學習數(shù)字信號處理的訣竅：時域和頻域的靈活切換

四種傅里葉分析

學好數(shù)字信號處理的訣竅之三——時域和頻域的靈活切換

下面首先闡述四種傅里葉分析的特點及意義，引入離散傅里葉變換的概念，然后闡述學好數(shù)字信號處理的第三個訣竅，即時域和頻域的靈活切換。

一、四種傅里葉分析及離散傅里葉變換DFT的引入傅里葉分析是聯(lián)系時域和頻域的橋梁，在信號處理中具有非常重要的地位。傅里葉分析包含四種不同的形式，即連續(xù)時間傅里葉級數(shù)（CTFS， Continuous TimeFourier Series）、連續(xù)時間傅里葉變換（CTFT， ContinuousTime Fourier Transform）、離散時間傅里葉級數(shù)（DTFS， Discrete Time Fourier Series）和離散時間傅里葉變換（DTFT， Discrete Time FourierTransform）。這四種傅里葉分析的對象和得到的結(jié)果有一個特點：要么在時域是連續(xù)的（CFS），要么在頻域是連續(xù)的（DTFT），或者在時域和頻域都是連續(xù)的（CTFT）。DFS雖然在時域和頻域都是離散的，但是在時域卻是無限的。計算機不能直接處理連續(xù)的信號，只能處理采樣之后的離散數(shù)據(jù)；計算機也不能處理無限長的信號，實際的信號長度都是有限長的。

傅里葉分析的上述四種形式只有理論意義，都不適合采用計算機處理。但是，將DTFS和DTFT結(jié)合起來，把有限長序列延拓為周期性離散信號，從而引入了離散傅里葉變換（DFT， Discrete Fourier Transform）的概念，本質(zhì)上，DFT不包含新的理論，只是為了用計算機處理的方便而引入的一種工具，利用它計算離散采樣信號的頻率。將有限長序列進行周期延拓后，就能夠計算其離散傅里葉級數(shù)，其系數(shù)即為未延拓序列的離散傅里葉變換（連續(xù)周期函數(shù)）在頻率軸上的等間隔采樣，這保證了其物理意義，并且是用計算機可以實現(xiàn)的。當序列的長度比較大時，直接計算DFT的系數(shù)是很復雜的，如果計算時間太長，對實時通信就沒有意義，因而有必要引入快速算法，即快速傅里葉變換（FFT， Fast Fourier Transform）。將DFT運用于連續(xù)信號的頻譜分析，將產(chǎn)生一系列問題，如頻譜泄露、柵欄效應、分辨率等，這些概念在利用DFT進行頻譜分析時需要特別注意。

二、學好數(shù)字信號處理的訣竅之三——時域和頻域的靈活切換

前面闡述了學好數(shù)字信號處理的兩個訣竅，即MATLAB的運用和復數(shù)與向量的運用，下面講第三個訣竅，即信號在時域與頻域的靈活切換。

信號有兩個方面的性質(zhì)，即時域和頻域，這兩個方面對于信號來說，正如一個硬幣的正反兩面，是須臾不能分離的。要學好數(shù)字信號處理，必須要在信號的時域和頻域之間進行靈活的切換，這種切換的數(shù)學工具就是傅里葉分析（包括四種形式）。數(shù)學上有一個專門的分支，叫做傅里葉分析，數(shù)學家對傅里葉分析進行深入的研究，為工程師們指明了工程開發(fā)的方向，開拓了新的領(lǐng)域。

人是生活在時間和空間中的，但是人的很多感覺卻是和頻率相關(guān)的，比如人耳能欣賞美妙的音樂，能欣賞美妙的歌喉，因為好的音樂在頻域上更完美，好的“天籟之音”在頻域上更“純凈”。各種不同的樂器在頻域上的區(qū)分是很明顯的，因而有經(jīng)驗的音樂人只要一聽某種音樂，就知道是什么樂器演奏的，人耳是億萬年進化的高度發(fā)達的“頻譜分析儀”，能夠?qū)σ魳愤M行精密地分析，再加上后天長期的訓練，因而能分辨精微的頻率變化。人能欣賞五彩繽紛的世界，能欣賞各種美術(shù)作品，因為眼睛也是億萬年進化的高度發(fā)達的“頻譜分析儀”，能感受各種不同頻率的光線。一個三歲小孩能很容易分辨父母的聲音，這是因為小孩的聽覺系統(tǒng)經(jīng)歷了幾年聽力“訓練”的結(jié)果，而要讓計算機分辨某兩個特定的人，則要經(jīng)歷同樣復雜的訓練，要尋找各種時域和頻域的特征參數(shù)，還要反復進行效果驗證。人通過感知器官，可以迅速地地獲得信號在頻域的幾乎所有信息，而用計算機對信號進行同樣的處理，就要復雜得多，必須設計各種“算法”對信號進行分析。

信號在時域和頻域需要經(jīng)常來回轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換的橋梁是傅里葉分析，信號處理需要充分挖掘和利用信號在頻域的物理性質(zhì)，因而才成為一門獨立的學科。信號處理需要先在時域觀察信號的特征，再轉(zhuǎn)換到頻域觀察其特征，在頻域進行處理之后再轉(zhuǎn)換到時域觀察其特征，或者在時域和頻域同時觀察信號的特征。有時在時域雜亂無章的信號，在頻域卻隱藏了很多信息，反之亦然。有的在時域根本無法處理，必須轉(zhuǎn)換到頻域進行處理，之后再回到時域來感覺一下處理的結(jié)果。學習數(shù)字信號處理，需要充分理解信號和系統(tǒng)在頻域的物理意義，并且根據(jù)需要在時域和頻域來回切換，這是學習信號處理的基本思維，而不要將信號在時域和頻域孤立起來。 下面舉一個簡單的例子，說明在一個域中是雜亂的信號，經(jīng)過適當?shù)奶幚砗笤诹硪粋€域中就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律性。比如，下面圖中的信號是時域的，看起來雜亂無章，沒有任何規(guī)律。

但是，對信號進行功率譜分析 （功率譜指平穩(wěn)的功率信號的功率在頻率域的分布情況，功率信號指功率有限的信號），可以明顯看出有兩個譜峰，一個在大約30赫茲處，一個在大約70赫茲處，說明這個信號里面含有兩個周期信號，只是這兩個周期信號隱藏在類似噪聲的信號中，在時域是看不到這兩個周期信號的。

上面所說的平穩(wěn)的功率信號，“平穩(wěn)”一詞在信號分析中有很嚴格的定義，平穩(wěn)包括嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)，有興趣的同學可以繼續(xù)學習我主講的《隨機信號分析》，它是《數(shù)字信號處理》的后續(xù)課，后者分析確定信號，前者分析具有隨機性的信號。隨機信號的分析要引進很多新的概念，如期望、方差、自相關(guān)函數(shù)、寬平穩(wěn)、功率譜、各態(tài)歷經(jīng)等。

原文標題：學好數(shù)字信號處理的訣竅之三——時域和頻域的靈活切換

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