n。這樣，ai以左的每一個輸入位都求反，即1變0，0變1。最右端的起始鏈式輸入C-1必須永遠置成“0”。當控制信號線E為“1”時，啟動對2求補的操作。當控制信號線E為“0”時，輸出將和輸入相等。顯然，我們可以利用符號位來作為控制信號。　　
　　
　　例如，在一個4位的對2求補器中，，如果輸入數(shù)為1010，那么輸出數(shù)應是0110，其中從右算起的第2位，就是所遇到的第一個“1”的位置。用這種對2求補器來轉換一個(n＋1)為帶符號的數(shù)，所需的總時間延遲為
　　
　　t_TC=n·2T＋5T=(2n＋5)T　　　　　　(2.28)
　　
　　其中每個掃描級需2T延遲，而5T則是由于“與”門和“異或”門引起的。

(2) 帶符號的陣列乘法器
　　
　　(n＋1)×(n＋1)位帶求補器的陣列乘法器邏輯方框圖

　　通常，把包括這些求補級的乘法器又稱為符號求補的陣列乘法器。在這種邏輯結構中，共使用三個求補器。其中兩個算前求補器的作用是：將兩個操作數(shù)A和B在被不帶符號的乘法陣列(核心部件)相乘以前，先變成正整數(shù)。而算后求補器的作用則是：當兩個輸入操作數(shù)的符號不一致時，把運算結果變成帶符號的數(shù)。
　　
　　設A=a_na_n-1…a₁a₀和B=b_nb_n-1…b₁b₀均為用定點表示的(n＋1)位帶符號整數(shù)。在必要的求補操作以后，A和B的碼值輸送給n×n位不帶符號的陣列乘法器，并由此產(chǎn)生2n位真值乘積:
　　
　　A·B=P=p_2n-1…p₁p₀　　
　　p_2n=a_n⊕b_n
　　
　　其中P_2n為符號位。
　　
　　上面所示的帶求補級的陣列乘法器既適用于原碼乘法，也適用于間接的補碼乘法。不過在原碼乘法中，算前求補和算后求補都不需要，因為輸入數(shù)據(jù)都是立即可用的。而間接的補碼陣列乘法所需要增加的硬件較多。為了完成所必需的乘法操作，時間大約比原碼陣列乘法增加1倍。

[例17] 設ｘ=＋15，ｙ=-13，用帶求補器的原碼陣列乘法器求出乘積ｘ·ｙ=？
　　
　　[解:]
　　
　　設最高位為符號位，則輸入數(shù)據(jù)為
　　
　　[ｘ]_原=01111　　[ｙ]_原=11101
　　
　　符號位單獨考慮，算前求補級后 |ｘ|=1111，|ｙ|=1101

　　算后經(jīng)求補級輸出并加上乘積符號位1，則原碼乘積值為111000011。
　　
　　換算成二進制數(shù)真值是
　　
　　ｘ·ｙ=( -11000011)₂=(-195)₁₀
　　
　　十進制數(shù)驗證：ｘ×ｙ = 15× (-13) = -195相等。
　　
　　[例18] 設ｘ=＋15，ｙ=-13，用帶求補器的補碼陣列乘法器求出乘積ｘ·ｙ=？
　　
　　[解:]
　　
　　設最高位為符號位，則輸入數(shù)據(jù)用補碼表示為
　　
　　[ｘ]_補=01111　　　 [ｙ]_補=10011
　　
　　符號位單獨運算，x₀⊕y₀=0+1=1
　　
　　尾數(shù)部分算前求補器輸出為: |ｘ|=1111，|ｙ|=1101

　　算后求補器輸出為00111101，加符號位1，得
　　
　　[ｘ·ｙ]_補=100111101
　　
　　補碼二進制數(shù)真值是
　　
　　ｘ·ｙ=-1×2⁸+1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2⁰=(-195)₁₀
　　
　　十進制數(shù)驗證：???? ｘ×ｙ=(+15)×(-13)=-195相等。