作者：Eugene Wang

如果我們想要對(duì)二維矢量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，我們需要知道旋轉(zhuǎn)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)角度。如果要進(jìn)行三維旋轉(zhuǎn)，我們需要指定旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度。那么，我們可以進(jìn)行四維旋轉(zhuǎn)嗎？或者說(shuō)，我們可以進(jìn)行更復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)嗎？事實(shí)上，我們可以將其簡(jiǎn)化為，有一個(gè)n維向量，然后將這個(gè)向量旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)n維向量，我們將用更系統(tǒng)的方式來(lái)表達(dá)旋轉(zhuǎn)。

首先，我們先來(lái)看看旋轉(zhuǎn)的一些性質(zhì)。第一個(gè)性質(zhì)是旋轉(zhuǎn)是線性變換，這種線性意味著兩個(gè)方程：和。如果你在二維平面畫(huà)出這些向量，你就可以驗(yàn)證它們。

由于旋轉(zhuǎn)的線性屬性，我們可以把旋轉(zhuǎn)寫(xiě)成矩陣的形式：n維向量的旋轉(zhuǎn)等于旋轉(zhuǎn)矩陣R乘以n維向量。剩下的目標(biāo)就是找到旋轉(zhuǎn)矩陣R，使得。

接下來(lái)，我們要來(lái)講旋轉(zhuǎn)的第二個(gè)性質(zhì)：如果我們只是單純旋轉(zhuǎn)，向量的長(zhǎng)度和向量之間的角度應(yīng)該保持不變。這一性質(zhì)意味著，兩個(gè)向量的點(diǎn)積在旋轉(zhuǎn)前后保持不變。也就是說(shuō)，如果原來(lái)是v·w，那么兩個(gè)向量旋轉(zhuǎn)后就變成了Rv·Rw，兩個(gè)點(diǎn)積是相等的：。

對(duì)于實(shí)數(shù)向量，我們也可以將點(diǎn)積寫(xiě)為第一個(gè)向量的轉(zhuǎn)置乘以第二個(gè)向量：。我們也可以將等式右邊進(jìn)行一下變換，就可以得到。因?yàn)檫@對(duì)于所有的向量v和w都是成立的，所以中間的就是單位矩陣。

因此，歸結(jié)起來(lái)第二個(gè)性質(zhì)就是滿(mǎn)足的旋轉(zhuǎn)矩陣，我們把滿(mǎn)足該性質(zhì)的所有矩陣的集合表示為，O代表正交，n代表矩陣R的階。

然而，長(zhǎng)度和角度保持不變不僅僅只有旋轉(zhuǎn)能做得到，反射也能做到這一點(diǎn)。因此，與反射對(duì)應(yīng)的矩陣也將是屬于O(n)的。所以，我們需要旋轉(zhuǎn)的第三個(gè)性質(zhì)，即它不會(huì)改變順序。我的意思是，假如原本從向量v到向量w是逆時(shí)針，那么經(jīng)過(guò)反射后就變成了順時(shí)針，而旋轉(zhuǎn)卻不會(huì)做出這樣的改變。因此，根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)，我們知道旋轉(zhuǎn)矩陣R的行列式應(yīng)該為正的，所以。

因此，如果一個(gè)矩陣已經(jīng)屬于O(n)，并且它的行列式為1，那么它就屬于SO(n)：。這里的S代表特殊的，對(duì)應(yīng)于行列式為1的附加要求。

以上的討論都是針對(duì)實(shí)向量，如果我們要旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)向量的話(huà)，我們只要稍微進(jìn)行修改就行。首先，我們把旋轉(zhuǎn)矩陣R替換成矩陣U，它們之間的區(qū)別是U是一個(gè)復(fù)矩陣。其次，從第二個(gè)性質(zhì)我們得到了，現(xiàn)在我們要把它改成，其中意味著我們除了轉(zhuǎn)置之外還取復(fù)共軛。最后，我們還有：和。

這樣一來(lái)，我們就將旋轉(zhuǎn)推廣到了更高的維度和復(fù)數(shù)。雖然這些旋轉(zhuǎn)矩陣很難直接去求解，但幸運(yùn)的是，這些矩陣的集合，無(wú)論是O(n)、SO(n)、U(n)還是SU(n)，都會(huì)形成稱(chēng)為李群的東西，這些都可以通過(guò)李理論去求解。

編輯：黃飛