自由曲面光學(xué)是照明行業(yè)在光線重定向到目標(biāo)區(qū)域方面的改變者。非均勻有理B樣條，通常稱(chēng)為NURBS廣泛用于表示自由曲面和曲面。有一些光學(xué)系統(tǒng)需要在設(shè)計(jì)或優(yōu)化階段對(duì)表面進(jìn)行局部修飾。在這種情況下，NURBS不能提供這種轉(zhuǎn)換。但是一個(gè)叫做T－splines的新數(shù)學(xué)表達(dá)式使得這是可行的。雖然它的潛力已被很好地描述，但迄今為止尚未在任何優(yōu)化程序中實(shí)施。Annie Shalom Isaac，來(lái)自卡爾斯魯厄理工學(xué)院的Jiayi Long和Cornelius Neumann通過(guò)在優(yōu)化程序中執(zhí)行T型樣條證明了局部細(xì)化能力的優(yōu)勢(shì)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了評(píng)估。結(jié)果表明，與NURBS相比，T樣條提供更均勻和均勻的光分布，且收斂速度更快。這使得使用T樣條的光學(xué)設(shè)計(jì)或優(yōu)化成為未來(lái)自由形式設(shè)計(jì)任務(wù)的直觀方法。

3x3 OFFD柵格在（左）和（右）變形之前封閉和光學(xué)表面

自由形式光學(xué)器件的設(shè)計(jì)在很大程度上依賴(lài)于以下方法之一：基于點(diǎn)源假設(shè)［3］，SMS設(shè)計(jì)［4］和基于等通量網(wǎng)格［5］的源目標(biāo)圖的裁剪以創(chuàng)建初始光學(xué)表面。由于這些數(shù)學(xué)方法不能保證為擴(kuò)展的LED光源提供準(zhǔn)確的結(jié)果，也不能提供通用的解決方案，光學(xué)設(shè)計(jì)師仍然依靠任何優(yōu)化工具來(lái)改善結(jié)果。光線跟蹤算法中的速度提高以及復(fù)雜的智能優(yōu)化算法使優(yōu)化方法的應(yīng)用更加廣泛。但自由曲面優(yōu)化的缺點(diǎn)主要是由于其復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)和許多參數(shù)的存在。

Wendel et．a(chǎn)l提出了一種稱(chēng)為優(yōu)化的方法，使用自由形變（OFFD）來(lái)克服這個(gè)困難，將光學(xué)表面置于網(wǎng)格中并使封閉的網(wǎng)格變形而不是直接作用于網(wǎng)格［1］。這種方法使用NURBS來(lái)表示光學(xué)表面，其結(jié)果表明，使用較少的優(yōu)化變量，它們可以很好地實(shí)現(xiàn)全局變形，這使得制造更容易。但是有些情況下需要在光線分布上有明顯的傾斜，或者光線的路徑必須顯著改變。在這種情況下，輕微的局部變形會(huì)帶來(lái)顯著的改善。但是對(duì)于目前的OFFD，這是不可能的，因?yàn)橄旅娴谋砻姹硎?。稱(chēng)為T(mén)樣條的另一種表面表示法可以克服這個(gè)缺點(diǎn)［2］。Bailey等人。al已經(jīng)證明了T－splines的潛力及其在光學(xué)表面的應(yīng)用［6］。但是迄今為止，這種方法既未應(yīng)用于任何優(yōu)化程序，也未對(duì)其光學(xué)性能進(jìn)行分析并與NURBS進(jìn)行比較。

因此，這項(xiàng)工作考慮了這個(gè)問(wèn)題，并提供了解決這個(gè)問(wèn)題的替代方法。第2部分介紹了OFFD技術(shù)。光學(xué)表面的數(shù)學(xué)表面表示在第3節(jié)中介紹．T樣條的實(shí)現(xiàn)結(jié)果和比較結(jié)果在第4節(jié)中顯示，隨后在第5節(jié)中給出結(jié)論。

使用OFFD進(jìn)行優(yōu)化

OFFD方法采用Sederberg ［7］提出的自由變形（FFD）技術(shù)，并結(jié)合優(yōu)化程序。網(wǎng)格和光學(xué)表面之間的關(guān)系使用FFD算法很好地建立［7］。圖1顯示了在變形之前和之后具有光學(xué)表面的網(wǎng)格。為了簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，只介紹OFFD方法的概述。

一個(gè)3x3 OFFD網(wǎng)格包圍和光學(xué)表面（左）和之后（右）變形

該算法首先選擇一個(gè)輸入表面，其光學(xué)性能必須得到改善，這通常遠(yuǎn)離目標(biāo)。通過(guò)這種方法，光學(xué)表面被包圍在包含27個(gè)網(wǎng)格控制點(diǎn)的網(wǎng)格內(nèi)，并且用戶(hù)可以從它們中選擇任何組合。這作為變量提供給優(yōu)化算法。優(yōu)化算法對(duì)于選定的網(wǎng)格點(diǎn)組合具有廣泛的搜索空間，并提供沿三維向封閉網(wǎng)格的移動(dòng)。隨著封閉的網(wǎng)格發(fā)生變化，它也會(huì)改變其內(nèi)部的光學(xué)表面。然后對(duì)變形后的表面進(jìn)行光度評(píng)估，優(yōu)化算法根據(jù)此結(jié)果決定其優(yōu)化變量的變化。該算法一再重復(fù)，直到達(dá)到目標(biāo)照明要求。

自由形變優(yōu)化的工作流程（OFFD）

這個(gè)程序中最重要的一步是變形光學(xué)表面的品質(zhì)因數(shù)定義，因?yàn)檎麄€(gè)優(yōu)化是基于這個(gè)單一的值，稱(chēng)為Q．在本文中，我們使用兩個(gè)不同的評(píng)價(jià)函數(shù)。

偏差評(píng)價(jià)函數(shù)Qdev，其對(duì)應(yīng)于當(dāng)前模擬分布與期望分布的偏差并被表示為

G是人們感興趣的區(qū)域，Eideal（x）是期望的照度分布目標(biāo)，E（x）是當(dāng)前的光分布。

通量擇優(yōu)函數(shù)Q 磁通對(duì)應(yīng)于最大化，其中被量化為在目標(biāo)（Φ通量的比率所需的目標(biāo)區(qū)域中的通量噸），并通過(guò)光學(xué)器件收集φC可用通量。

光學(xué)表面的數(shù)學(xué)表示

NURBS

NURBS技術(shù)非常成熟，可用于計(jì)算機(jī)輔助圖形系統(tǒng)以及光線追蹤器。由于其靈活性，可以通過(guò)在優(yōu)化程序期間更改控制點(diǎn)或其重量來(lái)輕松操縱或修改曲面。NURBS曲面是參數(shù)張量積曲面，定義如下：

其中P ij是控制點(diǎn)的矩形陣列，其中P ij是（n ＋ 1）×（m ＋ 1）矩陣，wi，j是權(quán)重，N ip（u）和N jq（v）是u和p的基函數(shù)， v方向，分別與結(jié)矢量相關(guān)聯(lián)。

其中r ＝ p ＋ n ＋ 1和s ＝ m ＋ q ＋ 1成立。當(dāng)必須在NURBS中添加控制點(diǎn)時(shí)，使用結(jié)插入方法完成控制點(diǎn)。添加單個(gè)節(jié)點(diǎn)需要添加整列或一排控制點(diǎn)。使用NURBS也不可能去除結(jié)頭，而不會(huì)改變幾何形狀。這種局部細(xì)化主要限于NURBS，因?yàn)樗膹埩慨a(chǎn)品結(jié)構(gòu)如EQ3所示。如圖3所示，NURBS曲面被逐列水平和垂直逐行地重復(fù)。為了滿(mǎn)足這種平衡，如果增加一個(gè)新的控制點(diǎn)，則同時(shí)添加整列或一行控制點(diǎn)。

顯示初始5x5 NURBS補(bǔ)?。ㄗ髨D）的示例，修改后如何在NURBS（中）和T樣條（右）完成時(shí)沿行和列添加控制點(diǎn)

審核編輯：符乾江