控制系統(tǒng)微分方程是在時間域描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。

應(yīng)用微分方程列寫控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法比較直觀，對于復(fù)雜的高階微分方程，特別適合于計算機(jī)編程求解，采用迭代的方法循環(huán)計算一定時間后獲得輸出量波形曲線。缺點是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)改變或某個參數(shù)改變時，需要重新列寫并求解微分方程，才能獲得系統(tǒng)的性能指標(biāo)數(shù)據(jù)，不方便系統(tǒng)的分析和設(shè)計。

用拉氏變換法求解線性系統(tǒng)微分方程時，可以獲得控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型，即傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)可以表征系統(tǒng)的動態(tài)性能，并且可以在不求系統(tǒng)輸出解的情況下，研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化時系統(tǒng)性能指標(biāo)，特別適合于不借助于計算機(jī)情況下分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的性能，當(dāng)然，也可以利用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)性能分析，由此可見，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。

1.傳遞函數(shù)概念

定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比；

設(shè)線性定常系統(tǒng)的n階微分方程為：

這里，c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，ai,bj是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)常系數(shù)；

在零初始條件下，即輸入量和輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值均為0；對上式兩側(cè)分別求取拉氏變換，可獲得s的代數(shù)方程為：

于是，可求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:

已知RLC串聯(lián)無源網(wǎng)絡(luò)，求電容電壓Uo(s)與輸入電壓Ui(s)之間的傳遞函數(shù)

RLC網(wǎng)絡(luò)電容電壓微分方程為：

在零初始條件下，對上式中各項求拉氏變換，可得到關(guān)于s的代數(shù)方程，

令Uo(s)=L[Uo(t)],Ui(s)=L[Ui(t)]，則關(guān)于s的代數(shù)方程為：

根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換比值為：

傳遞函數(shù)示意圖如下：